CHAPITRE PREMIER

§ I. — Équilibre des systèmes matériels quelconques.

125. Travail virtuel ^'une force. — Lorsqu'une force agit sur un point en repos, son travail élémentaire, tel qu'il a été défini au n** 102, est sans cesse nul, car on doit faire ds:=o dans l'expression générale ¥dscos{¥,ds). Mais on peut ima- ^ner fictivement que le point se déplace infiniment peu à partir de sa position fixe, dans une direction quelconque; le déplacement qu'on lui donne ainsi par la pensée, et qui n'existe pas réellement, se nomme déplacement virtuel. On le distingue d'un déplacement réel en employant la caractéristique S au lieu de d, et en désignant sa longueur infiniment petite par la notation ^s.

Le travail d'une force F dans un déplacement virtuel 85 de son point d'application se nomme travail virtuel de cette force; il aurait pour expressionF85COs(F, 85).

126. Transformation de la condition d* équilibre d'un point matériel. — Il résulte immédiatement du principe de l'inertie (n« 93), et du théorème sur la composition des forces appliquées à un même point (n<> 100), que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un point persévère dans l'état de repos consiste en ce que la résultante de toutes les forces agissant

sur lui doit être nulle. Comme on Ta fait obsen'er déjà (nMlî), cela s'applique aussi bien au cas d'un point gêné par des obstacles qu'à celui d'un point libre, pourvu qu'on tienne compte des forces produites par les obstacles. Or, si la résultante des forces est nulle, son travail dans un déplacement virtuel quelconque sera aussi nul; et, réciproquement, la nullité du travail de la résultante dans un déplacement virtuel arbitraire eniralnera la nullité de cette force, car le facteur Is est censé différent de o, et le cosinus de l'angle (F, w) ne peut être nul pour toutes les directions de 85. On a donc démontré ainsile théorème dont voici l'énoncé :

La condition nécessaire et suffisante de l'équilibre d'un point matériel est que le travail de la résultante des força agissant sur ce point soit nul dans un déplacement virtuel quelconque.

On sait (n* 102) que le travail de la résultante est égal à la somme algébrique des travaux des composantes. On dira donc aussi que :

La condition nécessaire et suffisante de l'équilibre d'un point matériel est que la somme algébrique des travaux des forces agissant sur lui soit nulle dans un déplacement virtuel quel' conque.

En faisant varier la direction du déplacement virtuel, od tirerait de ce théorème une infinité d'équations, dont chacune serait une condition nécessaire de l'équilibre du point. L'ensemble de ces équations, en nombre infini, constituerait l« condition nécessaire et suffisante; il est facile de voir qu il peut se réduire à trois équations distinctes. Nommons, en effet, X, Y, Z les projections de la résultante sur trois axes rectangulaires, égales respectivement à la somme algébrique des projections des composantes; soient aussi Sor, 5/, S: les projections du déplacement virtuel 85 sur les mêmes axes. Le travail virtuel qu'il s'agit d'égaler à o s'exprime (n» IW) P*^

pour que cette quantité soit nulle indépendamment de toute hypothèse sur la direction de 8s ou sur les rapports entre

Ix, 0/, ^z, il est évidemment nécessaire et suffisant que les coettîcienls de ces trois quantités soient nuls, c'est-à-dire qu'on ait

(i) X~o, Y=io, Zr=o,

comme nous Tavons déjà trouvé par d'autres considérations (n« 112).

127. Condition générale de V équilibre d'un système matériel quelconque, —hoT^(\\x'\xn ensemble ou système de points matériels formant un corps quelconque est en équilibre, sous l'action de forces également quelconques, chaque point considéré isolément est lui-même en équilibre, sous Faction des forces qui le sollicitent et que nous pouvons diviser en deux classes : i* les forces dites extérieures, qui sont produites par des corps non compris dans le système considéré, ces corps pouvant agir comme obstacles, corps attirants, ou de toute autre manière; 2® les actions mutuelles des points ou parties de ce système, auxquelles on donne le nom de forces intérieures. La résultante des forces, tant intérieures qu'extérieures, agissant sur chaque point est nulle, ainsi que la somme de leurs travaux dans un déplacement virtuel arbitraire qu'on attribuerait au point (n^ 126); donc on peut dire, eo réunissant les travaux pour tous les points :

// est nécessaire^ pour Véquilibre de tout système matériel quelconque, que la somme totale des travaux des forces agissant sur tous ses points soit nulle, dans un déplacement virtuel arbitraire attribué à chacun d'eux.

Réciproquement, l'équilibre résulte de l'accomplissement de cette condition. En effet, puisque les déplacements virtuels (les divers points sont arbitraires, nous pouvons les supposer tous nuls, à l'exception d'un seul; le travail virtuel des forces appliquées à ce point unique sera donc nul dans tout déplacement, et par conséquent ce point sera en équilibre (n<» 126). Nous raisonnerons de même sur tous les points pris successivement et reconnaîtrons qu'ils sont tous en équilibre. Donc :

La condition ci-dessus énoncée est suffisante aussi bien que nécessaire.

35o TROISIÈXE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

Cette condition pourrait s'exprimer analytiquement par l'équation

dans laquelle le signe £ indique une somme étendue à toos les points dont se compose le système; on en déduirait, yq rindépendance des déplacements virtuels, que les trois sommes X, Y, Z sont nulles pour chaque point en particulier. Si Ton appelle n le nombre des points, on obtiendrait ainsi 3/i équations d'équilibre, nécessaires et sufGsantes, qui seraient l'application des équations (i) à chacun des points. Il semble au premier abord qu'on a ainsi résolu, de la manière la plus générale, la question consistant à rechercher les conditions d'équilibre d'un système matériel quelconque; mais, si Ton essayait de se servir de cette solution, on verrait bien vite qu'elle est au fond assez illusoire. Premièrement tous les corps visibles et tangibles pour nous se composeot d'un nombre immense de particules, et, par conséquent, les équations d'équilibre, trouvées comme on vient de le dire, pour chacune de ces particules, seraient aussi en nombre très considérable. Secondement ces équations contiennent, comme inconnues auxiliaires, un nombre encore plus grand de forces qui ne sont pas données a priori; ainsi les actions

mutuelles des points deux à deux, en nombre — ^ > devraient se déterminer d'après les lois encore très imparfaitement connues qui régissent la cohésion dans chaque espèce de corps, et l'on peut avoir à rechercher encore d'autres forces produites par des obstacles gênant le déplacement du corps dont on étudie l'équilibre. On voit, par conséquent, qu'il reste des difficultés très sérieuses à surmonter, pour tirer du théorème général des travaux virtuels les conséquences pratiquement applicables, qui s'y trouvent implicitement renfermées. Le but auquel on doit tendre, c'est d'arriver, dans chaque cas particulier, au moindre nombre possible d'équations nécessaires et suffisantes pour l'équilibre, en se débarrassant autant qu'on le peut des inconnues auxiliaires, sauf à reprendre ensuite la recherche de ces inconnues, afin de voir si elles satisfont de leur côté aux conditions spéciales qui leur

THÉORÈME DU TRATAIL TIRTUEL. 35 1

sont imposées, en raison de la nature et des propriétés physiques du corps considéré.

L'ensemble de la troisième Partie de ce Cours donnera, dans une certaine mesure, la réalisation de ce programme. Mais, avant d'entrer dans Texamen des théories particulières, nous allons tirer de Téqualion (2) quelques conséquences encore très générales, quoiqu'elles le soient à un degré moindre que cette équation elle-même.

128. Lemme relatif à la somme des travaux de deux forces égales et de sens contraires, — On suppose que deux forces ayant une même intensité/agissentsur deux points A et B {Jig. 170), dans la direction de la ligne qui les joint; on demande la somme des travaux de ces forces dans un déplacement infiniment &• * • ^^

petit, virtuel ou réel, qui amène ^ 7

AB à la position A'B'. Abaissons f a a ~~ b6 7 de A' et B' les perpendiculaires

k'a et B'6 sur AB; les travaux des deux forces seront — f.Aa eiJ.Bbf ce qui donne une somme

/(B6~Â^) ou, en ajoutant et retranchant aB dans la parenthèse,

/(^ — ÂB).

Or la longueur A'B' ne diffère que par les infiniment petits du second ordre de sa projection ab sur une ligne de direction infiniment peu différente; ab — AB est donc la différentielle de la distance AB = r des deux points dans leur déplacement, différentielle que nous désignerons par la notation Sr ou dr, suivant qu'il s'agira d'un déplacement virtuel ou réel. Le travail total des deux forces a donc pour expression

/ôr ou fdr.

Il faut remarquer que la figure a été faite pour le cas de forces tendant à éloigner l'un de l'autre leurs points d'application, c'est-à-dire de forces répulsives. Si les forces chan-

35a TROlSlfcXE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

geaient de sens et devenaient attractives, les travaux changeraient de signe et leur somme pareillement; pour la complète généralité de l'expression ci-dessus, il faut donc convenir de considérer comme négatives les forces d'attraction.

129. Équations générales de Véquilibre, — On sait(n® 137) que la somme des travaux virtuels de toutes les forces agissant sur les divers points d'un système matériel doit être nulle, lorsqu'on attribue à chaque point un déplacement virtuel absolument arbitraire, pourvu qu'on tienne compte de toutes les forces, quelle qu'en soit l'origine. Si l'on fait choii d'un déplacement virtuel particulier et qu'on applique cet énoncé, on aura entre les forces une relation à laquelle elles devront toujours satisfaire, dans l'hypothèse de l'équilibre; c'est-à-dire qu'on aura une des conditions nécessaires de l'équilibre. On peut d'ailleurs choisir ce déplacement de manière à faire disparaître les travaux de telle ou telle catégorie de forces, et arriver ainsi à des équations plus ou moin^ simples.

Supposons, par exemple, qu'on choisisse un déplacement tel que tous les points conservent entre eux les mêmes distances, ou, en d'autres termes, qu'on prenne un des déplacements qui pourraient avoir lieu si le système était solidifie et parfaitement libre de tout obstacle; on fera ainsi disparaître les forces intérieures et l'on obtiendra une relation entre les forces extérieures seules. En effet, si une force/est exercée par un point A du système, sur un autre point B qui en fait également partie, le principe fondamental de la réaction égale à l'action (n*95) nous apprend que, réciproquement, le point B exerce sur A une autre force /égale et coiitraire à la première, de sorte que toutes deux agissent suivant la droite AB. Nous savons de plus (n* 128) que la somme des travaux de ces deux forces sera —y or (en nommant r la distance AB), c'est-à-dire zéro dans le cas actuel, puisque r n»' varie pas. Toutes les forces intérieures pourront ainsi éin* partagées en groupes de deux forces dont les travaux se détruiront algébriquement, et par conséquent leur travail total sera bien nul; donc on doit égaler à zéro la somme des travaux virtuels des forces extérieures seules, dans tout déplace-

ment qui sera, comme nous le supposons maintenant, compatible avec la solidification du système et sa complète liberté. Un tel déplacement peut toujours être considéré comme composé de six déplacements particuliers (n° 38), savoir : trois translations parallèlement à trois axes coordonnés et trois rotations autour des mêmes axes. Nous prendrons un système de trois axes rectangulaires Ox, Oj, 0^ et nous appellerons

8a, 86, 8c les trois translations;

8X, 8(x, 8v les trois rotations.

Soit, en outre, F une quelconque des forces extérieures, ayant X, Y, Z pour projections sur les trois axes et x, y, z pour coordonnées de son point d'application.

La définition du travail (n<» 102) nous montre d'abord immédiatement que le travail de F, dans chacune des trois translations oa, 86, 8c attribuées à son point d'application, a pour

valeur

Pour avoir le travail dans Tune des rotations, il faut faire le produit du moment de la force relativement à Taxe par le déplacement angulaire (n<» 102). Or les trois moments de F s'expriment (n* 103) par

donc les travaux de cette force, dans les trois rotations 8X, 2;jL, cv, seront respectivement

(Z7-Yx;)8X, (X5-Za:)8ix, (Ya? — X/)8v.

Par suite, comme le travail d'une force dans un déplacement résultant est égal (n<> 102) à la somme de ses travaux dans les déplacements composants, on aura pour le travail de ia force F

H-(X5 — Za:)8|x-h(Ya? — X7)8v.

Sommant enfin les expressions analogues pour toutes les forces extérieures, on obtient leur travail total, dans le dépla-

Brcssb. " Cours de Mec. I. a3

cernent dont il s'agit,

oaSX -r- o62 Y H- 8c2Z -f- oX2(Z7 — Yc)

-T- S|xS(X:î — Zx) -t- ov2(Y:f — Xv),

car oa, S6, oc, oX, ôja, ov ne varient pas d'un point d'applicalioD à un autre et peuvent passer, comme facteurs communs, en dehors des signes sommatoires 2.

Maintenant, si l'on veut écrire que cette somme de iravanx est nulle, quel que soit le mouvement donné au système rendu solide, c'est-à-dire sans supposer aucune relation enlre les six mouvements composants, il est évidemment nécessaire el suffisant d'annuler chacune des six sommes partielles dont elle se compose, ce qui donne les équations

(3) SX— 0, 2Yi::rO, 2Z = 0,

(4) 2(Z7-Y5) = o, l.(Xz — Z^) = Oy 2{Y^ — Xr) = o.

Ces six équations entre les forces extérieures seules se nomment les équations générales de Véquilibre; elles se déduisent comme une conséquence du théorème établi aa n« 127, qui est vrai dans tous les cas, et par conséquent elles expriment toujours des conditions nécessaires de Téquilibrc d'un système quelconque. Mais, comme on n'a pas laissé aux déplacements virtuels qui figurent dans l'équalion (2) da n*» 127 toute leur généralité, oh ne peut pas affirmer que la vérification de cette équation résulterait de celle des équations (3) et (4); ces dernières ne sont donc pas, en général, des conditions suffisantes. Nous verrons toutefois plus loin qu'elles le sont dans un cas particulier très important, celui des systèmes solides.

Lorsque les équations (3) et (4) sont satisfaites, la somme des travaux des forces extérieures est nulle, dans un déplace ment virtuel quelconque, compatible avec la solidification du système et sa complète liberté. Si donc on exprimait la nullité de cette somme en employant d'autres axes recian^laires, on obtiendrait autant d'équations qu'on le voudrait, de même forme que les équations (3) et (4), mais qui en seraient nécessairement la conséquence. La substitution de déplacements de ce genre dans l'équation générale qui traduit

TBËOBftHB DU TRAVAIL TIBTUBL. 355

analytiquement le théorème du travail virluel ne peut donc conduire qu'à six équations distinctes.

Un de nos trois axes rectangulaires, considéré séparément, est une droite quelconque. On peut donc dire, en vertu des équations (3), que :

La somme algébrique des projections, sur un axe quelconque, des forces extérieures appliquées à un corps en équilibre est toujours nulle; el, en vertu des équations (4)t que :

La somme algébrique des moments de ces mêmes Jorces, relativement à un axe quelconque, doit être également nulle.

§ II. — Équilibre des systèmes à liaisoss.

130. Des systèmes à liaisons. — Nous sommes resté, dans tout le cours du § I de ce Chapilre, sur le terrain d'une complèle généralité, en ce sens que nous n'avons rien supposé de particulier quant au système matériel considéré. Si nous disons maintenant qu'il existe une certaine dépendance mutuelle, ou des liaisons, soit entre les diverses parties du système, soit entre ce système et des corps qui n'y sont pas compris, nous ne faisons qu'exprimer une condition toujours remplie dans le monde réel; mais nous allons nous placer dans un cas parliculier, quoique toujours très étendu, en faisant une certaine hypothèse sur la nature de ces liaisons. Nous admettrons que : les forces produites par les liaisons, et en vertu desquelles elles sont capables de modifier l'état de mouvement ou de repos du système, font une somme de travaux virtuels constamment nulle, quand on attribue au système un quelconque des déplacements particuliers que les liaisons (aCisent possibles. Ces déplacements sont dils compatibles avec les liaisons.

Les liaisons présentant le canictère essentiel qu'on vient de définir n'existent jamais d'une manière absolument rigoureuse dans les corps ou systèmes de corps naturels; elles ne sont donc qu'une conception idéale, dont la réalisation pratique pourra être obtenue avec plus ou moins d'approximation, suivant les circonstances.

TROISIÈXB PàRTU. — CHAPITRE PREMIEil.

Voici quelques exemples de ces liaisons idéales, avec cei tains moyens pour les réaliser qui entraînent la vériûcatit de la propriété caractéristique ci-dessus énoncée :

I* Deux points Jaisant partie d'un système matériel m

assujettis à conserver entre eux une distance constante, —I

liaison produit le même efTet que l'ensemble d'une action

d'une réaction égale et contraire, exercées sur les points p4

une ligne matérielle de longueur invariable qui les unir

l'un à l'autre, ces deux forces étant répulsives ou attracilî^

suivant que les points tendent à se rapprocher ou à s'éloigne

et possédant à chaque instant l'intensité nécessaire pourei

pécher cet effet de se produire; ou bien encore nous imaj

nons que les points sont capables par eux-mêmes de faii

naître cette action mutuelle. Si l'on attribue au système

déplacement quelconque compatible avec la liaison dont

s'agit, la distance r des deux points ne varie pas; nous ave

déjà vu, par application du lemme établi au n* 128, quedai

ce cas la somme des travaux des deux forces est nulle.

2* Un point du système est assujetti, soit à rester fixe, ioU^ se mouvoir sur une courbe ou sur une surface donnée, le point doit rester immobile, on conçoit la possibilité de maintenir en repos par une force d'intensité convenable q«< la liaison ferait agir sur lui, toujours en sens contraire d< mouvement qu'il tendrait à prendre. Dans tout déplacemenl compatible avec celte liaison, le point reste immobile, et pal suite la force de liaison qui lui est appliquée ne fait auc travail.

Si le point doit glisser sur une courbe ou surface donnéej nous avons déjà supposé (n*»" 110 et 111) qu'on arriveàce sultat au moyen d'obstacles produisant sans cesse une for normale à la courbe ou à la surface; la chose est évidenimeDi possible à titre de conception idéale, car une force ainsi dirigée et possédant une intensité convenable suffit pour empêcher à chaque instant le point de se mouvoir dans léser normal et pour l'obliger ainsi à rester sur la courbe ou laso^' face. Le mouvement du système étant supposé compatibKJ avec la liaison, le point dont il s'agit prend alors un déplie* ment perpendiculaire à la force que cette liaison produilr^| le travail de celle force est nul.

THÉOBÈMB DU TRÀYAIL VIRTUBL.' 807

3® Deux surfaces solides sont assujetties à glisser l'une sur Vautre. — 11 est clair qu'une action mutuelle dirigée suivant la normale commune au point de contact suffit encore pour maintenir les surfaces tangentes entre elles; nous supposons que leur action mutuelle soit effectivement normale. Imaginons maintenant un déplacement élémentaire quelconque compatible avec la liaison, c'est-à-dire dans lequel les surfaces ne cesseront pas d'être en contact. Nommons S et S' les deux surfaces [/ig. 171); N l'action normale exercée par S' sur S et N' la réaction égale et contraire p.

exercée par S sur S'. Si les deux surfaces avalent un mouvement commun, leur point de contact A aurait le même déplacement, et par suite le travail de N serait égal et de signe contraire à celui de N', de sorte que leur somme serait bien nulle. Si les deux surfaces ont des mouvements différents, on peut toujours regarder celui de S comme résultant de la composition de trois mouvements, savoir : i<> le mouvement de S'; 2* une rotation autour d'un axe passant en A; 3<» une translation nulle ou parallèle au plan tangent commun; ces deux derniers mouvements constituent, comme on Ta vu en Cinématique (n» 41), le mouvement relatif de S par rapport à S'. D'autre part, le travail de N dans le mouvement résultant est égal (n** 102) à la somme des travaux de cette même force dans les mouvements composants. Celui qui répond au premier détruit algébriquement le travail de N', et ceux qui répondent aux deux autres sont évidemment nuls, parce qu'ils donnent au point A un déplacement nul ou perpendiculaire à N. La somme algébrique des travaux de N et de N' est donc bien nulle dans tous les cas.

131. Théorème du trat^ail virtuel dans le cas d'un système à liaisons. — Nous supposons un système matériel dans lequel existent des liaisons jouissant de la propriété caractéristique définie au n<> 130. Nous pouvons toujours lui appliquer le théorème absolument général du n* 127, en choisissant certains déplacements virtuels particuliers, ce qui nous donnera, comme nous l'avons déjà remarqué (n* 129), un certain

nombre de conditions nécessaires pour l'équilibre, sinon rensemble des conditions suffisantes. Si nous choisissons pour ces déplacements particuliers ceux qui sont compalibies avec les liaisons, nous aurons l'avantage d'obtenir des conditions dans lesquelles n'entreront pas les forces dues aux liaisons, puisque ces forces font une somme de travaux nulle (n** 130) et que, par conséquent, les termes qui leur correspondent dans réquation fournie par le théorème du travail virtuel se détruisent toujours.

On peut dès lors partager toutes les forces en deux groupes, savoir : i^ celles qui sont produites par les liaisons; 2? celles qui ont une autre origine, quelle qu'elle soit (*). Od nomme ces dernières forces directement appliquées. Moyennant celle définition, nous concluons de l'observation qui précède que :

Dans tout système à liaisons en équilibre, la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées est nulle, pour l'un quelconque des déplacements du système compatibles a^tc les liaisons.

On voit bien en quoi ce théorème diffère de ceux du n* lîT; on ne prend la somme des travaux virtuels que pour une partie des forces réellement agissantes; mais, en même temps, on ne prend plus un déplacement virtuel arbitraire, on prend seulement un de ceux qui sont possibles, eu égard aux liaisons. En procédant ainsi, on ne fait pas complètement la vérification prescrite (n® 127) pour être certain que l'équilibre existe; la réciproque de la proposition directe que nous venons d'énoncer n'est donc pas une conséquence des théorèmes du n° 127 et elle n'est en aucune façon évidente. Mais elleest vraie néanmoins, et nous allons établir que :

Réciproquement, si, dans un système à liaisons, la somme

( ' ) II est bon de remarquer que celte classifîcatioQ des forces ne coïncide pas avec celle que nous avons employée au n" 127. Sans doale, oo pest toujours considérer une force intérieure comme force de liaison, mais la ^^ ciproque n'est pas toujours exacte et une force de liaison peut ètrf, suivant les cas, intérieure ou extérieure. Par exemple, la réaction mnlaelk de deux surfaces solides comprises dans un système constituerait un groupe de deux forces intérieures; un point fixe produirait, au contraire, une fonci

extérieure sur le système qui lui serait attaché.

THËOnÈHE DU TRAVAIL VIRTUEL.

des travaux des forces directement appliquées est nulle tout déplacement compatible avec les liaisons, le système posé primitivement en repos y persistera indéjlniment.

Supposons, en effel, que cela n'ait pas lieu el que le tème sorte du repos pour se mettre en mouvement. Cli poinl prendra une certaine accélération j dans le sens n de son déplacement, car ici la vitesse est nulle et l'accé lion normale n'existe pas (n° 13); si m désigne la masi ce point, la force qui détermine sa mise en mouvemen donc mj, dans le sens du déplacement supposé. Il est évident qu'une force égale et contraire —mj, appliqu chaque point, détruira le mouvement qui, par hypotlièsc, se produire, et que, sous l'action des forces primitive agissantes et des nouvelles forces — m/ appliquées à toi points, l'équilibre existera. Si l'équilibre existe, nous poi faire usage de la proposition directe donnée ci-dessu aous pouvons de plus choisir pour déplacement virtuel V placement réel qui allait se produire, et que nous avons péché par l'introduction de toutes les forces —mj. Ce di cernent est en effet l'un de ceux que les liaisons permel puisqu'il allait se produire sous leur influence. Or cela é 1° le travail de toutes les forces dues aux liaisons est l' le travail des forces directement appliquées est nul a par hypothèse. Donc la somme des travaux de toute; forces — mj, les seules dont il nous reste à tenir compK également nul. Mais, d'un autre côté, ces forces sont t( diroctemenl opposées au déplacement de leurs points i plication, de sorte que chacune d'elles fait un travail né} la somme de tous ces travaux de môme signe ne peut oulcr, sans que chaque travail soit individuellement DoDc l'accélération / de chaque point, dans le mouvei supposé, se réduit à zéro; donc, enfin, le système per dans son immobilité initiale, sans qu'on ait besoin d'au force nouvelle pour l'y maintenir.

13-2, Exemple de l'application du théorème précéden Prenons un système composé de deux soliilcs, qui Hent respectivement autour de deux axes parallèles ^'W'S- '72); la communication de mouvement se fait de

36o TROISlÈaiE PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

à l'autre par un engrenage, en vertu duquel leurs déplacements angulaires respectifs Bx, ox' auraient, s'ils se produi-

ox'

salent effectivement, un rapport connu r=z-^ — Ce système

rentrera bien dans la définition du n^ 130, pourvu qu'on admette l'absence de frottement entre '^* *'^' les surfaces en contact et l'invariabi-

^^ /^ ^*' lité de chaque solide. En effet, les

points de chaque solide sont alors à

^ des distances constantes les uns des

^p, autres; de plus, la fixité de chaque

axe, ainsi que la communication de Fun à l'autre, s'obtiennent au moyen de surfaces mobiles glissant sur d'autres surfaces fixes ou mobiles, glissement que nous supposons pouvoir se produire sans que les surfaces éprouvent autre chose qu'une action mutuelle normale.

On suppose ensuite qu'une force P est appliquée au premier solide, sur la ligne 00', dans une direction perpendiculaire et à la dislance/? de l'axe 0; une force P', de direction parallèle à P, agit de môme sur le second solide, en un point de 00' et à la distance p' de l'axe 0'; quelle est alors la condition d'équilibre entre ces deux forces?

Le premier solide ne peut que tourner autour de 0 dans an sens ou dans l'autre; donnons-lui un déplacement angulaire virtuel ox dans le sens indiqué par la flèche; alors le second solide tournera autour de 0' d'un angle ûx'=rûx, dans un sens déterminé, qui sera, par exemple, le sens contraire à celui de Sx, si l'on a un engrenage extérieur. On peut maintenant appliquer le théorème du n"» 131, qui donnera

P/? 8a — Py r 8a = o

ou simplement

Pp r=z py r.

Telle est la condition d'équilibre demandée, et il n'y en aura pas d'autre; car le mouvement virtuel que nous avons donné au système est le seul que permettent les liaisons, sauf le changement possible du sens, qui n'entraînerait d'ailleurs aucune modification à l'équation obtenue.

On voit, par cet exemple, combien est considérable le pas

qu'on a fait en transformant le théorème général du n^ 127 en celui du n** 131. Le premier suppose remploi d'un nombre énorme d'inconnues auxiliaires, pour arriver en fin de compte à une seule relation, que le second nous donne tout de suite et sans avoir à faire aucune élimination.

Nous remarquerons encore que la condition d'équilibre entre P et P' peut s'écrire

Or r est le rapport des vitesses angulaires, qui se produiraient si les deux corps tournaient réellement autour des axes 0 et

0' et, par suite, - — exprime le rapport entre les vitesses des

points où agissent respectivement les forces P' et P; la condition consiste donc en ce que le rapport des forces est inverse de celui qui existerait, dans un mouvement réel du système, entre les vitesses de leurs points d'application.

La même propriété se démontrerait d'une manière analogue, sans aucune difficulté, dans le cas d'un système à liaisons, soumis seulement à deux forces directement appliquées, en supposant les points d'application assujettis à se déplacer dans la direction des forces et avec un rapport de vitesses déterminé a priori. Les anciens auteurs énonçaient cette propriété en disant : ce que Von gagne en force, on le perd en vitesse. Effectivement, quand on veut faire équilibre à une force donnée P, par une autre force P' qu'on applique en tel ou tel point, il faut prendre P' d'autant plus grand que son point d'application a une vitesse moindre, Qlvice versa.