AB F

yp

On démontrerait exactement, comme jp,

dans le cas précédent, que la force P, satisfaisant aux diverses conditions qu'on vient de poser, est bien équivalente à l'ensemble des forces F et F'.

L'égalité ci-dessus permet de trouver chacune des distances inconnues AB, A'B, puisqu'on connaît leur différence AA' : on en tire sans peine

AB=AA'p7— p, A'B^AA'prZF.

On voit que ces deux distances tendent vers oo , en môme temps que P tend vers o, lorsque les forces de sens contraires F et F' tendent vers une même intensité. Une force nulle agissant à une distance infinie ne peut pas exister réellement; c'est la simple conception d'un cas limite. Donc deux forces parallèles, égales et de sens contraires, ne peuvent pas se remplacer, en ce qui concerne l'équilibre d'un corps, par une résultante unique.

Le système de ces deux forces prend le nom de couple. On Ta connu et étudié avant le couple de rotations, dont nous avons parlé en Cinématique (n* 33), et qui doit évidemment son nom aux analogies qu'il présente avec le couple de forces.

Nous reviendrons bientôt sur la théorie des couples.

142. Composition d'un nombre quelconque de forces par al-lèles, — Si toutes les forces sont de môme sens, on peut d'abord en composer deux et les remplacer par une résul-

tante; puis on composera celle première résultante avec une troisième force, et l'on obtiendra une seconde résultante, que Ton composera de même avec une quatrième force, et ainsi de suite. A chaque opération semblable, le nombre des forces à composer diminuera d'une unité, et Ton Gnira par avoir une résultante unique remplaçant le système primiUf. Son intensité serait égale à la somme des intensités des composantes, et elle agirait dans la même direction et le même sens.

Si le système comprenait à la fois des forces dans un sens et des forces dans le sens opposé, on le diviserait en deux groupes ne comprenant que des forces de même sens; après avoir obtenu, comme on vient de le dire, la résultante de chacun des deux groupes, on n'aurait plus qu'à composer ensemble les deux résultantes, qui seraient des forces parallèles et de sens contraires. Leur résultante, équivalente au système proposé, se trouverait par le moyen indiqué au n* Ui, sauf dans le cas où elles formeraient un couple. On aura donc finalement une résultante unique ou un couple. On voit que la résultante finale, s'il y en a une, est encore égale à la somme algébrique des composantes.

143. Composition de forces toutes contenues dans un même plan, — Deux quelconques des forces dont il s'agit sont concourantes ou parallèles; on peut les remplacer par une seule, qui sera encore contenue dans le plan des autres. Cette opération aura diminué d'une unité le nombre total des forces; en la répétant un certain nombre de fois, on finira par n'avoir plus qu'une résultante unique ou un couple. Ce dernier cas se présenterait si la dernière composition à eflFectuer portail sur deux forces parallèles, égales et de sens contraires.

14.4. Théorie des couples. — Cette théorie se place ici en quelque sorte comme un lemme, qui nous permettra d'arriver d'une manière simple à la réduction d'un système quelconque de forces.

(a) Propriétés d'un couple; équivalence de deux couple$. — Un couple est un système de deux forces qui a les pro-

priélés suivantes, au point de vue des quantités à considérer dans réquilibre des solides :

!• La somme de ses projections sur un axe quelconque est nulle.

2" La somme des moments de ses deux forces, relativement à un axe parallèle à leur plan, est nulle. En effet, un plan (P) perpendiculaire à Taxe est alors perpendiculaire au plan des deux forces; celles-ci se projettent donc sur (P), suivant une même droite, et leurs projections ont des longueurs égales, comptées en sens contraires. Les moments de ces projections par rapport au point où Taxe coupe le plan (P), égaux par définition (n® 102) aux moments des forces relativement à cet axe, sont donc égaux et de sens opposés, et par suite leur somme algébrique est nulle.

3«» La somme des moments des deux forces d*un couple, relativement à toute droite perpendiculaire à son plan, est constante; sa valeur est égale au produit de Tintensité de Tune des deux forces par la *^' *"'"

distance entre leurs lignes représentatives. "'"^ Considérons, en effet, le couple (F, — F) {fig- 177) ; soit 0 le point où son plan coupe un axe perpendiculaire; abaissons de ce 0 a*""' '^Jl point la perpendiculaire OAB sur les deux forces, et nommons/ la portion AB comprise dans leur intervalle. La somme algébrique des moments des deux forces sera

F(C)B-OÂ) = F/,

quantité qui est bien indépendante de la situation du point 0 ; il en est encore de même quand le point 0 se place dans la bande comprise entre les lignes représentatives des deux forces, disposition qui a simplement pour effet de remplacer la différence des distances OA et OB par leur somme. On donne au produit F/ le nom de moment du couple; la longueur/=i AB est son bras de levier.

Quand on fait varier la position du point 0 dans le plan des deux forces, il est aisé de constater que celle des forces dont le moment est prédominant tend toujours à faire tourner dans le même sens, ou bien que ce sens sera le même pour les deux forces. Ainsi, dans la fig, 177, l'ensemble des deux

878 TROISifcMB PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

moments tend à faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre pour le spectateur placé en avant du papier, quelque soit le point 0; ce serait le sens inverse, si les deux forces changeaient de sens. Le sens du moment total des deux forces est considéré comme étant celui qui appartient au moment du couple.

4° Les conditions nécessaires et suffisantes pour TéquiTalence de deux couples consistent en ce que leurs plans doivent être parallèles et leurs moments égaux et de même sens. D'abord ces conditions sont suffisantes (n° 137); car, d'une part, les deux couples donnent chacun une somme de projections nulle sur un axe quelconque; d'autre part, ils ont les mêmes sommes de moments relativement à trois axes rectangulaires, dont deux seraient parallèles et le troisième perpendiculaire à la direction commune de leurs plans. De plus, les conditions dont nous parlons sont nécessaires. £n effet, si les plans n'étaient pas parallèles, il y aurait des axes parallèles au plan du premier couple, sans l'être à celui du second; par rapport à l'un de ces axes le premier couple aurait une somme de moments nulle, et il n'en serait pas de môme pour le second, car la projection des deux forces sur un plan perpendiculaire à l'axe produirait un couple, ayant un certain moment par rapport au pied de Taxe, comme on vient de le voir (3*). Enfin, puisqu'il est ainsi démontré que deux couples équivalents ont leurs plans parallèles, il suffît d'exprimer que les sommes de moments des deux systèmes de forces relativement à un axe perpendiculaire sont égales, pour en conclure que les moments des deux couples doivent ôlr/e égaux et de même sens.

(b) Axe représentatif d'un couple, — En résumé, les considérations qu'on vient de présenter montrent qu'un couple est suffisamment défini, quant à son inQuence dans les conditions d'équilibre d'un solide, si l'on donne l'orientation de son plan, ainsi que son moment et son sens; avec ces données on connaît en effet la projectioj;i totale des forces du couple sur un axe quelconque (laquelle est toujours nulle), et la somme de leurs moments, relativement à trois axes rectangulaires, choisis d'une manière particulière (2^ et 3"). Or imagi-

m I <^ wv 9 I

Fig. 178.

nons qu'on mène, à partir d'une origine arbitraire, une droite perpendiculaire au plan du couple, ayant une longueur égale à son moment, et dans un sens tel que le spectateur ayant sa tète au bout de la droite et ses pieds à Torigine voie le couple tendant à faire tourner dans le sens des aiguilles d'une montre; cette droite indiquera tout ce qui vient d'ôtre reconnu comme suffisant pour la définition du couple dont il s'agit. On la nomme axe représentatif de ce couple.

(c) Moment d'un couple relativement à un axe oblique à son plan. — Soit un couple (F, — F) et Om {fig- 178) un axe perpendiculaire à son plan; la somme des moments des deux forces du couple relativement à Ow, ou le moment du couple, a pour valeur F/, produit de la force F par le bras de levier/; son axe représentatif est la ligne A portée sur Oa dans le sens convenable. Cette ligne A est d'une longueur numériquement égale à F/, c'est-à-dire à Taire du parallélogramme CDEH construit sur les deux forces F, — F du couple. Considérons maintenant un autre axe 0^, oblique au plan du couple et faisant avec 0 a l'angle a. Si l'on veut calculer

la somme des moments des forces F, — F relativement à 0^, il faut projeter ces forces sur un plan perpendiculaire à O5 et prendre le moment total des projections par rapport à la projection O' de l'axe. Or les projections de F et — F constituent un couple (G, — G), et la somme des moments, relativement à 0' des deux forces de ce couple, est égale à son moment ou à l'aire du parallélogramme IKLM construit sur G et -G. Or l'aire IKLM est la projection de CDEH ^ F/, et, comme les deux plans font entre eux un angle a égal à celui de leurs normales, on a

fE

aire IKLM = F/cos a ;

c'est la valeur cherchée de la somme algébrique des moments des forces F, — F, relativement à Oa. L'axe représentatif de

38o TBOISlfelK PABTTE. — CBAPITU PlUIEt.

ce moment total ou du couple (G, —G) sera une ligne B comptée suivant O- et égale à Acosa; on Tobtienl en projetant Taxe A sur O^.

(d) Composition d'un nombre quelconque de couples. — On donne un nombre quelconque de couples, déûnis par leurs axos

si nous construisons la résultante géométrique A (n* H) de toutes les lignes, sa projection sur un axe quelconque sera la somme algébrique des projections des composantes, égalité que nous écrivons, pour trois axes rectangulaires O j, Or,

Oc,

A ■,. ^=r ûT - -h a'» -t- a ^ H- . - . ,

Aj. — ay -^ dy -\- cLy -^ • • - , - =11 ûf- -f- a- -r a. -f- . . . .

Or considérons maintenant A comme l'axe représenutif d'un certain couple; d'après le paragraphe précédent (e), on voit par les égalités ci-dessus que la somme des moments, relativement à chacun des trois axes, des forces dont est formé le couple A, est égale à la somme algébrique des moments des forces constituant les couples a, a', a', D'un

autre côté, la somme des projections des forces est toujours nulle, sur un axe quelconque, pour un ou plusieurs couples. Donc on a vérifié toutes les conditions d'équivalence entre le couple A et le système des couples donnés. Donc :

Un système formé d'un nombre quelconque de couples peut se réduire à un seul couple équivalent. L'axe du couple équivalent (ou résultant) est la résultante géométrique des axes des couples composants.

145. Réduction d'un système quelconque de forces à deux équivalentes, dont V une passe par un point donné. — Un système quelconque de forces F, F', F% ... {fig. 179) étant appliqué à un solide en équilibre, on ne trouble pas cet équilibre et l'on a un système équivalent au système primitif si, au point donné 0, faisant partie du solide ou invariablement lié à lui, on applique les forces F, F', F% . . ., égales et parallèles

aux forces données, et ces mômes forces changées de sens, car les forces ainsi ajoutées donnent évidemment une résultante nulle. On a ainsi remplacé chaque force primitive, telle que F, par la même force transportée parallèlement à elle-même en 0, et par un couple formé de la force primitive F et de la force égale et contraire — F agissant en 0. Toutes les forces F, F', F", ... transportées en 0 donnent une résultante R passant également par ce point; tous les couples se réduiront à un couple unique, dont l'axe OG se déterminera comme nous l'avons vu (IH, d).

Ce couple est équivalent à tout autre couple placé dans un plan perpendiculaire à OG mené par le point 0, pourvu que son moment ait pour grandeur OG et que son sens réponde à celui de cette droite. On peut placer le couple de manière que l'une de ses deux forces S passe en 0; alors on pourra la composer avec R, ce qui donnera une autre résultante R' passant également en 0, à laquelle il faudra joindre la seconde force —S du couple. Toutes les forces primitives, F, F', F% ... se trouvent ainsi réduites à deux équivalentes R', — S, dont Tune passe par un point choisi comme on voudra.

La résultante R des forces transportées parallèlement à elles-mêmes prend le nom de résultante de translation. En général, elle ne sera pas dans le plan du couple (S, — S), de sorte que le système final se composera d'une force — S dans ce plan et d'une force R' en dehors. Il est aisé de reconnaître que, dans ce cas, les forces n'ont pas de résultante unique, et qu'on ne peut pas réduire le système donné à moins de deux forces. Supposons en effet que les deux forces R' et — S aient une équivalente T; alors il y aurait équilibre entre cette force changée de sens, R' et — S (n*» 137). Il faudrait pour cela que la somme des moments de ces trois forces fût nulle relativement à un axe quelconque; mais, comme les lignes T, — S et R' ne sont pas dans un même plan, on pourra trouver une infinité d'axes qui en rencontreront deux sans

38a TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRE PREMIER.

rencontrer ]a Iroisième, et la condition ne serait pas remplie pour ces axes. Donc Thypollièse d'une résultante unique est inadmissible dans ce cas.

Au contraire, si R, S et — S sont dans un même plan, ou, ce qui revient au même, si la résultante de translation R est perpendiculaire à l'axe OG du couple résultant, il y aura une résultante unique. En effet, la seconde résultante IV est alors dans un môme plan avec — S, et ces deux forces ne pourraient former un couple que dans le cas où R serait nulle. En laissant ce cas de côté, l'accomplissement de la condition dont on vient de parler suffit donc pour qu'il y ail une résultante unique. On verra un peu plus loin comment cette condition s'exprime analytiquement.

Ainsi qu'on Ta déjà fait observer, le couple (S, — S) peut, sans qu'on cesse d'avoir un système équivalent, se remplacer par un autre de même moment, mais formé de deux forces ayant une orientation ou une intensité différente de S; on peut, de plus, continuer à faire passer en 0 l'une des deux forces. Par cette modification, les deux résultantes finales R' et — S changeraient, et l'on aurait ainsi un nombre illimité de systèmes équivalents au système donné, et composés de deux forces dont l'une passerait au point 0 choisi à volonté. Tous ces systèmes ont quelque chose de commun : la seconde équivalente — S ne sort pas d'un plan déterminé, passant parle point 0, et son moment par rapport à ce point reste toujours le même. Cela est évident, lorsque tous les systèmes équivalents dont nous parlons se déduisent du système primitif par le procédé ci-dessus indiqué, car le plan dans lequel peut se déplacer la force — S n'est autre que le plan mené en O perpendiculairement à OG, et le moment de cetle force relativement à 0, n'est autre que celui du couple résultant, dont la longueur OG représente la valeur. Mais il est facile de démontrer que la même chose aura lieu de quelque manière qu'on s'y prenne pour opérer la réduction des forces primitivement données et les transformer en deux équivalentes R' et — S.

Imaginons, en effet, au lieu de R' et — S, un autre système équivalent, composé d'une force R,, agissant en O et d*une autre force T {fig. i8o); soient OG et OGi les axes représen-

lalifs des moments de — S et de T relativement au point 0

(n° 103). Puisque les systèmes (R', —S), (Ri,T) sont tous

les deux équivalents aux forces primitives, ils sont aussi

équivalents Tun à l'autre, et leurs

moments par rapporta toute droite