CHAPITRE 111. MOUVEMENT D'ilN CORPS SOLIDE. Iu

tout dé suite cette conséquence immédiate desesreelierches(*), et qu'il ail attendu vingt-Cinq ans pour donner cette généralisation du théorème de d'Alembert (**).

Mais si l'on peut concevoir que le corps (supposé toujours fixé par un point) passe d'une position à une autre position quelconque par l'effet d'une simple rotation autour d’un axe fixe, nous savons que les choses ne se passent pas ainsi dans la réalité, cl que le mouvement réel consiste en une suite de rotations autour d’axes sans cesse variables. C'est là une idée qui présente encore une sorte d'obscurité : c’est-à-dire qu’on ne voit pas très-bien ce qui arrive au corps, et qu’on a quelque peine à le suivre dans le cours de cette espèce de rotation changeante. Nous allons, avec M. Poinsot, tâcher d’éclaircir encore celle idée, cl de présenter à l’esprit quelque image plus nette et plus sensible.

Or, on vient de démontrer qu’un mouvement quelconque d’un corps autour d’un point fixe est une rotation de ce corps sur un certain axe, qui change de position d'un instant à l'autre. Comme cet axe instantané passe toujours par le point fixe, il ne peut- décrire dans l’espace qu’une certaine surface conique dont le sommet est en ce point; et de même, il est évident qu’il ne peut décrire dans l'intérieur du corps qu’une autre surface conique de même sommet.

Soient O ce commun sommet, et 01 l'axe instantané dans

(*) « Quamobrem maximi moment! crit iuvestigare, utruio ai translatio fuerit fini ta, citant detur ta lis axis. » [Formula: genêt aies pro translatione qud cumquc corporum rigidorum {Nouveaux Commentaires de Saint-Pétersbourg pour

'77 ’, *• xx > P- «99! '77 6 ';-]

Le mot translatio est pris ici dan* lo sens do déplacement , et non dans celui de notre mot translation.

Encore faut-il remarquer quo, mémo à cette époque, Euler est obligé do renoncer, apres plusieurs cflbrls, à démontrer analytiquement la propriété dont il s’agit.

Ce fut Lexcll qui, dans le mémo volume de l’Académie de Saint-Pétorabourg, leva la difficulté ( Thearcmaia nonnulla générait a de translatione corporum rigidorum, p. 339-370).

D’Alembert, de son côte, ne tarda pas h démontrer, par des voies différentes et fort simples, les deux théorèmes d’Euler sur le déplacement fini (t. VH des Opuscules mathématiques, p. 373; 17S0).

Citons encore un Mémoire de M. O. Rodrigues ( Journal de Mathématiques, i r * série, t. V), où la question est traitée par l’analyse.

lo6 PREMIÈRE SECTION. C|Kft)UTlqt.'E Pl’RE.

sa position actuelle (fig- 77 ). Concevons du centre O, et d’un rajon 01 égal à l’unité, une sphère décrite qui coupc les deux surfaces coniques suivant deux courbes, lesquelles seront comme les bases de ces surfaces. De ces deux courbes, la première (sr) est (i\e dans l’espace absolu; la seconde (*) est fixe dans le corps, et, par conséquent, .mobile avec lui dans l’espace.

Divisons le temps t en intervalles égaux infiniment petits dt\ et marquons sur la courbe fixe (a) les positions correspondantes, a, (3, y, 5,..., du pôle I de l'axe de rotation.

Prenons sur l'autre courbe (s), qui sert de base au cône

mobile, des arcs, la, ab, bc respectivement égaux aux

premiers; il est clair qu’au premier instant le corps, qui tourne sur 01, amène le point a du corps sur le point a de l’espace; que, dans l’instant suivant, le corps qui tourne sur 0* amène le point b dit corps sur le point (3 de l’espace, et ainsi de suite d'un instant à l’autre. Il suit de là que les deux courbes, et par conséquent les deux surfaces coniques, sont tangentes: car une rotation infiniment petite autour de 01 ne fait décrire au point a qu'un espace infiniment petit du second ordre. Comme de plus les arcs la cl la sont égaux, ainsi que les arcs ab et aj3, bc cl (3 7, etc., on voit que le mouvement du corps pourrait être produit par celui du cône mobile roulant, sans glisser, sur le cône fixe dont il s’agit.

Nous avons donc ce nouveau théorème :

TntoRÈsE de PoixsoT. — De quelque manière qu’un corps se meuve en tournant autour d'un point fixe, ce. mouvement ne peut être autre chose que celui d’un certain cène, dont te sommet est en ce point, et qui roule actuellement , sans glisser, sur la surface d’un autre cône fixe de même sommet.

Je veux dire que le cône mobile, considéré comme attaché au corps et IVniratnani avec lui, s’il vient à rouler sur l’autre cône qui est fixe dans l’espace absolu, fera prendre à ce corps le mouvement précis dont on le suppose, animé; la ligne de contact des deux cônes est, à chaque instant, l'axe autour duquel le corps tourne dans cet instant, ou ce qu'on appelle l’axe instantané : d’où l’on voit comment cet axe est à ta fois