X = o, ZYzzzo, 2(Ya? — Xr) = o

c'est-à-dire que les projections des forces sur un plan parallèle au plan fîxe doivent vérifier les conditions d'équilibre d'un système de forces contenues dans un même plan.

Soient maintenant Zi, Z,, Z3 les réactions exercées, parallèlement à Taxe des z, sur trois points du corps ayant dans le plan des iTj les coordonnées j?„ 71,0:2, /2,j78,j3, afin de maintenir ces points à une distance constante du plan fixe; aucune autre force analogue ne sera exercée, par hypothèse, en d'autres points. Lorsqu'on tient compte de ces forces Zi, Z,, Zj, on peut regarder le solide comme libre; les équations d'équilibre, en conservant les axes employés ci-dessus, seraient au nombre de six, savoir les trois qu'on vient d'établir et les trois suivantes :

Zi-+-Zj + Z3-i-2Z = o,

Zi/i H- ZjJ, -+- Z3/3 4- 2 (Z7 — Y.5) = o, — JL\ %Vi — li^oc^ — Li^oc^ — H 2< ^ tL^ — làCCj — o»

On tirerait de là les inconnues Zi, Zj, Z3.

Dans le cas où Ton voudrait assujettir plus de trois points à se mouvoir parallèlement au plan fixe, les conditions d'équi. libre à vérifier par les forces directement appliquées resteraient les mômes; mais les réactions inconnues Z^ ne pourraient plus être déterminées au moyen du même procédé, puisqu'on n'aurait toujours que trois équations entre un plus grand nombre d'inconnues.

Brsssr. — Cours de Méc, I. ' 2^

SjO TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE PREXIER.

§ II. — Équivalence de deux systèmes de forces appliquées à un solide ; rédaction ou composition de ron de ces systèmes.

137. Définition et propriétés principales des systèmes équivalents, — Deux systèmes de forces sont dits équivalents, lor^ qu'on peut substituer Tun à Taulre sans troubler l'équilibre d'un solide parfaitement libre, auquel ils seraient successivement appliqués, soit seuls, soit conjointement avec un troisième système qui resterait commun dans les deux cas.

Désignons par

(A), (A'), (A") trois systèmes de forces;

X, Y, Z les trois sommes algébriques de projections des forces du système (A) sur trois axes coordonnés rectangulaires;

L, N, Q les trois sommes algébriques de moments des même* forces relativement aux mêmes axes;

X', Y', Z', L\ X, Q'; X% Y^ Z\ L^ V, Q'' les quanlilés analogues pour chacun des deux systèmes (A') et (A*^).

Si les systèmes (A) et (A''), agissant ensemble, se font équilibre sur un solide libre, ils devront vérifier les équatioD? nécessaires et suffisantes (n*» 133)

X + X^=o, Y + Y'^i^o, Z4-Z'=io,

Ln-L^rrio, N4-N''=:o, Q-i-Q'z^o.

Admettons maintenant qu'on puisse, sans troubler l'équilibre, remplacer le système (A) par le système (A'), ce qui permettra de dire, conformément à la définition précédente, que l'un est équivalent à l'autre; on aura pour conditions nécessaires et suffisantes de ce second équilibre

La comparaison de ces deux groupes d'équations donne immédiatement l'ensemble des conditions nécessaires et suffisantes pour qu'elles puissent avoir lieu simultanément, ou pour que (A) et (A') soient équivalents entre eux; elles con-

ÉQUILIBRE DES SOLIDES, ETC. Sj l

sistent en ce que

( X=rX', Y=:Y', Z =Z',

Ainsi, pour que deux systèmes de forces soient équivalents, il faut et il suffit qu'ils aient les mêmes sommes algébriques de projection sur trois axes rectangulaires et les mêmes sommes algébriques de moments relativement à ces axes.

Chaque axe pris en particulier étant une droite que rien ne définit, il est clair que la même égalité des sommes de projections ou de moments doit se vérifier pour un axe quelconque; mais, puisque les six équations déjà établies suffisent pour assurer Téquivalence, il est bien évident qu'en variant cet axe comme on voudra, on ne trouvera que des équations pouvant se déduire des six premières.

Les équations d'équivalence (i) peuvent s'écrire