CHAPITRE 11. MOUVEMENT RE1.ATIP d’üN POINT. 8g

éludié toules les différentes sortes de mouvement dont un solide invariable peut être animé.

Quoi qu’il en soit, il est bien clair qu’en général, et sauf le cas où le mouvement d'entrainement est une translation, les divers points du système solide de comparaison n’auront ni la même vitesse, ni la même accélération totale. Et il ne faudra jamais perdre de vue quand nous dirons, en étudiant le mouvement relatif d’un point, la vitesse ou Yaccélération d'entratnement, que nous entendons par ces mots la vitesse ou l’accélération du point du système de comparaison qui coïncide avec le point mobile, à l’instant considéré.

Notre théorème I, relatif à la composition des cordes, résulte immédiatement de la définition du mouvement relatif: il est vrai pour un mouvement fini quelconque, et quel que soit le mouvement des axes de comparaison. En appliquant ce théorème à un déplacement infiniment petit, nous en avons déduit la règle évidente de la composition des vitesses, règle dont Aristote parait avoir eu déjà la connaissance.

Le même théorème I, si nous considérons deux éléments consécutifs sur chaque trajectoire (Jig. 66), va nous permettre de résoudre le problème de la composition des accélérations.

Ce problème, de la composition des accélérations, diffère du problème de la composition des vitesses par la nécessité où l’on se trouve d’avoir égard, s’il y a lieu, au changement de direction des axes. En effet, l’accélération totale se construit en décomposant la vitesse V' existant au bout du temps dt en deux autres, dont l’une soit la vitesse V au commencement de l’intervalle dt : l’autre est l’accélération totale J, multipliée par dt. Pour appliquer cette construction au cas d’un mouvement relatif, il faut remarquer que les angles qui déterminent la vitesse initiale v r sont rapportés à la position initiale des axes mobiles, tandis que la vitesse v' r doit être rapportée à la position finale; dès lors une variation infiniment petite dans la direction des axes influe sur l’angle infiniment petit que font entre elles les vitesses v r et v' r , et par conséquent sur la direction et sur la grandeur de la ligne J r dt qui joint leurs extrémités; donc, l’accélération totale relative est fonction de cette variation, et le problème de la composition des accélé-

go l’RE.MIÈItF. SECTION'. CISÉB ATIQIB PC«E.

râlions sera loul de suite assez compliqué, dès que les axes n’auront pas un simple mouvement de translation.

Nous examinerons d’abord le cas où les axes sont animés d’un mouvement de translation, puis celui d’une rotation uniforme autour d’une droite fixe. Nous nous bornerons d'ailleurs, pour le moment, à ces deux cas particuliers.

i* Cas. — Étude de la composition des accélérations, lorsque

le système solide est animé d'un mouvement de translation.

Rappelons les trois théorèmes suivants :

I. Dans tout mouvement, la corde du chemin parcouru dans un temps infiniment petit, 9, est la résultante de la quantité vO, portée sur la tangente, et de la quantité ÿ J 0% portée dans la direction de l’accélération totale.

II. La corde d’un déplacement absolu quelconque est la résultante de la corde du mouvement relatif et de la corde du mouvement d'entrainement.

III. La vitesse absolue d’un point est la résultante de la vitesse relative et de la vitesse d’entrainement.

Cela posé, considérons toujours notre triangle curviligne MMM, , et soient ( Jig . 67 ) :

MT — v9, TM, ={ JO’,

MT' = v,ô, T'M' = ÿ J,0‘,

D’après le théorème du parallélogramme des vitesses, T'T est égal à M'T,; de plus, ces deux lignes sont parallèles, puisque la trajectoire relative s’est déplacée parallèlement à ellemême, le mouvement d’entrainement étant une translation.

Il suit de là que TT, est aussi égal et parallèle à T'M'. Donc la ligne qui représente en grandeur et en direction [JO’, est la résultante des lignes qui représentent de même i J, 0’ et |J , 0 « :

TaÊoafeMB V. — Lorsque le mouvement d’entrainement est un mouvement de translation, l’accélération totale du mouvement d’un point est la résultante de l’accélération totale relative et de l’accélération d’entrainement.

en antre n. — mouvement relatif d’un point. 91

Ou bien :

Théorème VI. — Loisque le mouvement d' entraînement est un mouvement de translation , l’accélération totale relative est la résultante de l’accélération totale absolue, et de l’accélération d'entratnement prise en sens contraire.

Construisons ( Jig . 68) le triangle MA A, formé, à une époque déterminée, par les vitesses v,, v , et c. Au bout du temps 0, ce triangle est devenu MA' A',, et la ligne A, A', représente l’accélération J, du mouvement absolu, multipliée par le facteur numérique 0.

Quel que soit le nombre des mouvements composants, pourvu que tous les mouvements d’entratnement soient des translations, on obtient toujours (Jig- 69) l’accélération du mouvement composé en joignant les sommets homologues du polygone des vitesses; cl la figure montre que cette accélération est bien la résultante géométrique de toutes les accélérations composantes.

Ces résultats ne diffèrent en aucune façon do ceux qui sont relatifs à la composition des vitesses.

2 e Cas. — Élude de la composition des accélérations lorsque

le système solide est animé d’un mouvement de rotation.

Si nous supposons maintenant que les axes auxquels on rapporte le mouvement relatif soient animés d’un mouvement quelconque, la tangente à la trajectoire relative, au point M (Jig- 70), ne conserve pas une direction constante; de sorte que, quand le point M se trouve transporté en M', le point T,, extrémité de la longueur v,0, ne coïncide pas avec le quatrième sommet du parallélogramme construit sur T'T et T'M'. Soit V' r ce quatrième sommet, on a

TMi = } J 0*,

T 1 V' = T'M'=ÿJ,O s ;

mais ces trois lignes ne forment pas les trois côtés d’un triangle, et l’on ne peut plus dire que la première soit la résultante des deux autres.

En effet, il existe une lacune entre les points VJ. et T,, en

raison du déplacement angulaire de la tangente MV,. De plus, on ne peut pas dire que cette lacune soit négligeable; car la distance T,V' est le troisième côté d’un triangle isocèle dont les côtés égaux sont infiniment petits du premier ordre, et comprennent un angle qui est lui-même infiniment petit du premier ordre. Il suit de là que le troisième côté de ce triangle est infiniment petit du second ordre, et comparable aux autres grandeurs considérées (*).

II faut donc ajouter une quatrième ligne aux trois lignes que nous considérions tout à l’heure, pour avoir un polygone fermé; et, dans le cas général, on doit considérer l’accélération relative comme la résultante de l’accélération absolue, de l’accélération d’entrainement prise en sens contraire, et d’une troisième accélération complémentaire, dont la direction est celle de la droite T,V^., et dont la grandeur s’obtiendra en divisant la longueur T,VJ par -j- 6 1 .

Détermination «le l’accélération complémentaire. — Cette longueur T,V' est le produit de M'T, par l’angle infiniment petit T,M'V'; or M'T, est égal à v r 9, et l’angle M' n’est autre chose que l’angle formé par deux positions infiniment voisines de la tangente à la trajectoire relative, au point M.

Pour calculer cet angle, qui dépend uniquement du mouvement des axes mobiles, nous supposerons que ce mouvement soit une rotation uniforme, w, représentée par la droite OP (Jig. 71 }. C’est ici seulement qu’il y a lieu d’introduire cette restriction, tout ce qui précède s’appliquant à un mouvement d’entrainement quelconque.

Par le point 0, menons deux droites, parallèles respectivement aux droites MV r (ou M'V'), et M'T,. Ces deux lignes sont également inclinées sur l’axe OP: on peut les considérer comme deux génératrices d’un cône de révolution dont l’axe serait OP; et l’angle formé par les deux plans méridiens correspondants est précisément égal au déplacement angulaire, eoS, de tout le système pendant le temps 0.

(*) Celle lacune existait également dans le triangle dos vitesses, mais il n*y avait pas à en tenir compte, car les grandeurs dont on s'occupait alors étaient des infiniment petits du premier ordre.