LX-hNY-hQZ=:const

Cette équation signifie que son premier membre ne dépend en aucune façon ni de l'origine des axes rectangulaires, ni de leur orientation ; sa valeur reste invariable, ainsi que celle de la résultante de translation, pour un ensemble donné de forces, quels que soient les trois axes rectangulaires choisis pour calculer les six quantités X, Y, Z, L, N, Q. L'invariabilité qu'on vient de constater des deux lignes R

et Gcos(G, R) permet de démontrer bien simplement un théorème remarquable, donné par Chasles en 1828, et dont voici l'énoncé :

De quelque manière qu'on réduise un système donné de forces à deux équivalentes, le tétraèdre construit sur ces deux équivalentes, prises comme arêtes opposées, a un volume constant.

Supposons en effet que les deux équivalentes soient R' el BC ou ■— S {^, 180, p. 383); en appliquant en O deux forces égales et contraires, ayant la direction et l'intensité de BC, on reviendrait au système équivalent, considéré d'abord au n? 1&-5, formé de la résultante de translation R et du couple (S, — S), dont OG = G est l'axe représentatif. Or, si l'on prend OCR pour base du tétraèdre R'ORC, on voit qu'il est équivalent en volume au tétraèdre RORC, qui a même base et même hauteur, car RR' est une parallèle au plan de la base commune. La hauteur de ce dernier est Rcos(G, R), et sa base

OBC a pour surface -G; le volume R'ORC est donc

gGRcos(G, R),

quantité qui reste bien constante pour un même système de forces, puisqu'elle est ^ du produit des deux facteurs constants R et G cos(G, R).

Le point 0' peut être choisi et placé en Oi, de manière que les couples représentés par OK et 01 soient égaux et de sens contraires. A cet effet, on devra prendre Oi sur la perpendiculaire 0 (^ au plan GIOR, dans un sens convenable pour que le couple (R, — Ri) ait son axe représentatif suivant le prolongement de 10, et à une distance OOi calculée d'après l'égalité

R X 00i = 01 = G sin(G, R).

Quand on transportera toutes les forces en Of, le système se réduira à la résultante de translation Ri , égale et parallèle à R, et au couple OH = Gcos(G, R) contenu dans un plan

perpendiculaire à cette résultante. Le résultat serait identique pour tout point pris sur la droite OiRi; mais pour un autre point quelconque, en dehors de cette droite, Taxe OH devrait se composer avec un autre tel que 01, perpendiculaire à sa direction, et l'axe résultant serait plus grand que OH. La droite Oi Ri est donc celle pour laquelle le couple à joindre à la résultante de translation est le plus petit possible ; Poinsot Ta nommée axe central des moments.

Il est impossible de ne pas remarquer la complète analogie qui existe entre les théorèmes démontrés, du n° 139 au n° 148 inclusivement, sur la composition des forces et des couples, et ceux qu'on a établis dans la Cinématique (n^' 32 à 37), sur la composition des mouvements d'un solide invariable. A chaque propriété des forces répond une propriété analogue des axes représentatifs des rotations, et chaque propriété des axes représentatifs des couples répond de môme à une propriété semblable des translations. Ainsi, par exemple, les rotations représentées par des axes concourants ou parallèles se composent suivant les mômes règles que les forces concourantes ou parallèles ; les translations se composent comme les axes des couples ; un système quelconque de forces et de couples est réductible à deux forces non situées dans un môme plan, comme un système quelconque de mouvements se ramène à deux rotations n'ayant pas leurs axes dans un môme plan; l'axe central des moments est l'analogue de l'axe central du mouvement, etc., etc. Il ne semble pas d'ailleurs qu'on puisse établir cette analogie directement, au moyen de quelque raison philosophique, par laquelle on serait dispensé de aire une des deux théories après avoir fait l'autre.

iW. Centre des forces parallèles. — On suppose divers points A, A', A^, . . . {fig. i83), invariablement liés entre eux, auxquels sont appliquées des forces parallèles /, /', f\ ... ; ces forces peuvent avoir une direction quelconque, et, en ce qui concerne leurs intensités, on sait seulement qu'elles sont respectivement proportionnelles à des nombres constants m, '»', m\ . . ., positifs ou négatifs, le changement de signe du coefficient indiquant un changement de sens dans la force correspondante. Dans ces conditions^ on peut déterminer un

390 TROISltalB PAITIB. — GHAPITMB DEUXIÈME.

point 0 par lequel passe constamment la résultante des forces /, lorsque leur direction commune varie de toutes les manières possibles.

En effet, la résultante /h-/' des deux premières forces /et

/' passe en un point déterminé B de la ligne AA', tel qu'on ait

AB

entre A et A' ou en dehors, suÎTant que m et m' auront même signe ou des signes contraires. Joignant B avec le point d'application A' d une troisième force f, on déterminera de même un point C où passe toujours la résultante de/' et de/4-/', c'est-à-dire U résultante /-+-/'-+-/' des trois premières forces; le point C sera tellement placé sur BA" que le rapport

BC /" m'

cï^~ /-+-/' ~^^^

On combinera de même cette résultante avec une quatrième force/", et Ton aura une résultante /-h/' -h/' -f-/'' passant par un point constant D sur la ligne CA'', et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on arrive à la résultante de toutes les forces, ce qui aura toujours lieu (n® 1^2), sauf dans le cas où il J aurait un couple résultant. Il est clair que les divers points B, C, D, ..., 0 successivement obtenus par la construction qu'on vient d'indiquer, comme points d'application des résultantes partielles et fmales, ne dépendent en rien de la direction des forces et sont uniquement déterminés par les rapports entre leurs intensités.

Le dernier de ces points, le point 0 par où passe constamment la résultante générale de toutes les forces, prend le nom de centre des forces parallèles.

On pourrait varier l'ordre suivi dans la composition des forces, ou former des résultantes partielles, que Ton composerait ensuite pour en déduire la résultante générale; mais il est facile d'établir que le point final 0 qu'on obtient, quand

tQuaiBIE DBS SOLIDES, ETC. 39

on est arrivé à trouver celte dernière résultante, doit né cessairement rester invariable. Supposons, en effet, que après avoir trouvé une première résultante appliquée en Û OD arrive, par un autre moyen quelconque, à une second résultante appliquée en un point différent 0'. Les deux résu tantes sont équivalentes entre elles, puisqu'elles équivalent un même système de Torces, ce qui exige (n° 138) qu'elle agissent suivant une même droite. Cela ne peut avoir lie que si les deux résultantes passent à la fois par O et 0'. E supposant ces deux points distincts, on serait donc ainsi ai rivé à trouver la direction de la résultante des forces para] lèles sans connaître celle des composantes, avec la seule déf nilionde leurs rapports de grandeurs, ce qui est absolumer inadmissible. Donc O et 0' ne sont qu'un seul et mém point.

Si l'on construisait un polyèdre convexe ayant pour sommet an certain nombre des points A, A', A', ... et renfermant le autres dans son intérieur, la construction ci-dessus employé montre que le point 0 y serait également renfermé, pourv toutefois que toutes les forces fussent de mémo sens. Si ton les points A, A', A', . . . étaient dans un même plan, le sens d toutes les forces restant encore le même, le point 0 devra: être dans rinlérieur du polygone convexe circonscrit i ce points.

La détermination du centre des forces parallèles peut s'ef fectuer en employant le calcul, au lieu des constructions géc métriques indiquées ci-dessus, que l'on peut considérer plulf comme un moyen d'en établir l'existence. Imaginons un sys tème quelconque de trois axes rectangulaires; soient ^, y, les coordonnées d'un quelconque des points d'application de forces parallèles, /la force agissant en ce point, -ci, /i, ~i le coordonnées du point 0 cherché, par où passe toujours 1 résultante des forces, quelle que soitleur direction commune Cette résultante aura une intensité S/, égale à la somme al gébrique des composantes (n" li2); puisqu'elle est équiva lente à l'ensemble des forces/, elle a môme moment relati vemenl à un axe quelconque. Appliquons celle propriét d'abord pour les axes des / et des x, en supposant les force parallèles à l'axe des s, puis pour l'axe des / en donnant au

3gà TROISIÈMB PARTIE. — CHAPITRB DEUXIÈIB.

forces la direction de l'axe des x; il viendra

x,i:f^\fx, y,Zf=^fy, z,Z/=Z/z,

oUy remplaçant les forces par des nombres proportionnels, ce qui revient à multiplier les deux membres de ces équations par un même facteur.

Les équations précédentes déterminent le centre 0 des forces parallèles, par ses trois coordonnées a:,, ji, z^. Ce point, que nous savons d'avance être unique, ne peut dépendre en neo du choix des axes; et il serait effectivement facile de constater, au moyen des formules de la transformation des coordonnées, que les mêmes équations, employées avec un autre système d'axes rectangulaires ou obliques, conduiraient à retrouver le même point.

On fait généralement peu d'usage du centre des forces en Mécanique, sauf dans un cas particulier dont nous allons maintenant nous occuper d'une manière exclusive : c*est celui où les nombres m, m', m\ . . . , proportionnels aux forces, sont précisément égaux aux masses des points matériels auxquels ces forces sont appliquées. Dans ce cas, le centre des forces parallèles, déterminé par les équations ci-dessus, prend le nom de centre de gravité^ parce que les forces / agissant sur les divers points matériels sont alors proportionnelles à leurs poids mg. Ce point a, comme on le verra par la suite, une grande importance, non seulement dans l'étude de l'équilibre de certains systèmes matériels, mais encore dans celle du mouvement des systèmes matériels quelconques. C'est pourquoi il est bon d'entrer dans quelques détails sur sa détermination et d'en donner un certain nombre d'exemples particuliers. Ce sera d'abord l'objet du § III ci après, où l'on s'occupera en outre de l'équilibre des syslèmes pesants à liaisons.

§ III. — Dn centre de gravité d'nn système matériel; équilibre

des systèmes pesants à liaisons.

150. Centre de gravité. — Le centre de gravité d'un corps ou système matériel est le point dont les coordonnées jt,, V|, v,

ifv-

tQUILIBRE DES SOLIDES, ETC. SgS

sont déflnies par les équations

(i) aTj X m = li m^, jiSm = Smj', z^Zm^zI^mz,

dans lesquelles m désigne la masse et x, y, z les coordonnées d'un point quelconque du système (*). Si le corps est solide, le centre de gravité n'est autre chose que le centre de forces parallèles et proportionnelles aux masses de ses divers points, c'est-à-dire le point par lequel passe constamment la résultante de ces forces quand leur direction varie. Les actions de la pesanteur, en particulier, font naître sur chaque point une action de direction constante et d'intensité proportionnelle à la masse, du moins on peut Tadmettre pour un corps de dimensions modérées (*); leur résultante passe donc au centre de gravité et continuerait à y passer si la pesanteur prenait une autre direction, ou, ce qui revient au même, si Ton changeait la position du corps relativement à la verticale. Il faut admettre, dans ce dernier cas, que les axes de coordonnées accompagnent le corps dans son changement et que Ton considère toujours le point défini par les mêmes coordonnées ^1,/1,-Si.

Lorsque le corps n'est pas solide, on peut toujours le concevoir solidifié et déterminer alors, par les formules ci-dessus, le centre de forces parallèles et proportionnelles aux masses; on conserve encore à ce point le nom de centre de gravité du système. Sans doute, puisqu'il ne s'agit plus d'un solide, la résultante, fictivement appliquée au centre de gravité, ne pouiTait pas, en général, se substituer aux composantes qui agissent réellement sur chaque point, sans changer les con-

(') Le produit mx de m par sa dislance au plan des yz est ce qu*on appelle quelquefois moment de m relativement à ce plan. Le facteur m. peut «♦xprimer une force ou grandeur quelconque, mais sans qu'on y attache l'idée d'une direction. Moyennant celte définition, les équations (i) evprimcnt que la somme algébrique des moments des masses élémentaires relativement à l'un des plans coordonnés (c'est-à-dire un plan quelconque) est égale au moment de la masse totale condensée au centre de gravité, relativement au même plan.

(^) A la rigueur, la direction de la verticale varie d'un pointa un autre, ainsi que la grandeur de Taccélcration g; mais ces variations sont insignifiantes pour les corps ordinaires, et Ton doit en faire abstraction dans les questions de Mécanique pratique.

394 TROISIÈME PiLETIB. — GHAPITR£ DBUXifclIE.

ditioDS d'équilibre ; mais la résultante produit toujours même somme de projections sur un axe ou même somme de moments que les composantes, et peut se substituer à elles dans tous les calculs où Ton a besoin de faire entrer ces sommes, comme cela est nécessaire, par exemple, quand on veut appliquer les équations générales de l'équilibre (n* 129).

On considère souvent le centre de gravité de lignes, surfaces ou volumes géométriques. S'il s'agit d'une ligne, on imagine que chaque élément de longueur dsy compté à partir du point défini par les coordonnées x^ j, z^ a une masse exprimée par pd!ï, en désignant par p une fonction connue dfô coordonnées. Si Ton applique alors les formules (i), les sommes se changeront en intégrales définies prises dans toute la longueur de la ligne dont on veut avoir le centre de gravité, et les coordonnées de ce point seront déterminées par les équations

i I pds •=z I px ds,

(2) ly^Jpds=jpyds,

z^ j pds =1 j pz ds.

Les mêmes équations resteraient applicables pour une surface ou un volume; il faudrait seulement considérer ds comme représentant rélémentde surface ou de volume, auquel on supposerait une masse pds et Ton devrait aussi, bien entendu, prendre les intégrales dans toute l'étendue de la surface ou du volume, suivant le cas.

Le facteur p exprime, en quelque sorte, la densité de chaque élément, puisque, à égalité de dimensions, la masse lui est proportionnelle. Dans l'hypothèse de lignes, surfaces ou volumes homogènes, ce facteur aurait une valeur constante en tous les

points; dès lors il pourrait sortir du signe / et disparaîtrait

comme facteur commun aux deux membres de chacune des équations précédentes. On aurait

(3) Xi I ds=^ j xds, 7i j d<i=z j yds, c, j €is^= j zds.

Tous les exemples donnés plus loin, pour la détermination des centres de gravité de lignes, surfaces ou volumes géométriques, supposeront toujours le fait de Thomogénéité.

151. Théorèmes divers pouvant faciliter la recherche des centres de gravité, — Les formules générales du n« 150 donnent les coordonnées du centre de gravité d'un corps quelconque, à la condition de calculer certaines sommes ou intégrales. On peut souvent éviter ce calcul, ou tout au moins le diminuer, en se servant des remarques ou théorèmes qui suivent.

Thêobèmb I. — S'il existe dans un corps un diamètre ou un plan diamétral, le centre de gravité du corps est sur cette ligne ou dans ce plan.

Nous appelons diamètre une ligne droite 0^ {fig* 1^4) telle que si l'on projette sur elle, en P, un point M quelconque du corps, parallèlement à un plan fîxe AB, et si l'on prolonge ensuite MP d'une quantité PM' = MP, il se trouve dans la position M' ainsi déterminée un autre point matériel appartenant au corps et ayant même masse que M.

De même, un plan quelconque AB sera dit plan diamétral, lorsque, ayant mené par un point quelconque N du corps une parallèle NQ à une droite Gxe 0^, jusqu'à sa rencontre Q avec le plan AB et l'ayant prolongée de l'autre côté du plan jusqu'en N', de manière que QN' = NQ, le point N' ainsi obtenu est la position occupée par un point matériel appartenant au corps et ayant une masse égale à celle de N.

Cela posé, admettons d'abord l'existence d'un diamètre tel que Oz. En faisant agir sur tous les points du corps des forces parallèles et proportionnelles aux masses, les deux forces égales appliquées à M et M' auront une résultante passant en P. Tous les points du corps pouvant se grouper par deux de la môme manière, l'ensemble de toutes les forces pourra ainsi se réduire à un système de résultantes partielles.

SgS TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

de même direction, en nombre deux fois plus petit, et dont les points d'application seront tous situés sur 0^?. Si Ton effectue ensuite la composition de ces résultantes partielles, suivant la méthode générale du n"* 149, il est bien évident que le point fînal où doit toujours passer la résultante totale, indépendamment de la direction attribuée au\ composantes, ne pourra pas sortir de 0 z. Ce point final n'est autre, dans le cas actuel, que le centre de gravité : le théorème se trouve donc démontré, en ce qui concerne les diamètres.

Supposons maintenant un plan diamétral, tel que AB. Le^ forces égales et parallèles, appliquées en deux points conjugués N, N', donneront une résultante passant en Q. En opérant de même sur tous les groupes de deux points de masses égales en lesquels se décompose le corps, on obtient une série de résultantes partielles dont les points d'application se trouvent tous dans le plan AB. Le procédé du n^ 149 prouve alors que le centre de ces résultantes partielles, c'est-à-dire le centre de gravité du corps, doit nécessairement se trouver dans ce même plan.

TflÉORÈME II. — Dans tous les corps doués d'un centre défigure, si les points diamétralement opposés sont de même muasse, le centre de figure coïncide avec le centre de granité.

En effet, un système de forces parallèles et proportionnelles aux masses, appliquées à tous les points du corps, pourra être regardé comme formé d'un certain nombre de groupes de deux forces égales, agissant en des points diamétralement opposés. Chacun de ces groupes donnera une résultante passant au centre de figure; donc la résultante générale y passera aussi, quelle que soit la direction commune des forces. Donc enfin ce point est bien le centre de gravité.

Théorème III. — Si un corps est composé de deux parties ayant des masses M, M' et leurs centres de gravité en A et A {fig^ i85), le centre de gravité (s de V ensemble se trouvera sur la ligne A A' et la divisera en deux segments AG et A.' G inversement proportionnels à M et M'.

En effet, quand on fait agir sur tous les points du corps des forces parallèles et proportionnelles aux masses, celles de la

première partie donnent une résultante proporlionnelle à M et passant au centre A; celles de la seconde partie se remplacent également par une autre résul- p. g tante de môme direction, passant au

centre A' et proportionnelles à M'. La p S ^'

composition de ces deux résultantes par- ^ |"'

tielles (n^ 14>0) conduit toujours, quelle |

que soit leur direction, à une résultante ^

générale passant par un point G de AA' entre A et A', et tel

qu'on ait

ÂG M^

Cela justifîe l'énoncé, car G est le centre de forces parallèles et proportionnelles aux masses, agissant sur les divers points du corps ; c'est donc bien le centre de gravité.

Remarques. — 1° On pourrait supposer connus le centre de gravité G d'un corps, celui A d'une de ses parties, et demander le centre de gravité A' de l'autre partie. Le théorème qu'on vient d'établir fait voir d'abord que A se trouve en ligne droite avec A et G, du côté opposé à A relativement à G; on peut ensuite achever la détermination de A' en prenant