CHAPITRE I. — MOUVEMENT SIMPLE »’UN POINT

conque, l’arc de courbe M,M et la ligne brisée M,TM, nous démontrerons par un raisonnement analogue que :

Théorème IV. — L'accélération totale de la projection d'un mobile sur un plan est la projection de l’accélération totale sur ce plan.

Construction de l'accélération totale. — De la définition que nous avons donnée de l’accélération totale résulte un premier moyen de construire cette quantité en grandeur et en direction. Il suit en effet de celle définition que :

Théorème V. — Si on considère l’arc parcouru pendant le temps infiniment court 0, et qu’on porte sur la tangente à cet arc une longueur M 0 T = v* 0, ta ligne TM donne la direction de l'accélération totale; et, en divisant la longueur de cette ligne par le carré du temps, on obtient la moitié de J.

Ce résultat peut encore s'énoncer ainsi :

La corde du chemin parcouru pendant le temps 0 est la résultante des quantités u* 0 et ^ J G\

Les équations

fournissent une autre construction de l’accélération totale (fig. 5o), quand on connaît les vitesses v* et v en grandeur et en direction; en effet :

Théorème VI. — La vitesse, au bout d’un temps infiniment petit 0, est la résultante de la vitesse initiale v • et de la vitesse J 0.

En d'autres termes : /

Si l'on décompose la vitesse v en deux, dont l'une soit la vitesse initiale v*, Vautre sera en grandeur et en direction égale à J9 (*).

(*) Dans 1c mouvement rectiligne, les deux quantités et J 0 ont uncdirec* tion commune, et c’est leur somme algébrique qui donne la vitesse finale v. Dans le cas général, la somme est remplacée par une résultante, comme cela arrive toutes les fois qu’on a à ajouter des longueurs dont les directions ne sont pas les mêmes.

70 PREMlfiRB SECTION. — CINÉMATIQUE PUBE.

Quand on connaît les lois du mouvement des projections du mobile sur trois axes, on a, d'après le théorème 111, les projections correspondantes de l'accélération totale; on peut donc construire celte quantité.

Ceci démontre le théorème suivant, qui n’est autre chose que le théorème III sous une autre forme :

Théorème VII. — Les accélérations des projections d’un point mobile, sur trois axes coordonnés quelconques, ont une résultante qui est située dans le plan osculateur de la trajectoire, et qui représente en grandeur et en direction l'accélération totale J.

La grandeur et la direction de cette résultante sont indépendantes du système d’axes considéré.

Enfin, quand on connaît la trajectoire, et la loi du mouvement du mobile sur cette trajectoire, on peut construire l'accélération totale en n’employant que des quantités finies, et sans passer par l’intermédiaire des projections du mouvement sur trois axes.

Pour cela, calculons la quantité que nous appelions

simplement l'accélération, quand nous étudiions le mouvement indépendamment de la trajectoire.

Reprenons pour axes la tangenteà la trajectoire, au point M,, et la direction de l’accélération totale ( Jig . 5o) : on a dans ce système, et pour tous les points compris entre M. et M,

v t =v t , t> = JO;

d’où •

v*' -+- J’C’-f- cosa.

Différenlions cette équation, il vient

(i5) v = J’04-e,Jcos«;

d’où, comme 0 est infiniment petit, et que par suite v diffère infiniment peu de v*,

- 7 - = J cos x.