PARTICULIERS

§ I. — Équations d'équilibre des solides libres on assujettis

à diverses liaisons.

133, Cas d* un solide libre. — On a trouvé (n^ 129) six équations générales auxquelles doivent satisfaire les forces extérieures appliquées à un système matériel quelconque en équilibre; ces équations, toujours nécessaires, ne sont pas en général suffisantes. Mais nous allons prouver qu'elles sont suffisantes dans le cas d'un solide invariable parfaitement libre.

En effet, les forces de liaison ou les forces intérieures qui se développent entre les divers points du solide, considérés deux à deux, sont des actions mutuelles égales et contraires (n* 95), qui ont pour conséquence de rendre invariables les distances de ces points; la somme des travaux virtuels de ces forces est donc nulle dans tout déplacement, compatible avec la solidité du système (n<» 128), d'où il résulte que les choses se passent comme si l'on avait établi entre toutes les combinaisons de deux points la première des liaisons données comme exemple au n° 130. Le corps solide n'est donc pas autre chose qu'un cas particulier des systèmes à liaisons, pour lesquels la condition nécessaire et suffisante de Téquilibre consiste (n*» 131) en ce que la somme des travaux virtuels des forces directement appliquées doit s'annuler, quand on imagine un déplacement quelconque permis par les liaisons. Dans ce cas particulier, les forces autres que celles de liaison, ou les forces directement appliquées, se confondeni avec les forces extérieures; les déplacements compatibles

ËOCrUBRE DES SOLIDES, ETC.

avec les liaisons sonl lous ceux que le solide peul réelleir prendre. Or les six équations générales (3) et (4) du n° expriment justement que la somme des travaux des Toi extérieures est nulle, en déplaçant le système sans le former; ce sont doncles équations suffisantes, enméme tei que nécessaires, conformément au théorème du n» 131.

Les six équations (3) ei (4) peuvent, d'ailleurs, se s pliGer dans divers cas particuliers que nous allons indiqi

1° Toutes les forces concourent en un même point. — l'on prend ce point pour origine des coordonnées, l'une qi conque des forces rencontrera les trois axes et aura son ment nul relativement à chacun d'eux. Les équations (4 trouveront, en conséquence, vérifiées identiquement et i restera, comme conditions d'équilibre à remplir, que les l équations (3), soit

SX^o, SY — o, SZ-^o.

Ces équations signifient que la somme algébrique des | jeclions des forces sur les trois axes doit être égale à zér

a» Cas des forces parallèles. — Prenons un des axes, I des s par exemple, parallèle à la direction commune forces; alors chaque force aura des projections \, Y m sur les deux autres axes, et son moment sera en outre relaiivemenl à l'axe des z. La première et la seconde équations (3), ainsi que la dernière équation (4). sontvéril identiquement, et il ne reste que les équations sZ = o, sZ/.^o, zT.x-=Q.

Elles expriment que la somme algébrique des forces el sommes algébriques de leurs moments par rapport à deux rectangulaires entre eux et perpendiculaires à la directior forces, sont égales à zéro.

3° Cas de forces contenues dans un même plan. — Si choisît ce plan pour plan des xy, les deux quantités s sont nulles pour toutes les forces. Trois des six équatior trouvent encore vériUces d'elles-mêmes; les autres se ré sent à

SX ^o, SY-o, E{Y^ — X7)-o.

Les deux premières signifient que les forces ont une sor

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algébrique de projection nulle, sur deux axes rectangulaires pris dans leur plan; la dernière que la somme algébrique de leurs moments est nulle, relativement à un point de ce plan ou à un axe perpendiculaire.

134. Solide assujetti à tourner autour d'un point fixe. — La fixité d'un point du solide pouvant être obtenue au moyen d'une force de grandeur et de direction convenables, appliquée en ce point, concevons que l'obstacle immobile auquel on attache le corps soit disposé de manière à être capable de produire cette force, mais rien de plus. Comme cette force fait, dans tous les déplacements que le solide peut encore prendre, un travail constamment nul et qu'il en est de même pour les forces intérieures (n° 133), on a encore ici un système à liaisons auquel s'applique le théorème du n<* 131.

Les seuls déplacements compatibles avec les liaisons sont (n« 24) des rotations autour d'axes passant par le point Gxe. Prenons ce point pour origine de trois axes coordonnés rectangulaires Oxy Oj, 0-5 et soient ^X, 6|x, ov les composantes d'une rotation virtuelle, autour de ces trois axes. L'expression générale du travail total des forces extérieures trouvée au n» 129 devient ici, puisque les composantes oa, 8^, le de la translation sont nulles,

8X 2(2/ — Y^) -h 8hl 2(X5 — Zx) -h 8v 2{Ya; — X/);

pour que celte somme des travaux virtuels soit constamment nulle, il faut et il suffit qu'on ait

'L(ly — Yz)^Oy 2(X-c — Za:) = o, 2(Ya7 — Xv)=o.

On retrouve seulement trois des six équations générales de l'équilibre, qui, avec les axes particuliers qu'on a choisis, sont les conditions nécessaires et suffisantes de l'équilibre dans le cas actuel.

Les trois équations ci-dessus expriment que les trois sommes algébriques de moments des forces extérieures relativement à trois axes rectangulaires issus du point fixe 0 sont égales à zéro. Comme chaque axe en particulier est une droite quelconque passant par le point 0, on peut dire que la somme algébrique des moments est nulle relativement à

chacune de ces droites; mais il suffit de Tavoir vérifié pour trois droites formant un système d'axes rectangulaires. Après cette vérification, il est prouvé que les forces se font équilibre ; on peut donc affirmer (n° 131) que leur travail sera nul dans une rotation du corps autour d'une des droites dont il s'agit; la somme des moments est donc aussi nulle, car elle ne diffère de la somme des travaux que par un facteur égal au déplacement angulaire (n» 102).

La méthode qu'on vient d'employer donne bien les conditions d'équilibre; mais elle ne conduit pas à déterminer la force exercée sur le solide par l'obstacle auquel est due la fixité du point 0. Afin d'y arriver, nous concevrons que, d'une part, on supprime la fixité de ce point, et que d'autre part on applique au solide, en 0, une force égale à celle que produisait l'obstacle. Rien ne sera changé aux forces agissant sur le corps, et par conséquent l'équilibre se maintient après comme avant cette modification; mais elle a eu pour conséquence de rendre le corps parfaitement libre, de sorte que nous devons lui appliquer les équations (3) et (4) du n® 129, nécessaires et suflisantes. Conservons toujours nos axes ci-dessus employés qui passent par le point fixe; soient Xi, Yi, Zi les projections sur les axes de la force inconnue, produite par l'obstacle et passant en 0. Rien ne sera changé par l'introduction de cette force, dont le moment relativement à chacun des axes est nul, aux trois équations (4)> et celles-ci restent les trois conditions d'équilibre déjà trouvées; mais les équations (3) donnent en outre

Xi-f-2X:i=0, Yi+SY^O, Z,H-2Z=:o,

ce qui fait connaître la force demandée par ses trois composantes suivant les axes. On peut remarquer que, si toutes les forces étaient transportées parallèlement à elles-mêmes en 0, ces forces transportées auraient une résultante R égale à celle de leurs lignes représentatives, et les projections de cette résultante sur les trois axes seraient justement (n<» 101) les trois

sommes

SX, 2Y, 2Z;

la force Ri exercée par l'obstacle a donc ses projections égales

et contraires à celles de R, en vertu des trois dernières équations ; donc Ri est égale à R et directement opposée.

135. Solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe. — La fixité d'une droite peut s'obtenir en fixant deux de ses points ou un plus grand nombre; dans tous les cas nous admettrons, comme au n^ i^ky que chaque obstacle capable de rendre fixe un point du corps ne produit sur lui qu'une ou plusieurs forces passant par ce point. Le travail de ces forces est toujours nul, quand on donne au solide le seul déplacement virtuel qui reste possible, c'est-à-dire une rotation autour de la droite fixe; donc le solide est encore un système à liaisons, dans le sens défini au n<* 130, auquel s'applique par conséquent le théorème du n® 131. Si l'on suppose que l'axe fiie soit pris pour axe des z dans un système de trois axes rectangulaires Oj7, Oj, Ozy en conservant le sens des notations emloyées au n<* 13^, la somme des travaux virtuels dans la rotation 8v sera

et par suite on aura pour seule condition d'équilibre

11 est donc nécessaire et suffisant que la somme algébrique des moments des forces extérieures par rapport à la ligne ûie soit égale à zéro.

On peut encore demander les forces exercées sur le corps par ses appuis, en vertu de la fixité d'un certain nombre de

points de l'axe 0^. Pour résoudre

^^^' '^^* cette question, nous allons d'abord

^1 supposer qu'on ait fixé un point 0 de

P cet axe {fig. 173); nous y placerons

^"Àz» ^* l'origine de nos axes rectangulaires.

'Ç; ! Nous admettons que la fixité de 0 soit

"o *ï^~x obtenue par des forces appliquées en

0 sur le solide et donnant une réif ^* sultante dont X,, Y,, Zj représentent

les projections sur les trois axes. Le point 0 de 0;? étant ainsi rendu fixe, il suffit, pour assui-er

rimmobilité de cette ligne, d'empêcher un- autre point P de se mouvoir, et, comme le point P ne peut déjà plus se déplacer que perpendiculairement à OP, il suffit d'exercer sur lui une force en sens contraire de ce déplacement. Cette force est contenue dans le plan mené par P, parallèlement à a?0/, et Ton peut concevoir qu'elle soit produite par un petit anneau fixe dans lequel s'engagerait l'axe de rotation. Soient Xj, Yj ses projections sur des parallèles aux x et aux y. Le système des cinq forces Xi, Yj, Z,, Xj, Yj est le plus simple parmi ceux qui suffisent pour rendre l'axe 0^ fixe dans tous les cas, indépendamment de toute supposition sur les forces extérieures appliquées au solide.

La fixité de Taxe ne pouvant exercer d'influence sur l'équilibre du solide que par les forces X., Y., Z^, X„ Y, auxquelles elle donne naissance, nous avons le droit de considérer le corps comme un solide libre, restant en équilibre sous l'action de ces forces et de celles qui sont directement appliquées. Si nous nommons A la distance OP, les six équations d'équilibre entre toutes ces forces seront (n® 133)

2X-+Xi + X, — o, 2Y^Y,-hY,^o,

2Z -f-Zi— o, 2(Z7--Y^)-Y,>i = o, 2(X5 — Z:r)-hXj/i=3 0,