X-X'=:io, Y-Y'i=o, Z— Z'=o, L-L' = o, N-;N'=o, Q-Q'=:o

Sous cette forme, elles sont identiques avec les équations nécessaires et suffisantes pour que le système (A) fasse équilibre au système (A') changé de sens et appliqué au même solide, ces deux systèmes étant censés agir seuls. Ainsi donc, deux systèmes équivalents étant appliqués seuls au même solide, en changeant de plus le sens de toutes les forces pour l'un d'entre eux, ces deux systèmes se feront équilibre.

Le mouvement élémentaire le plus général d'un solide s'obtient par la composition de trois translations da, db, de suivant les axes coordonnés, et de trois rotations dk, <i|x, dy autour des mêmes axes; comme on l'a démontré au n® 129, le travail du système (A) dans ce mouvement serait

Xda-hYdb-hZdc-i-LdX-^'SdiK-hQdw; le travail du système (A') s'exprimerait pareillement par

\'da-^Y'db -\-Z'dc-h L' d). 4- N'^fi. -+- Q'rfv; ces deux expressions étant égales, en vertu des équations

d'équivalence (i), on voit que deux systèmes équivalenls produisent le même travail, dans tout déplacement du solide auquel on les supposerait appliqués, l'un au lieu de Tauire. Les deux propriétés qu'on vient d'indiquer en dernier lieu sont tout à fait caractéristiques de l'équivalence; on pourrait adopter chacune d'elles comme défînition, et rien ne serait alors plus facile que d'en tirer les équations (i) ci-dessus. On constaterait ainsi que toutes ces définitions rentrent les unes dans les autres.

138. De la réduction ou composition d'un système de forces. — Étant donné un système de forces agissant sur un corps solide en équilibre, il est naturel et il peut être souvent utile de chercher un système plus simple, comprenant le moindre nombre possible de forces, capable de remplacer le premier sans troubler l'équilibre du corps, c'est-à-dire équivalent, suivant le sens attribué à ce mot (n* 137). Ce remplacement d'un système par un autre plus simple se nomme réduction ou composition des forces données.

Avant d'entreprendre cette opération dans le cas le pins général, nous l'effectuerons dans divers cas particulier. El tout d'abord il est bon d'indiquer quelques propositions préliminaires dont l'usage est très fréquent :

I® Le point d'application d* une force peut être transport en un point quelconque appartenant au même solide et situé sur la ligne d'action de la force, — Soit donnée la force F appliquée au point M d'un solide en équilibre (flg. 174); j^

considère une autre force F' égale à la Fig. 174. première, agissant suivant la même

droite, mais appliquée en un autre "f M ^' *' point M' du même solide. Il est clair

que ces deux forces auront même projection sur une droite quelconque et même moment relativement aussi à telle droite qu'on voudra; donc elles sont équivalentes (n® 137), et l'une peut se substituer à l'autre, sans que le solide cesse d'être en équilibre.

2<» Bée ip roque ment, si deux forces sont équivalentes, elles sont égales et de même sens et agissent suivant la même ligne droite, — En effet, elles ne sauraient avoir des projections

égales sur un axe quelconque sans être égales, parallèles et de même sens. £t, si leur ligne d'action était différente, il existerait une infinité d'axes qui rencontreraient Tune sans rencontrer l'autre, de sorte qu'elles n'auraient pas de moments égaux relativement à ces axes.

3® Si plusieurs forces agissent au même point, on peut les remplacer par leur résultante, et réciproquement, — Cette proposition pourrait être regardée comme une conséquence immédiate du théorème établi au n* 100. La résultante produit sur son point d'application le môme effet que les composantes. Mais il est facile aussi de voir que la substitution dont il s'agit est conforme à la définition de l'équivalence (n<» 137). On sait, en effet (n** 101 et 103), que la projection de la résultante est égale à la somme des projections des composantes, et que la même égalité a lieu pour les moments relativement à un axe arbitrairement choisi.

4® Un système de forces reste équivalent à ce qu'il était primitivement quand on le modifie par V introduction ou la sup^ pression de diverses forces qui, prises toutes seules, se feraient équilibre. — Puisque les forces introduites ou supprimées se font équilibre, elles ont une somme de projections et une somme de moments constamment nulles pour un axe quelconque; les valeurs de ces sommes sont donc les mêmes dans le système primitif de forces et dans celui qu'on lui a substitué, ce qui assure leur équivalence.

139. Composition des forces concourantes. — Soient données des forces F, F', F*, ... en nombre quelconque, appliquées respectivement aux points A, A', A'', ... d'un même solide; on suppose que les diverses lignes suivant lesquelles elles agissent vont toutes se couper en un même point B. Alors on peut les transporter toutes en ce point, et, cela fait, les composer en une seule force, qui est leur résultante (n** 138, i* et 3*»). Cette force unique, équivalant au système des forces données, se nomme aussi leur résultante»

IW. Composition de' deux forces parallèles et de même sens, — Deux forces parallèles et de même sens, F, F', appliquées aux deux points A et A' d'un solide (A^. 176), son!

'3^4 TROISIÈME PARTIB. — CHAPITRif PREMIER.

équivalentes à une force unique P de mêmes direction et sens, égale à leur somme F -h F' et appliquée en un poinl B

de la ligne AA', tellement choisi que le? moments de F et de F' relativement à oe point soient égaux et de sens contraires. D'après cet énoncé, on voit que B doit se trouver entre A et A' et partager la distance AB en deux parties AB, A'B inversement proportionnelles à F et F'; car, si Ton nomme / et /' les distances de F et de F' au point B, Tégalilé

AB

AB

entraine

de sorte que les moments de F et F' relativement à B remplissent bien la condition indiquée. D'ailleurs il est toujours sous-entendu que le point B auquel on appliquerait la force P considérée comme équivalente au système F et F' (ou comme la résultante de ces deux forces) doit faire partie du solide, ou, ce qui revient au même, lui être invariablement lié.

Maintenant il est facile de justifier l'équivalence du système F et F' avec P. Prenons, en effet, trois axes rectangulaires ayant pour origine un point quelconque de P, Taxe des z étant perpendiculaire au plan FAF' et les deux autres dans ce plan. D'abord la condition d'équivalence relative aux projections des forces sur un axe quelconque est évidemment satisfaite; celle qui concerne les moments l'est aussi pour les trois axes que nous avons choisis, puisque pour chacun d'eux le moment de P est nul, aussi bien que la somme algébrique des moments de F et de F'; et cela suffit (n* 137) pour qu'on puisse affirmer l'équivalence.

14*1. Composition de deux forces parallèles et de sens contraires. — Si les deux forces parallèles F, F' appliquées en A et A' sont de sens contraires, comme dans la y?^. 176, elles

ont une résultante P égale à leur différence F'— F, ayant leur direction commune et le sens de la plus grande, et celte résultante coupe AA' en un point B tel que les moments de F et de F' relativement à ce point sont égaux et de sens contraires. Ce point B se trouve en dehors de la longueur AA', du côté de la plus grande force F', et, afin de vérifier la condition F/=F'/', on doit tou- *^' *' ' jours le déterminer par la proportion fa j^, b