COS

On a souvent besoin, dans les machines, de communiquer à certaines pièces un mouvement oscillatoire, rectiligne ou à peu près. Les données de la question sont alors l’amplitude de l’excursion et la durée d’une oscillation complète, c’està-dire les quantités 2 R et T dps formules (7); quant à la loi du mouvement entre les positions extrêmes, elle est assez généralement à peu près arbitraire.

Toutes les fois qu’il en sera ainsi, on devra toujours se rapprocher le plus possible de la loi précédente.

En effet, les trois courbes qui représentent celte loi sont parfaitement continues, régulières et symétriques : la vitesse et l'accélération diminuent graduellement jusqu'à l’instant de leur changement de sens; et les écarts de ces deux quantités suivent des lois identiques, de part et d'autre de leurs valeurs moyennes.

Considérons une manivelle (Jig. 47) tournant autour d’un centre fixe, et terminée par un bouton M. Pour projeter le point M sur une direction fixe, le moyen géométriquement le plus simple consiste à engager le bouton de la manivelle dans une rainure, fixée à l’extrémité d’une lige guidée : si le mouvement de la manivelle est uniforme, un point quelconque de la tige est animé du mouvement dont nous venons de donner les lois.

Nous verrons (11 e Section, § XIII) que le petit appareil ap-

CRAPITRB I. MOUVEMENT SIMPLE d'UN POINT. 65

pelé excentrique triangulaire fournit également une solution du problème géométrique qui nous occupe, au moins dans certaines périodes de son mouvement.

Mais, ces dispositions offrant certains inconvénients au point de vue pratique, on préfère généralement employer une barre rectiligne, ou bielle, qui s'articule d'une part avec le bouton de la manivelle, d'autre part avec la tige guidée qui doit recevoir le mouvement de va-et-vient. Ce mouvement ne sera pas tout à fait identique à celui de la projection du point M, en raison de l’obliquité variable de la bielle; mais l’influence de cette obliquité est d'autant moins sensible que la bielle est plus longue par rapport à la manivelle : en supposant la bielle inflnie, on retomberait exactement sur le cas précédent.

Pratiquement, quand la bielle dépasse cinq fois la longueur de la manivelle, le mouvement de l’extrémité de cette bielle diffère assez peu du mouvement oscillatoire type que nous venons d'étudier.

Nous reviendrons sur toutes ces questions dans la partie du cours consacrée spécialement à l’étude géométrique des machines.

Théorie générale de l’accélération dans le mouvement curviligne .

Considérons une trajectoire curviligne quelconque (Jig. 48 ), rapportée à trois axes coordonnés rectangulaires ou obliques; et soit

l’équation du mouvement de la projection du mobile sur l’axe des x.

. On peut toujours développer la fonction 9 (/)par la formule de Maclaurin, et écrire

(9) d’où

<to)

^ = e,= B-+-aC/4-3I>f*4-...,

En faisant t — o dans ces équations, on trouve

D'où, en désignant par 0 un temps infiniment petit, et négligeant les termes du 3* ordre,

Cela posé, quel que soit le système de projections employé, nous savons que la vitesse e* est la projection de la vitesse" e*; mais nous ne connaissons aucune relation entre les accélérations, telles que j z , des projections du mobile sur un axe quelconque; nous ne savons pas non plus comment ces diverses quantités sont liées avec l'accélération proprement dite, j.

Simplification des équations du mouvement. — Pour arriver à combler cette lacune, ce qu'il y a de mieux à faire, c’est de transporter les axes coordonnés au point M, , dans le voisinage duquel nous nous proposons d'étudier les diverses affeclions'du mouvement. Un a ainsi

De plus, je prends pour plan des xy le plan oscillateur de la trajectoire; alors, quelle que soit la direction de l’axe des z, l’une des équations du mouvement sera nécessairement, avec l’approximation dont nous nous contentons,

puisque le plan oscillateur contient par définition trois points infiniment voisins de la trajectoire du mobile, les seuls dont nous nous occupions actuellement. • .

Enfin, dirigeons l'axe des x suivant la tangente à la trajec-

(*) On voit que négliger les termes du troisième degré en 0 revient à supposer le mouvement unifornKinmt varié. 11 est évident que, pour chercher des relations entre des accélérations simultanées, il n’est pas nécessaire de s’inquiéter des variations que ers quantités doivent subir par la suite. À ce point de vue, on peut indifféremment conserver ou supprimer l'indice o, dont les accélérations sont affectées dans les formules ( 11 ), (ta), et autres analogues.

chantre r. — mouvement simple b’iin point. 67 tolre, au point M, ; i! résulte de là que, quel que soit l’axe des r dans le plan oscillateur, la projection de la vitesse eVsur cet axe sera nulle, et la projection de la même vitesse sur l’axe des x sera égale à v*.

On aura donc en définitive, en négligeant d'écrire l’équation a — o , les équations du mouvement sous la forme

j' et j" étant de certains coefficients, qui dépendent du système d’axes adopté.

Cela posé, à partir du point M, [fig. 49)» je prends sur la tangente une longueur M,T égale à e'C; je joins le point T, ainsi déterminé, au point M; et je prends un nouvel axe des / parallèle à TM.

L’abscisse du point M, dans ce système, se trouve ainsi, par construction, égale à M.T ou à v‘0; quanta l’expression de y, elle conserve la forme (i3), à la condition d'attribuer au coefficient que j’avais représenté d’une manière générale par j" la valeur particulière qui convient aux nouveaux axes coordonnés. Soit J cette valeur; nous pouvons énoncer le théorème suivant :

Théorème II. — Quelle que soit la trajectoire d’un point mobile, on peut toujours trouver dans le plan oscillateur de cette courbe deux axes, généralement obliques, tels que les équations du mouvement, rapporté A ces deux axes, aient la forme simple

Accélération totale. — La marche même que nous avons Suivie pour établir ce théorème démontre que le système d’axes dont il est ici questioq est unique; et il est naturel de penser que la quantité J doit jouer le principal rôle dans la théorie des accélérations. Celte quantité J, que nous venons de définir, est ce qu’on appelle l 'accélération totale, et la

68 PREMIÈRE SECTION. CINÉSUTIQt E PURB.

direction de l’axe, M, /, qui correspond aux équations simplifiées ( 1 4 ). est la direction de l'accélération totale.

La considération de l’accélération totale est due au général Poncelet; elle a une très-grande importance en Cinématique.

Cette importance résulte du théorème suivant, qui est fondamental dans la théorie des accélérations simultanées.

Théorème III. — L'accélération de la projection d’un point mobile, sur un axe quelconque, est la projection de l’accélération totale sur te même axe.

Reprenons l’équation générale

x^x’ + v 0 + -ji 0\

qui donne la loi du mouvement de la projection d'un point mobile sur une droite quelconque, quand on néglige les puissances de 0 supérieures à la deuxième.

On sait qu’il n'y a qu'une seule manière de développer une fonction suivant les puissances croissantes de la variable dont elle dépend; dès lors, si, par un moyen quelconque, nous trouvons pour x une expression de la forme

A -4- B 9 -H CO’-t— • • ,

le coefficient C sera nécessairement égal à la moitié de l’accélération, j,, du mouvement rectiligne du point P.

Ceci posé, prenons trois axes quelconques kx, A r, A z ( Jig . 5i), et projetons l’arc infiniment petit M,M sur l’axe des x : la projection de cet arc est égale à celle du chemin brisé M,TM. Or la projection de M.T est v‘9; la projection

de TM est de même le produit du facteur numérique — p r

la projection de J, projection qu’il est naturel de représenter par J,; donc

On conclut de là que j , est la même chose que J», c’est-à-dire que l’accélération de la projection sur un axe quelconque est la projection de l'accélération lolule sur le même axe.

Projection du mouvement sur un plan. — Si nous projetons sur un plan ( fig . 5a), parallèlement à une direction quel-