GA' = ^, AG

On aurait pu également considérer la force M', agissant au point inconnu A', comme la résultante de la force M + M' appliquée en G et de la force M de sens contraire, appliquée en A. On obtiendrait alors A' en suivant la règle pour la composition des forces parallèles de sens contraires (n'» 141).

2* D'une manière générale, si un corps est formé de diverses parties ayant les masses M, M', M'', ... et les centres de gravité A, A', A^, . . ., le centre de gravité de l'ensemble s'obtiendra en cherchant le centre de forces parallèles et proportionnelles à M, M', M'', . . ., respectivement appliquées en

A, A', A' Il suffit, pour justifier celte règle, de faire

usage du théorème III ci-dessus et d'en déduire successivement le centre de gravité du corps comprenant M et M', puis celui du corps formé par la réunion de M -h M' avec M', puis

SgS TROISiftKB PAETIB. — CHAPITRE DBCXIÈEE.

celui du corps formé de M -h M' -h M' el de M', et ainsi de suite.

Théorèhe IV. — Si tous les points d'un corps sont sur une ligne droite ou dans un même plan, le centre de gravité se trou\^e sur cette droite ou dans ce plan.

La proposition est pour ainsi dire évidente; elle résalle immédiatement du procédé général indiqué au n* 1^9 pour trouver le centre des forces parallèles.

Théorème V. — Les centres de gra\>ité de deux corps semblables sont deux points homologues.

Nous disons que deux corps sont semblables lorsque leurs figures le sont, dans le sens géométrique du mot, et qae de plus les masses placées en deux points homologues quelconques sont dans un rapport constant.

Cela posé, rapportons le premier corps (A) à un système d*axes Ox, Oy, Ozy le second corps (A') à un autre système semblablement placé par rapport à lui, O'x', O'y, Q's\ et appelons

m la masse d'un point de (A) et x, y, z ses coordonnées; f^'» ^'f y y ^' les mômes quantités pour le point homologue

de (A'); •^1» Ji> ^u «^1» /i» ^i les coonlonnées des deux centres de

gravité, chacun dans le système d'axes indiqué pour le corps

auquel il appartient;

OL le rapport constant — ;

p le rapport de similitude, c'est-à-dire celui de deux dimensions homologues.

Les formules (i) du n® 150 donnent d'abord les valeurs de ^1, /i, -1» savoir :

Xi=z

^mx Zm

Ji =

i^niy

les mômes formules permettent aussi d'avoir j?J, ji, ^!, qui s'expriment d'une manière toute semblable :

, s m'a?' 2àm

£quilibre des soudes, etc. 399

Si maintenant on fait dans ces dernières expressions

m'=cLm, jc'—^x, r'=p/, z'=z^z,

elles deviennent

on voit, par conséquent, que les coordonnées du centre de gravité de (A') dans le système O'x'y 0'/', 0'^' sont bien égales à celles du centre de gravité de (A) dans le système 0.r, Oyy Ozy multipliées par le rapport de similitude; donc les deux points sont bien des points homologues, c'est-à-dire semblablement placés dans leurs systèmes respectifs.

152. Exemples particuliers de la recherche des centres de gravité de lignes, surfaces ou volumes y dans V hypothèse de l'homogénéité. — Nous nous contenterons d'un petit nombre d'exemples, destinés surtout à montrer l'application des théorèmes du n* 151.

{a) Centre de gravité d'une droite, — Puisque la droite est supposée homogène, il est clair que son milieu est un centre géométrique; c'est donc aussi le centre de gravité.

(6) Centre de gravité d'un arc de cercle. — Soient l'arc AMB {Jig. 186), OM le rayon perpendiculaire p. ^gg^

à la corde AB, 0 le centre du cercle. .

Désignons par

r le rayon OM;

a l'angle entre ce rayon ei un autre rayon ON quelconque;

<p le demi-angle au centre AOM;]

jOy y les coordonnées d'un point N quelconque de l'arc, relativement à des axes contenus dans son plan, dont l'un Ox coïncide avec Om, et l'autre 0^ est suivant la direction perpendiculaire ;

•^1» y\ ï®s coordonnées du centre de gravité G.

D'abord ce centre de gravité doit se trouver dans le plan de

Tare (n* 151, théorème IV); ensuite il doit se trouver surOX, parce que cette droite présente le caractère d'un diamètre de l'arc (n<* 151, théorème I), chaque point N ayant son conjugué Ni de l'autre côté de 0^ et à la même distance. On a donc /i = o, et il suffit de chercher ^j. A cet effet, nous emploierons la formule générale (n» 150),

•j / dsj=z I xds;

ici Ton a

.r z= r CCS a, ds =: NN' =: rch^

et par suite

ou, en effectuant les intégrations et résolvant l'équation,

Jt\^:z r

sino

On voit par là que le rapport — ou celui de OG à OM est

sin 9 égal à — - ou au rapport de la corde AB à l'arc AMB.

(c) Centre de gravité d'un parallélogramme, d'un cercle, d 'une ellipse, de la surface d'une sphère ou d'un ellipsoïde, etc. — Toutes ces surfaces, considérées comme homogènes, sool douées d'un centre géométrique ; ce point est en môme temps le centre de gravité (n° 151, théorème II).

(d) Centre de gravité d'un triangle, — Considérons le

triangle homogène ABC (Jîg. 187).

Joignons le sommet A au milieu D de la base BC, et concevons la surface totale divisée en tranches élémentaires par une infinité de parallèles à BC. L'une quelconque de ces tranches, telle que mnpq^ peut, i la limite, être regardée comme une

simple droite pesante, présentant les mêmes masses élémentaires à droite et à gauche de son mi-

.ÉQUILIBRE DES SOLIDES, ETC. 4ol

lieu, qui se trouve sur AD. Celle droile AD est donc un diamètre, conformément à la définition du n° 151, théorème I; donc elle contient le centre de gravité G. Par une raison toute semblable, ce point se trouve également sur les droites qui joignent les sommets B et G aux milieux E et F des côtés opposés; donc il est à leur point de rencontre.

Si Ton joint DE, celte ligne sera parallèle à AB, comme partageant les deux autres côtés du triangle en parties proportionnelles. Par suite, les deux triangles DGE, AGB sonl semblables et donnent la proportion

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