Réduction d*un système 'de forces à une résultante de

translation et à un couple; transformation des conditions gé" nérales de l'équilibre. — Nous avons déjà établi (n® liô) la possibilité de cette réduction et donné le moyen de l'opérer géométriquement. Mais ce moyen n'étant pas toujours d'un emploi facile, parce qu'il suppose des constructions de lignes dans l'espace, voici comment on peut y substituer le calcul. Soient R la résultante de translation appliquée en 0 {fig, i8i) et (S, — S) le couple résultant, dont l'ensemble

est équivalent au système des forces données F, F', F%

Désignons par G la longueur de Taxe OG du couple. Les deux

quantités R et G, qui suffisent pour définir le système, au point de vue de l'équivalence, peuvent être connues en grandeur, direc- ^ ^, tion et sens, au moyen de leurs projections sur trois axes coordonnés rectangulaires Ox, O7, 0;;, issus du point 0. En effet, l'équivalence du système R, S, —S et du système primitif exige d'abord l'égalité des projections sur ces axes, savoir :

R^-^-^F;^-hF;-hF;-+-...,

R^ ^:^ Fy -h T y -f- t y -h . . . ,

R^.rzF,-hF;-hF,-h..,

ce qui détermine R. Secondement, l'égalité des moments par rapport aux mêmes axes donnera les projections G^, Gj, G; respectivement égales à la somme des moments des forces F, F', F'', . . . par rapport à Oxr 0^, Oz, d'où l'on déduira G. Lorsqu'un système matériel quelconque est en équilibre, toutes les forces extérieures agissant sur lui satisfont à cette condition que les six sommes R^r, Rjr, R-, G^, Gy, G- sont toutes nulles (n° 129); il en est par conséquent de même pour R et G, Donc on peut dire que :

I*» Lesjorces extérieures agissant sur un corps en équilibre ont une résultante de translation nulle; 2<» le couple résultant produit par le transport des forces parallèlement à ellesmêmes, en un point quelconque, est également nul.

Cet énoncé exprime des conditions toujours nécessaires (n** 129), qui deviennent suffisantes dans le cas d'un corps solide (n^ 133). Dans tous les cas, la vérification n'a besoin d'être faite que pour un seul point 0.

147. Expression analytique de la condition pour qu'un système de forces ait une résultante unique, — Nommons

X, Y, Z les composantes, suivant trois axes rectangulaires Oœ, Oj, 0>s, de la résultante de translation R;

L, N, Q les sommes de moments des forces relativement aux mêmes axes, égales aux composantes de Taxe G du couple résultant, produit par le transport des forces en 0.

On a vu (n<» 14-5) que la condition pour Texistence d'une résultante unique consiste en ce que Taxe du couple soit perpendiculaire à la direction de la résultante. Or Taxe G fait avec les axes des angles ayant leurs cosinus égaux à

les cosinus

directeurs

de 1

ta résultante

sont,

d'un

autre

côté,

donc le cosinus de Tangle des deux directions s'exprime par

^(LX+NY4-QZ).

Si aucune des deux grandeurs G et R n'est supposée nulle, leurs directions ne peuvent être rectangulaires qu'autant que l'on a

(2) LX-hNY-hQZi=o;

et d'ailleurs cette condition suffit^ puisqu'il en résulte

cos(G, R)==:0.

Si G s'annule, il n'y a pas d'autre condition à remplir pour que le système de forces admette une résultante unique, car

Rressb. — Cours de 3Iéc, I. a5

TROISlfeMB PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

il se réduit à la résultante de translation R; dans ce cas l'équation (2) se trouve encore vérifiée, puisque L, N, Q s'annulent en même temps que G. Si c*est R qui s'annule, il en est de môme de X, Y, Z, de sorte que l'équation (2) se vérifie; et cependant il n'y a plus alors de résultante, puisque les forces sont réduites à un couple G, lequel ne peut se remplacer par une seule force (n® IW).

En résumé, dans tous les cas où il y aurait une résultante unique, la condition (2) devrait se vérifier; réciproquemenl, si la condition (2) est vérifiée, les forces sont réductibles à une résultante unique^ sauf dans le cas où l'on aurait simultanément

148. Minimum du couple répondant aux diverses positions de la résultante de translation, — Le point 0 (y?^- 179), auquel on a transporté toutes les forces parallèlement à ellesmêmes, est indéterminé ; imaginons qu'on le fasse varier el qu'on répète, pour diverses positions attribuées à ce point, les constructions indiquées au n® 145, par lesquelles on a réduit le système des forces F, F', F', . . . à la résultante de translation R, agissant en 0, et à un couple résultant, représenté par Taxe OG = G. Il est clair, en premier lieu, que le système de forces appliqué en 0 ne fera que se déplacer parallèlement à lui-même, ainsi que la résultante de translation R; mais chacun des couples, tels que (F, — F), produits par le transport des forces en 0, pourra varier d'intensité et en môme temps se trouver placé dans un autre plan, ce qui aura généralement pour conséquence de faire varier Taxe OG en grandeur et direction.

Afin d'étudier ces variations de la manière la plus simple possible, nous pouvons, au lieu du système primitif F, F', F^, . . . , considérer le système équivalent, composé de la résultante de translation R agissant en 0 {/i^. 182) et du couple dont OG = G est l'axe représentatif. Nous aurons encore un système équivalent si nous appliquons deux forces égales et contraires, R' et — R', égales et parallèles à R, en un point quelconque 0' invariablement lié au solide sur lequel sont censées agir toutes les forces. Ce nouveau système com-

lÊQUILlBRB DBS SOUDES, BTC. 887

prendra : i"* la résultante de translation R'=R9 agissant en 0'; 2® le couple G; 3» le couple formé par R et — R', dont Taxe représentatif est une droite OK perpendiculaire au plan ROO'R'. Le système primitif de forces est ainsi remplacé par la résultante de translation R', agissant en 0', et par un couple résultant de la composition des deux précédentes. On peut alors faire les remarques suivantes.

Si Ton imagine Taxe OG décomposé en un axe OH suivant la résultante R, et un axe 01 dans une direction perpendiculaire, la première composante restera invariable quand Je point 0 prendra ^'^' '®^'

une autre position quelconque 0^ £n effet, le nouvel axe qui doit alors remplacer OG est^ la résultante de OG et ÔK, ou de ÔÏÏ, Ôï et ÔK. Or Ôî et ÔK sont deux droites perpendiculaires à R; leur somme géométrique fournira la composante de Taxe résultant dans la direction perpendiculaire à R, et la composante dans la direction de R sera -R' OH, aussi bien pour le couple répondant au transport des forces en 0' que pour le couple obtenu quand le transport s'était fait en 0.

La constance de la projection de Taxe G sur la direction de R s'exprime par l'équation

G cos(G, R) = const.,

ou bien, en remplaçant le cosinus par sa valeur trouvée au

n* IW, et remarquant que R ne varie pas non plus avec le

point 0,