NATCRB DES SURFACES FROTTANTES

A l'État de monTemont

AU Départ

Bois sur bois, à sec

— avec enduit gras.

Bois et métaux à sec

— avec enduit gras.

Métaux sur métaux, à sec

Métaux sur métaux, avec enduit

gras

Corde mouiUée sur bois

Corde sur fonte

Cuir sur bois ou sur métal, à sec.

Cuir sur bois ou sur métal, avec

enduit gras

Fer forgé sur pierre

Pierre sur bois

Pierre sur pierre

ii»i9 3o,ô8

n // If

ti

168. Travail des actions mutuelles de deux surfaces glissant l'une sur l'autre avec frottement. — Lorsque deux surfaces solides S, S' sont en contact par un point A et glissent Tune sur l'autre, on sait (n<» 41) que le mouvement élémentaire de S est composé : i® du mouvement de S'; a» d'une rotation autour d'un axe passant par A; 3* d'une translation parallèle au plan tangent commun. D'un autre côté, on a vu (n® 167) que les actions mutuelles comprennent, pour chaque

surface : i*> une force normale; 2*» une force tangentielle, égale à la précédente, multipliée par le coefficient / du frottement, et dirigée en sens contraire du glissement de celle surface sur l'autre.

Soient donc N et/N i^fig. 208) les deux composantes de Taction de S' sur S, N' et/N' celles de la réaction égale et

contraire exercée par S sur S'. Pour avoir le travail total des actions mutuelles résultantes R, R' dans les dé* placements élémentaires pris par les deux surfaces, on peut faire la somme des travaux de R dans chacun des trois mouvements de S (n<> 102), et y ajouter le travail de R'. Or, ce dernier travail détruit évidemment celui de R dans le premier mouvement composant de S ; de plus, le travail de R est nul dans le second mouvement, qui ne comporte pas un déplacement de son point d'application A. Il ne reste donc que le travail de R (ou de ses composantes N et/N) dans le troisième mouvement, lequel travail se réduit à celui de/N, car N est perpendiculaire à tout déplacement parallèle au plan tangent en A. D'ailleurs, /N est directement opposé au glissement de S sur S', c'est-à-dire au déplacement tangentiel dont nous venons de parler; si donc on nomme ds la grandeur absolue du glissement élémentaire, la somme des travaux correspondants de R et de R' sera — /Ncfe.

On voit que les composantes normales N, N' font un travail total égal à zéro, de sorte que le travail total des réactions résultantes est égal à celui des frottements /N, /N'; ce dernier travail, exprimé par — fSds, est toujours négatif. Mais il n'en serait pas de même si l'on considérait séparément le travail de R et celui de R'. Supposons, en eflfet, que, dans le mouvement élémentaire absolu des deux surfaces, le point A de S vienne en C et le point A de S' en B. La ligne BC étanl nulle ou parallèle au plan tangent en A (n*> W), les déplacements AB, AC ont bien même projection sur la normale, d'où il résulte que N et N' font des travaux qui se détruisent, comme l'on a déjà eu occasion de le constater (n« 130), sans que chacun de ces travaux soit nul; secondement, comme

BC représente le glissement de S sur S', cette ligne est parallèle à /N, ce qui montre que la somme des travaux de/N et de/N' est — /N.BC, tandis que la force /N prise seule ferait le travail positif /N.ACcos(AC,/N).

Si les surfaces avaient plusieurs points de contact, on pourrait répéter pour chacun d'eux des calculs et raisonnements tout semblables.

Le théorème du travail virtuel pour les systèmes à liaisons (n*» 131) suppose que la somme des travaux des forces provenant des liaisons est nulle, dans tous les déplacements qu'elles permettent. La condition ne serait pas remplie pour une liaison qui consisterait à maintenir deux surfaces solides en contact l'une avec l'autre, si l'on tenait compte du frottement. Afin de pouvoir toujours appliquer le théorème dont il s'agit, on devrait ne considérer comme forces dues aux liaisons que les composantes normales, dont le travail total reste nul, et compter les frottements /N,/N' parmi les forces directement appliquées. 11 est évident que de cette manière on ne commettrait aucune erreur, car cela revient à supprimer par la pensée le frottement, en ayant soin de le remplacer par les forces qu'il produit; seulement on aurait perdu l'avantage de faire disparaître complètement les forces de liaisons, puisque l'intensité de N figure dans le travail —/Nds, Aussi renonce-t-on le plus souvent à l'emploi du théorème du travail virtuel, pour établir dans ce cas les conditions d'équilibre; on verra plus loin divers exemples des procédés auxquels on peut avoir recours.

169. Résistance au roulement. — Pour faire connaître les lois de cette résistance et les conditions dans lesquelles elle se produit, nous allons d'abord considérer deux cas simples, qu'on pourra généraliser par induction.

Supposons en premier lieu un cylindre posé sur un plan horizontal et soumis à une pression totale P appliquée au milieu de l'axe. Si l'on fait agir une autre force verticale m en dehors de l'axe, par exemple en suspendant un poids qui agit tangentiellement à la section moyenne du cylindre {fig» 209), on observe que l'équilibre subsiste tant que cette force n'atteint pas une valeur limite p. Lorsqu'on aura m=^Pf le

cylindre sera sur le point de se déplacer en roulant sur son plan d'appui; pour une valeur plus grande de m, le mouvement aura réellement lieu.

Tant que l'équilibre existe, la réaction N du plan sur le cylindre doit être égale et contraire à la résultante de P et

de m; c'est donc une force verticale ascendante, égale à P + 13 et partageant la distance OB des deux composantes en parties inversement proportionnelles à celles-ci (n^ 140). En désignant par rie rayon 06 du cylindre, ^ la distance Aa entre N et P, on aura

B m isr

= — , d'où résulte p = jz

Fig.

pv r — p P

Ainsi la réaction totale du plan passe en avant du point de

contact géométrique A, du côté où le roulement tend à se

produire; sa distance à A croit avec rs depuis o jusqu'au

pr maximum ^ — > qui correspond au cas où l'équilibre est sur

le point d'être rompu. Nous désignerons ce maximum paro.

Il serait impossible que la réaction du plan fût exercée en un point différent de A, si le contact des deux corps n'avait lieu que suivant la génératrice du cylindre projetée sur ce point. Toutes les réactions élémentaires se trouveraient, dans cette hypothèse, distribuées le long de la génératrice dont il s'agit; leur moment total par rapport à cette droite étant nul, elles ne pourraient avoir une résultante qui ne la couperait pas. Mais on conçoit que les corps éprouvent une certaine déformation sous la pression qu'ils supportent, que le cylindre s'aplatisse un peu aux environs de la génératrice A et qu'en môme temps il se forme comme une rigole dans le plan, de telle sorte qu'il y ait contact suivant une bande kk' d'une certaine largeur. La réaction, répartie sur cette bande, peut donner une résultante passant en a.

Il résulte des expériences de Coulomb que, pour des cylinlindres faits avec la même matière et placés sur le même plan

horizontal : 1° le rapport 5-^ — ne change pas lorsque P varie

sans changement de rayon r; 2<» que, si Ton fait varier /•, le

même rapport varie en raison inverse. Il suit de là que la

pr quantité p^- — reste invariable quand il s'agit de cylindres

d'une nature donnée s'appuyant sur un plan de nature également donnée, la charge P pouvant, ainsi que le rayon r, prendre toutes les valeurs possibles dans les limites de la pratique. Comme, d'ailleurs, cette quantité est égale à la distance limite ci-dessus désignée par S, on voit que 8 dépendrait uniquement de la nature des corps en contact.

Maintenant, au lieu d'appliquer au cylindre la force verticale HT, appliquons-lui une force horizontale <p à la distance AB=/i de A (Jlg* 210). L'équilibre subsiste encore pour toutes les valeurs de 9 inférieures à une .,.

' Fig. 210.

certaine limite g, au delà de laquelle le cylindre roulera, potfrvu cependant que h remplisse une condition dont nous parlerons tout à l'heure. S'il y a équilibre, il faut que la réaction N de l'appui soit égale et contraire à la résultante de P et de <p; par conséquent, elle est représentée par une ligne passant au point 6 de rencontre de ces deux forces et contenue dans l'angle formé par leurs prolongements : donc elle coupe le plan d'appui en avant du point de contact géométrique A en un point tel que a. On peut l'y supposer appliquée et la remplacer par des composantes respectivement égales et opposées à P et <p; le cylindre est alors en équilibre sous l'action de deux couples (P, — P), (?> — ?)> ce qui exige qu'on ait, en désignant encore par p la distance A a,

P^^'f/^, soit p=?p'.

La distance ^ croît en môme temps que «p depuis zéro jusqu'à la limite ^j répondant à tp = ^.

Coulomb a vérifié par l'expérience que la limite ~- est la

même que la limite 77^ — trouvée dans le cas du premier dis- ^ P -^ p

positif. Ainsi donc, lorsque le roulement est sur le point de naître par l'effet d'une force additionnelle verticale ou horizontale, la réaction du plan d'appui passe toujours à la même distance o en avant du contact géométrique, et cette distance ne dépend que de la nature du cylindre et de son appui.

Dans le cas de la force additionnelle horizontale, on remarquera que le plan doit fournir une réaction tangentielle égale à ^ si l'équilibre est sur le point d'être rompu. Or le maximum qu'il puisse donner, sans qu'un glissement se produise, est le frottement répondant à la pression P (n*167), soit/P, en nommant / le coefficient de frottement des surfaces en contact. Pour que le cylindre ne glisse pas avant de rouler, il faut donc remplir la condition

et, comme on a d'un autre côté

on en conclut, par une multiplication membre à membre,

ce qui donne une limite inférieure au-dessous de laquelle ne doit pas descendre h pour des corps de nature donnée.

Si nous revenons au cas auquel se rapporte la fig. 209, nous voyons que la réaction N appliquée en a peut se transporter en A, pourvu que, simultanément, on applique au cylindre un couple (N, — N), ayant pour moment Np et opposé à la rotation qui tend à se produire autour de l'axe projeté en A. Cette force N appliquée au point de contact géométrique et le couple Np peuvent remplacer l'appui du cylindre. Dans l'hypothèse de corps parfaitement indéformables, on aurait, comme nous l'avons dit, p = 0, et la force N subsisterait seule; en même temps, la force additionnelle w s'annulerait. Le fait de la résistance au roulement consiste donc en ce que le cylindre supporte de la part du plan, en plus de la réaction N appliquée au point de contact géométrique, un couple Np opposé à sa rotation instantanée; la grandeur de ce couple varie suivant la force m qu'on fait agir, mais ne dépasse pas la limite Noqut

correspond à ^=p, c'est-à-dire à la valeur de m pour laquelle le roulement est sur le point de naître.

Une observation toute semblable peut être présentée sur le cas où le cylindre est sollicité à rouler par une force cp parallèle à son plan tangent en A {/ig. 210). Si les corps étaient parfaitement polis et indéformables, Tappui ne pourrait exercer sur lui que la réaction normale P appliquée en A. Mais, en vertu de l'existence du frottement, il peut d'abord donner en outre la réaction langentielle cp (pourvu qu'elle reste inférieure ou, au plus, égale à/P), et, en second lieu, par sa faculté de résister au roulement, il transporte la réaction normale P en a, ou, ce qui revient au môme, il fait naître un couple (P, — P), qu'il faut joindre à la réaction P agissant en A. Ce couple, opposé à la rotation autour de l'axe A, a un moment Pp variable avec la force additionnelle «p, entre zéro et la limite Po, qu'il atteint lorsque le roulement est imminent.

En généralisant par une induction plausible les conclusions auxquelles conduisent les expériences de Coulomb, on peut énoncer la proposition suivante :

Quand deux sur/aces S, S' appartenant à des solides naturels sont sur le point de sortir du repos en prenant, l'une relativement à l'autre, le mouvement /lomwe roulement simple (n* 41), S reçoit de la part de S' : i^* une réaction normale N passant au point de contact géométrique ; 2° une réaction tan- ^entielle inférieure ou, au plus, égale au frottement correspondant à /N et appliquée au même point; 3° un couple opposé à la rotation instantanée que S tend à prendre relativement à S'. Le moment de ce couple est égal au produit de N par une distance 8 qui ne dépend que de la nature des corps en contact.

Cet énoncé suppose le fait de l'équilibre. Mais on démontrera plus tard qu'un système en mouvement peut être considéré comme en équilibre, poui*vu qu'on joigne certaines forces fictives aux forces réellement agissantes. La proposition s'applique donc aussi dans le cas du mouvement, puisqu'on n'y a fait entrer aucune hypothèse particulière sur les forces auxquelles sont soumis les deux corps considérés; toutefois on

TROISifcXB PARTIE. — CHAPITRE TROiSIÈHE.

peut supposer, par analogie avec ce qui a lieu dans le cas di glissement (n* 167), qu'il y aurait peut-être un changemeni plus ou moins sensible pour la constante o si le niouvemenl devenait effectif, au lieu d*èlre sur le point de se produire.

Voici enfin quelques indications sur les valeurs que peull prendre 8. Pour des cylindres en bois de gaiac roulant surdesj règles en chêne. Coulomb a trouvé 8=i:o™,ooo48. Pour des roues de voiture roulant sur une chaussée empierrée, on a trouvé :

o",oi5 si l'empierrement est dans un état d'entretien parfait;

o",o4i si l'empierrement est dans un état d'entretien ordinaire;

o"»,o63 si l'empierrement est neuf et imparfaitement agrégé.

170. Raideur des cordes, — Les cordes, surtout celles d'un diamètre un peu fort, sont assez loin de posséder la flexibilité parfaite qu'on leur attribue ordinairement dans les spéculations ou calculs théoriques. Ce fait est mis en évidence, notamment lorsqu'on fait passer une corde sur une poulie fiie et qu'on soumet les deux brins qui se détachent de la poulie

à des forces P et Q {fig* an). Supposons qu'on puisse annuler les frottements sur l'arbre de la poulie et que la corde soit parfaitement flexible, alors il est facile de reconnaître que la condition d'équilibre est

Fig. 31 T.

de sorte que le moindre excès de P sur Q déterminerait la rotation de la poulie autour de son axe. En effet, une corde parfaitement flexible doit bien suivre le contour de la poulie et se détacher tangentiellement des deux côtés, à une même distance de l'axe 0. Les deux forces P et Q agissent donc sur la poulie avec un même bras de levier, et, comme la condition d'équilibre consiste en ce que leurs moments soient égaux

(n*» 135), on voit qu'elle entraîne Tégalité de P avec Q. La même condition doit encore être remplie, comme on le démontrera dans la suite du Cours, pour que le mouvement de la poulie se conserve avec une vitesse angulaire constante. Mais dans la réalité, même en s'arrangeant pour rendre tout à fait négligeables les frottements des supports, on constate qu'il faut pvendre P notablement supérieur à Q si Ton veut que le mouvement soit sur le point de naître dans le sens de P, ou reste uniforme quand il est une fois acquis. On explique ce fait par la raideur ou le défaut de flexibilité de la corde qui Tempêche de s'appliquer bien exactement sur la poulie, du côté où se fait l'enroulement, c'est-à-dire du côté de la résistance Q; la corde ne se détache parallèlement à cette force qu'en faisant un certain intervalle entre elle et la circonférence extérieure <le la poulie. Si donc on désigne par r le rayon de la poulie augmenté de celui de la corde, il en résulte que P agit à la distance r de l'axe 0, pendant que Q agit à une distance 9-' plus grande. L'égalité des moments

(i) P/=iQr'

subsiste toujours comme condition d'équilibre de la poulie; mais, puisque /*' est plus grand que r, il en résulte qu'on a P>Q.

Coulomb a conclu de ses expériences que l'excès P — Q peut ùire approximativement représenté par la formule

dans laquelle A et B sont des coefficients constants pour chaque nature de corde, et D représente le diamètre 2 r. Cette équation, multipliée par r, devient

Pr-Qrzzzl(A-hBQ),

ou bien, en vertu de (i),

(3) Q/-' = Qr+J(A + BQ).

Cette dernière équation montre qu'on obtient le moment réel

Qr' de la résistance Q appliquée à une poulie par rinterroédiaire d'une corde, en ajoutant au moment Qr, calculé comme si la corde était parfaitement flexible, un moment de même

sens égal à -(A-f-BQ). En d'autres termes, la raideur de

la corde équivaut ici à un couple résistant exprimé par

-(A-hBQ); si Ton en tient compte, on peut regarder la

force Q comme agissant tangentiellement à la circonférence de rayon r.

Le Tableau suivant, calculé par Navier, donne, pour certaines cordes expérimentées par Coulomb, les valeurs des coefficients  et B, en supposant qu'on prenne le kilogramme pour unité de force et le mètre pour unité de longueur. Ces cordes étaient composées de trois torons ou cordes moins grosses, et les torons composés d'un certain nombre de brins nommés /Ils de caret.

Tableau des coefficients A et B.

INDICATION DES C0EDB8.

Cordes blanches de 3o fîls..

» i5 fils. .

» 6 fils. .

Cordes goudronnées de 3o fils » i5 fils

» 6 fils