AG 4- GD AD

centre de gravité se trouve sur chaque médiane, telle que AD, au tiers de celle ligne à partir de la base, ou aux deux tiers à partir du sommet.

On peut remarquer enfin que le centre de gravité du triangle est le même que celui de trois masses égales placées aux trois sommets. Il faudrait en effet, pour avoir ce dernier centre de gravité, chercher le centre de trois forces parallèles égales, agissant en A, B, G. Les deux dernières donneraient une résultante double passant en D, et celle-ci, composée à son tour avec la force agissant en A, donnerait la résultante finale passant au point de AD qui divise cette droite en segments dans le rapport-? c'est-à-dire au point G.

(e) Centre de gravité du trapèze. — Le trapèze donné est ABCD {fig. i88)^ous nommons h sa hauteur, /==: ÂB sa petite base, L = GD sa grande base. D'abord, si l'on imagine qu'on prolonge les côtés non parallèles CA, DB jusqu'à leur point de rencontre S et qu'on joigne S au milieu F de CD, on aura une ligne SF passant aussi au milieu £ de AB et divisant en deux parties égales toute droite menée dans le trapèze parallèlement aux deux bases. Cette droite SF, qu'on peut tracer eu joignant simplement les milieux des bases (sans

Bhesse. — Cours de Mec, I. 26

chercher le point S), est donc une ligne diamétrale; on le démontrerait exactement de la même manière que pour la ligne joignant le sommet d'un triangle au milieu de la base opposée {d). Donc le centre de gravité G du trapèze se trome sur EF.

Fig. i88.

Divisons maintenant le trapèze en deux triangles, par la diagonale CB. Le triangle ABC a pour centre de graviié le

point K, situé sur CE, à la distance ^ h de CD ; le triangle BCI)

a le centre de gravité I, situé sur BF, à la distance ^ h delà

même base CD; en outre, ces triangles sont censés avoir des masses proportionnelles à leurs surfaces, ou à / et L. Le centre de gravité G se trouve donc sur IK, et c'est le point de celte ligne où passe la résultante de deux forces parallèles appliquées en I et K et proportionnelles à L et /. Supposons les forces perpendiculaires au plan de la figure et prenons les moments par rapport à CD ; en désignant par y la distance de G à cette ligne, il viendra

(L-^/)7=.iAL+|A/=|(L-4-20,

équation exprimant que le moment de la résultante est la somme des moments des composantes. Si Fon avait pris les moments par rapport à AB, on aurait trouvé de même

Donc on a

^9l — ^—7 — /-1-2L GF ~" / "~^L-H2/"

ÉQUILIBRE DES SOLIDES, ETC. 4o3

L'une quelconque des trois équations ci-dessus conduit sans peine à la détermination de y. La dernière peut se traduire par la construction géométrique suivante : prolonger BA d'une quantité AM = CD=:L, prolonger CD d'une quantité DN = AB =: /, et joindre MN; le point G où cette ligne coupe EF est le centre de gravité cherché. On a en effet, par la similitude des triangles EGM, FGN,

EG

EM

FN

- -hL , -

GF

le point de rencontre de MN avec EF divise donc cette dernière ligne en deux segments ayant entre eux le même rapport que les segments déterminés par le centre de gravité, et par conséquent il y a coïncidence entre ces deux points.

(/) Centre de gra^ûté du volume d'un parallélépipède ^ d'une sphère^ d'un ellipsoïde, etc, — Tous ces volumes ont un centre géométrique, lequel, dans l'hypothèse de leur homogénéité, est aussi un centre conformément à la définition du n<»151 (théorème II). Ce point est donc aussi leur centre de gravité.

{g) Centre de grai-ité d'un prisme ou d'un cylindre. — Divisons d'abord le prisme ou cylindre ABCDEA'B'C'D'E' (fig. 189) en tranches élémentaires par des plans infiniment rapprochés et parallèles aux bases; l'une quelconque de ces tranches pourra être regardée, à la limite, quand son épaisseur diminuera indéfiniment, comme une surface pesante dont chaque élément superficiel possède une masse proportionnelle à son étendue. Le centre de gravité de la tranche abcdea'b'dd' e', par exemple, coïncide donc, à la limite, avec le centre de gravité/de la surface abcde.

Or toutes les sections abcde sont comme des positions parti-

culières que prendrait la base ABCDE, en glissant, par an mouvement de translation parallèle aux arêtes du prisme (ou aux génératrices du cylindre), et par conséquent le poinl/ se trouve sur la ligne FF', joignant les centres de gravité F et F' des deux bases. On voit ainsi que le prisme total se décompose en parties dont les centres de gravité sont situés sur FF'; le centre de gravité de Tensemble sera donc aussi sur cette ligne (n* 151, théorème IV).

D'un autre côté, il est facile de reconnaître qu'un plan parallèle aux bases, mené par le milieu de la distance qui les sépare, partage en deux parties égales tous les prismes élémentaires déterminés, dans le prisme ou cylindre total, par des plans parallèles aux arêtes ou génératrices; c'est un plan diamétral, dans le sens défini au n® 151, théorème I, et il contient aussi le centre de gravité G cherché. On en conclut immédiatement que ce point est au milieu de la ligne FF.

{/t) Centre de gravité d'un tétraèdre. — Soit un tétraèdre ABCD {/ig. 190); le plan mené par AB et le milieu E de CD divise en deux parties égales toutes les droites parallèles à CD

et contenues dans Tintérieur du tétraèdre; par suite, c'est un plan diamétral, dans lequel se trouve le centre de gravité cherché. En vertu de la même raison, il est aussi dans le plan mené par AD et le milieu F de BC; donc il est sur la ligne d'intersection AH de ces plans, laquelle joint le sommet A avec le centre de gravité H de la base opposée. (Le point H est bien le centre de gravité du triangle BCI), puisqu'il est à la rencontre des lignes BE, DF joignant deux sommets aux milieux des côtés opposés.) Maintenant, si dans le plan ABE l'on mène HI parallèle à AB, h droite AE sera divisée dans la même proportion que BE et l'on aura

Fig. 190.

AE

BE

donc I est le centre de gravité de la base ACD, et, en le joignant au sommet opposé B, on aura encore une droite BI passant par le centre de gravité du tétraèdre, qui se trouve alors à la rencontre G des droites AH et BI. D'un autre côté, les triangles semblables ABG et HIG d'une part, ABE et IHE d'autre part, donnent les proportions

llï " GÏÏ ~ ÎÏE " '

donc GH = ly AG, d'où résulte Gll = 7 AH,

Donc, en résumé, le centre de gravité d'un tétraèdre est sur la ligne qui joint un des sommets avec le centre de gravité de la base opposée^ au quart de cette ligne à partir de la base.

Si l'on coupe le tétraèdre et les plans ABE, ADF par un plan parallèle à BCD, on obtiendra dans ce plan une figure semblable à BCDEHF; le point où la droite AH coupe le plan sécant est donc le centre de gravité de la section triangulaire déterminée par ce plan, car il se trouvera, comme le point H, à la rencontre de deux droites joignant chacune un sommet du triangle au milieu du côté opposé. Le point où la droite AH rencontre la section menée au quart de la hauteur du tétraèdre sera, par suite, le centre de gravité de cette section, et ce sera aussi, comme on vient de le voir, le centre de gravité du tétraèdre. Donc :

Le centre de gravité d'un tétraèdre coïncide avec celui d'une section parallèle à l'une de ses faces, faite au quart de la distance entre cette face et le sommet opposé.

On peut encore remarquer que le centre de gravité d'un tétraèdre est celui de quatre masses égales placées aux quatre sommets. En effet, le centre de gi'avilé des trois masses égales placées en B, C, D serait le point H, comme on l'a vu plus haut; pour obtenir celui des quatre masses réunies, il resterait (n° 151, théorème III) à joindre H à A et à partager AH de manière qu'on eût deux segments dans le rapport de 3 à i, ce qui donnerait bien le point G ci-dessus considéré.

EnHn on pourrait composer les deux forces parallèles et égales, appliquées aux sommets A et B, ce qui donnerait une

4o6 TROISIËHE PARTIE. -~ CHAPITRE DEUXIËKE.

résultante douhle, passant au point K milieu de AB : les deux forces appliquées en C et D donnei'sient de même une féconde résultante partielle, égale à la première el passant au milieu E de CI). Ces deux résultantes partielles se réduiraient, puisqu'elles sont égales, à une résultante lînale passant au milieu de KE. Ce dernier point est le centre de gravité des i]uatre masses égales placées aux quatre sommets; donc il coïncide avec le centre de gravité G du tétraèdre. Donc :

Le centre de gravité d'un tétraèdre est au milieu d'une des trois lignes qui joignent les milieux des arêtes opposées.

Voici une autre démonstration du même théorème. On a vu que le centre de graviié se trouve dans le plan AIÎE, passant par une arête AB et le milieu E de l'arête opposée; )wr la même raison il est aussi dans ie plan CDK, et par conséquent il est sur la ligne KE commune aux deux plans. On prouverait de la même manière qu'il se trouve sur la li^e FL joignant ies milieux de BC et de AD ; donc il est à la rencontre de ces deux lignes. Or tes deux droites KF et LE sont toutes

deux égales à - AC el parallèles à cette arêle; donc la figure

KLEF est un parallélogramme et par conséquent l'înlcrseetion de ses diagonales se fait au milieu de chacune d'elles. {/) Centre de gravité d'une pyramide quelconque ou lin. iqi. "^ "" *'^"^- — Considérons la pyramide

^ quelconque SABCDE {/ig. 1911 el sup-

posons-la décomposée en tranches intlniment minces par une série de plans tels que aùcde, parallèles à la base ABCDE. La tranche comprise entre abcde el la section inlinimeoi voisine peut, a la limite, être assimilée à une surface pesante, et son cenlre de gravité se confond avec celui de la surface abcde. D'un autre côlc, les surfaces ABCDEj abcde sont deu\ corps semblables; par conséqucni leurs centres de gravité F el /sont ux points homologues (n» 151, théorème V). Donc f n'esi

aulre chose que le point de rencontre du plan abcde avec la ligne SF, menée du sommet de la pyramide (ou du centre de similitude des deux surfaces) au centre de gravité de la base. Il résulte de là que toutes les tranches ont leur centre de gravité sur une môme droite SF, et par suite que cette droite contient aussi le centre de gravité G de leur ensemble (n° 151, théorème IV), c'est-à-dire de la pyramide.

Maintenant, pour savoir quelle est la position de ce point sur SF, on décomposera la pyramide en tétraèdres par des plans SAC, SAD, . . ., menés par Tarôte SA et les divers sommets do la base. Si li désigne la hauteur de la pyramide donnée, tous ces tétraèdres, ayant h pour hauteur commune,

auront leurs centres de gravité à une même distance y de la

base ABCDE. Tous ces centres de gravité se trouvent par suite contenus dans un même plan ; celui de la pyramide est donc

aussi dans ce plan (n* 151, théorème IV), à la distance -r de la

base.

Donc, en résumé.

Le centre de gravité d'une pyramide quelconque est sur la ligne joiv;nant le sommet avec le centre de gravité de la base, et au quart de cette ligne à partir de la base.

Le même énoncé s'applique à un cône droit ou oblique, à base quelconque. On peut en effet regarder le cône comme une pyramide ayant pour base un polygone dont les côtés seraient en nombre infiniment grand.

(y) Centre de gravité d'une zone sphérique ou d'un secteur sphérique, — Soit AD {fig* iQ^O ^'î^rc de grand cercle qui engendre la zone en tournant autour du rayon OC; divisons la hauteur totale de la zone en parties infiniment petites, égales entre elles, et menons, par tous les points de division, des plans perpendiculaires à OC. Ces plans partagent la zone donnée en zones élémentaires de môme surface. Chacun de ces éléments devient, à la limite, assimilable à une circonférence pesante; le centre de gravité de l'élément compris entre les plans mp, nq^ par exemple, sera donc le point I, centre de la circonférencs ////>. En imaginant que le poids de

Fig. 19a.

chaque zone élémenlaire soit appliqué à son centre de sravilé, on voit qu'on obtiendra une suite de poids égaux et équidistants appliqués tout le long de la droite FH; leur résultante passera donc au milieu de G de cette ligne, et ce

point, indépendant de la direction de ta pesanteur, est le centre de gravité demandé.

Si maintenant on considère le secteur sphérique dont la zone ACB serait la base, on pourra le décomposer en une inflnilé de secteurs de même volume, ayant pour base des éléments superficiels équivalents pris sur la zone ACB. Ces secteurs élémentaires, assimilables à des pyramides, ont leurs centres de gravité aux trois quarts du rayon à partir du centre; leurs poids sont uniformément distribués sur une

zone MLN homothétique à ACB, ayant un rayon égal à 7 OC.

Donc le centre de gravité de leur ensemble coïncide avec celui de la zone MLN et se trouve au milieu g de la hauteur KL de cette zone; sa distance 0^ au centre de la sphère est égale à

i(ÔK4-()L) ou |((5F + ÔC).

Fig. 193.

(A:) Centre de gravité d'un segment de parabole ou de paraboloïde de révolution. — Dans tous les exemples qui précèdent, les centres de gravité ont été déterminés, à peu près

exclusivement, par des procédés géométriques. Nous ajoutons cede^ nier exemple afin de montrer l'emploi du calcul.

Supposons en premier lieu une parabole AB ayant Kœ pour axe et Av pour tangente au sommet {fig> ip^)' on demande le centre de gravité da segment compris entre la courbe, la portion AC de Taxe et la parallèle BG à Aj. L'équation de la courbe sera, en posant

ÉQUILIBRE DES SOUDES, ETC. ^og

Se = a, BC = 6,

car les abscisses varient proporlionnellement au carré des ordonnées; on sait aussi que sa surface / ydr a pour valeur

Si la surface est décomposée en éléments dxdy par des parallèles aux axes, les formules (3) du n° 150 donneront ici, pour déterminer les coordonnées a?,,/i du centre de gravité,

^abjc^^z j l xdxdy, | aby^z:^ l l y dxdy,

les intégrales doubles devant être prises dans toute retendue de la surface ABC. Une première intégration, faite pour une rangée d'éléments telle que mnpq, parallèle aux j, conduit d'abord aux équations

-abxi^zj yxdx, 3 «^7i~ ^ / •^'^^^'

Xf y désignant alors les coordonnées du point m de la parabole. On remplacera ensuite x par sa valeur -jj-y et Ton

aura

\abx,-^'^^^ j^ y^dy, | «^/i"- f. j /'^<>'

soit finalement, après avoir effectué les intégrations et supprimé les facteurs communs,

En second lieu, nous chercherons le centre de gravité du segment de paraboloïde engendré par la révolution de la figure ABC autour de Kx, La tranche plane mnpq engendre un volume qu'on peut, à la limite, assimiler à un cercle pesant; ce volume élémentaire a pour expression izy^dx et son centre

4 10 TROISIÈME PAIITIR. — CHAPITRE DËUXIÈXE.

de gravité csl en p sur Taxe de révolulion. Le centre de gravité de rensemble est donc aussi sur cette ligne et son abscisse x^ doit salisfaire à Téquation de momenls

,rt ^rt

ou, en remplaçant y- par sa valeur et supprimant le fac-

leur — >

xdx •=: I x^dx.

ou enfin, tout calcul effectué,

On pourrait multiplier à TinOni les exemples relatifs aav centres de gravité des lignes, surfaces ou volumes. Nous pensons en avoir donné un nombre suffisant pour bien faire comprendre l'esprit des métbodes à suivre dans ce genre de recliercbes.

153. Expression du travail de la pesanteur dans le déplacement d'un système matériel quelconque, — Soit donné un système matériel quelconque en mouvement; proposonsnous de calculer le travail total produit par le poids de chacun de ses points, pendant qu'il prend un déplacement d'une étendue quelconque.

Nommons, à cet effet,

m la masse de l'un des points;

z et Zq ses distances initiale et finale à un plan horizontal supérieur, pris pour plan de comparaison;

Z et Zo les hauteurs correspondantes du centime de gravité, audessous du même plan.

Le travail du poids élémentaire mg appliqué au point donl m désigne la masse sera {n^ 102) le produit de m^ par la projection verticale z — Zq du déplacement de ce point; donc le

ÉQUILIBRE DES SOLIDES, ETC. 4l '

travail total T dû à Tensemble des actions de la pesanteur s'exprimera par

T = I.mg{z^ z^,) ou T — ^Sm(5 — ^o),

la somme X devant s'étendre à tous les points matériels du système. Or on sait que les coordonnées Z et Zo vérifient les équations (n'» 150)

il en résulte, par soustraction membre à membre,

(Z-Zo)2m:^2m(^- :Jo), et, par suite, le travail T devient

Tzz.-(Z-Zo)2mzz.(Z-Zo)2:m-.

On énonce le résultat qu'on vient d'obtenir, en disant :

Le travail de la pesanteur dans le déplacement d'un système matériel quelconque est és^al à celui que produirait le poids total ^mg considéré comme agissant au centre de gravité,

Remarque L — 11 peut arriver que les volumes occupés par le système dans les deux positions considérées aient une partie commune (A); supposons en outre que cette partie commune comprenne, dans les deux positions, des masses égales et placées aux mêmes points géométriques ; enfin soient (Bo) et(B) les parties non communes dans les deux mêmes positions. Si nous mettons l'expression de T sous la forme

T — ^mgz — 1.171g Zq,

on voit alors que la partie (A) produit les mômes termes dans les deux sommes à retrancher l'une de l'autre, et que par conséquent elle disparaît. Le travail de la pesanteur est donc le môme que si Ton avait substitué au déplacement réel des divers points un déplacement fictif dans lequel on aurait simplement transporté la masse de (Bq) dans la position finalement occupée par la masse de (B). Il suffira de restreindre à ces deux volumes le calcul de la différence l.mg z — l.F?ig Zq.

4ia TROISIÈME PABTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

En appelant M' leur niasse totale, Z'o et Z' les ordonnées de leurs centres de gravité au-dessous d'un même plan horizontal de comparaison, le travail de la pesanteur pendant le déplacement du système total sera

Remarque IL — Tout ce qu'on vient de dire au sujet de h pesanteur resterait évidemment vrai si raccéléralion g changeait de grandeur et de direction. Donc on peut étendre les résultats obtenus à un système quelconque de forces parallèles et proportionnelles au\ masses de leurs points d'application. Leur travail total serait toujours égal à celui d'une force unique, égale à leur somme et considérée comme agissant au centre de gravité de l'ensemble des points.

On a vu (n** 137) que deux systèmes de forces équivalents entre eux font le même travail total dans un déplacement quelconque de leurs points d'application, pourvu que ces points forment un système invariable pendant le déplacement. On peut donc toujours, quand il s'agit d'un corps rigoureusement solide, sollicité par des forces réductibles à une résultante unique, dire que le travail de la résultante est égal à Ja somme des travaux des composantes. Quand on considère, en particulier, un système de forces parallèles et proportionnelles aux masses, comme le sont les actions dues à la pesanteur, on peut les réduire à une résultante passant par le centre de gravité et égale à leur somme; cette résultante, appliquée en un point quelconque de sa ligne d'action, serait toujours équivalente à elle-même et au groupe des foa-es primitives, qu'elle pourrait par conséquent remplacer sans changer la valeur du travail total. Mais il est remarquable que cette propriété subsiste encore sans avoir besoin de supposer l'invariabilité du corps, pourvu que la résultante des forces parallèles et proportionnelles aux masses soit censée appliquée au centre de gravité.

154. Équilibre d'un système pesant, à liaisons, — Nous allons nous occuper de l'équilibre de certains systèmes matériels, dans lesquels existent des liaisons remplissant la condition essentielle formulée au n^ 130, laquelle consiste en ce

que les forces produites par les liaisons font un travail total nul dans tous les déplacements que ces liaisons laissent possibles. Nous faisons en outre une supposition particulière sur les forces que nous avons nommées forces directement appliquées, et qui ne proviennent pas des liaisons : c'est que ces forces sont uniquement dues aux actions de la pesanteur.

Cela posé, appliquons le théorème général du n° 131. Soient

P le poids total du système;

z l'ordonnée de son centre de gravité, dans une position d'équilibre, au-dessous d'un plan horizontal de comparaison ;

^z un abaissement virtuel que prendrait ce point, si le système éprouvait, à partir de la position d'équilibre considérée, un déplacement compatible avec les liaisons.

Le théorème dont il s'agit, combiné avec celui du n° 133, nous donne pour condition nécessaire et suffisante de l'équilibre

PSjzzzo ou simplement lz=.o.

L'équation ox; = o signifie que le centre de gravité doit rester à la môme hauteur, quand on suppose le système écarté infiniment peu de sa position d'équilibre, en satisfaisant toujours aux conditions imposées par les liaisons. Si, par exemple, les liaisons obligent le centre de gravité à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface, les positions d'équilibre seront celles pour lesquelles la tangente à la courbe ou le plan tangent à la surface seront parallèles à un plan horizontal; d'une manière générale, si, en vertu des liaisons, la hauteur z dépend d'un nombre quelconque de variables, ces variables auront, dans les positions d'équilibre, des valeurs telles que la difTérentielle de z soit nulle et que, par conséquent, le centre de gravité soit le plus haut ou le plus bas possible.

Il sera démontré plus loin (Cours de deuxième année) que dans le cas d'un maximum de z l'équilibre est stable, c'està-dire que le système tend à reprendre sa position d'équilibre quand on l'en écarte un peu.

Si les liaisons avaient pour eflet de rendre le centre de gravité Ï\\Q ou seulement mobile dans un plan horizontal, on aurait Zz-=zo dans toutes les positions qu'on pourrait donner

4l4 1R0ISIÈME PARTIE. — CHAPITRE DEUXIÈME.

au système; donc, en le plaçant dans Tune quelconque de cespositions sans lui donner de vitesse, il persisterait dans l'immobilité. On dit alors que Téquilibre est indij}érent.

155. Exemple d'équilibre indijjérent; porU-levis à flèche, — Cet appareil comprend en premier lieu un tablier AB ijig. 194) mobile autour d*un axe horizontal projeté en A; ce tablier, quand il est placé horizontalement, permet de franchir une excavation située au-dessous; mais en le relevant,

on intercepte le passage quand on Pig- 194- veut. A une certaine distance au-

*' dessus du tablier se trouve un bâti

CD appelé Jlèchej qui peut tourner

y /y^ autour d'un axe E parallèle à A et

« qui porte un certain contrepoids sur

la partie DE; enfin deux chaînes, Qt ^ toutes deux projetées sur BC et ar-

ticulées avec le tablier et la flèche en des points dont B et C sont les projections, relient ces deux corps l'un à l'autre. L'ensemble de l'appareil est symétrique par rapport à un plan vertical que nous supposons coïncider avec celui de la ligure. Si Ton fait abstraction des frottements qui s'exercent toujours dans les articulations ou sur les appuis fixes du tablier et de la llèche, on aura là un système pesant à liaisons. Ce système est construit de telle manière que son centre de gravité reste immobile, pendant que, au moyen d'une force convenable appliquée sur la flèche, on oblige AB et CD à tourner autour de leurs axes respectifs, afin d'intercepter ou de rendre libre le passage sur le tablier. S'il en est ainsi, les poids des diverses parties du système se feront équilibre, et la force appliquée ne devra avoir que l'intensité nécessaire pour vaincre les frottements.

Voyons maintenant comment on peut s'arranger pour rendre immobile le centre de gravité de l'ensemble.

Les chaînes étant de construction uniforme sur toute leur longueur, leur centre de gravité particulier se trouve en F milieu de CB, point où l'on pourrait condenser leur masse totale m, sans changer le centre de gravité général; nous avons aussi le droit de les remplacer par deux masses, cha-

ÉQUILIBRE DES SOUDES, ETC. ^ï5

cune égale à — » placées en B et en C. Soit alors G' le centre

de gravité du tablier, en lui supposant jointe la masse — > en

B; soit G" le centre de gravité de la flèche et du contrepoids,

y compris aussi la masse — placée au point C; désignons

par M' et M' les masses totales dont les centres de gravité sont G' et G''. On comprend qu'on puisse faire varier à volonté le point G'^, en choisissant la dimension DE ainsi que remplacement et l'intensité du contrepoids. Il est donc possible de faire en sorte que EG" soit parallèle à AG', dans une disposition du système, et de satisfaire en outre à la relation

]Vr.AG'=M"EG''.

Si enfin on a eu la précaution de faire AE =:: BC et CE = AH, il est facile de constater qu'on aura atteint le but, et que le centre de gravité du système reste bien immobile, dans toutes les positions qu'on peut faire prendre à celui-ci.

En effet, la figure ABCE reste toujours un parallélogramme, puisque ses côtés opposés sont égaux; donc CE et AB sont toujours parallèles. Comme EG'' est parallèle à AG' dans une position particulière, il en résulte que les angles constants G' AB et G'ED sont égaux entre eux; par conséquent les droites AG' et EG* restent aussi constamment parallèles, car elles font un même angle avec les directions parallèles AB et CE. H suit de là que, si Ton joint G' G', les deux triangles GAG', GEG" seront équiangles et semblables, ce qui donne les égalités

AG' AG (;(;' A(i' M"