CHAPITRE 111. MOUVEMENT l»'ltH CORPS SOLIDE. I

mobile* d;iDs le corps cl dans l’espace absolu, décrivant dans l’espace la soi face du cône lixe, ei dans l'intérieur du corps la surface du cône mobile dont on vient de parler (*).

Tel est, diiPutnsol, le plus haut point de clarté où l’on puisse porter L’idée si complexe et si obscure du mouvement d’un corps qui tourne d’une manière quelconque autour d’un centre fixe. Il n’y a point de mouvement de cette nature qu’on ne puisse exactement produire en faisant rouler un certain cône sur un autre cône fixe de même sommet; de sorte que, si l’oit imagine tous les cônes possibles, et qu’on les fasse ainsi rouler l’un sur l'antre, on a l'image fidèle de tous les mouvements dont ur» corps soit susceptible, autour d’un point sur loquet il a la liberté de pirouetter en tous sens.

Formules diverses relatives à la rotation autour d’un point.

Si les deux courbes (a) et (c), qui servent de bases aux deux surfaces coniques dont il a été question, sont données, ainsi que la vitesse angulaire u autour de taxe instantané 01,

(*) Il n’est peut-être pas inutile d’insister sur l'idée nette qu’il faut attacher aux mots quand on dit « le mouvement de Taxe instantané », ou qu’on emploie quelque autre terme qui suppose la mobilité do cet axe, soit duos le corps, toit dans l’espace. Ce n’est ici qu’une manière de s'exprimer. I.'axc instantané ne se meut point : car il est immobile de sa nature pendant un instant, et au bout de cet instant, c’est une autie ligne qui devient a son tour l’axe de rotation. Mais en se H «jurant Peu semble de toutes ces lignes, menées d’arancc, 1rs unes dans Se corps, les autres dans l’espace, «t leur donnant le commun nom d’</-rtf instantané* on peut dire naturellement la surftue décrite par cet axe, au lieu de dire la surface l'ormee par la suite de toutes les lignes, dont chacune doit devenir à son tour l’axe de rotation. F.t de meme, au lieu de Pangïe d j>, compris entre deux génératrices consecutives de cette surface, orr peut dire l’angle décrit pondant le temps dt par l’axe instantané, et nommer

et -f

ainsi le rapport la vitesse angulaire avec laquelle cet axe trace h la Ibis les deux surfaces coniques dont il s’agit. C’est dans le même sens qu’ou

as • i • • i i • « ii

nomme le rapport — » ou le rapport ^ qui lui est égal, la vitesse avec laquelle

le pôle instantané I se meut le long do l’une ou de l’autre des deux courbes et (?), tracées l’une dans le co r ps et l’autre dans l'espace, quoique le point du corps qui fuit en ce moment l'office du pôle instantané n'ait de sa nature aucune vitesse. Fn rfc', ce point du cor] s, tant qu'il fait le pôle, est immobile;

et, sitôt qu'il sc meut, il n’est plus le pôle de la rotation.

il est évident que le mouvement du corps sera entièrement déterminé.

Si, la vitesse angulaire u étant toujours connue, une seule des deux courbes [s) cl (y) est donnée, avec la vitesse du pôle qui la décrit, l’autre courbe scia nécessairement déterminée.

Supposons, par exemple, que la courbe fixe ( u) soit donnée,

avec la vitesse du pôle instantané I, le long de cette courbe.

Comme le corps tourne sur 01 avec une vitesse angulaire «u, qui est aussi donnée, il est clair que le point du corps qui, au bout du temps dt, doit venir tomber sur la courbe donnée (o-) pour y être à son tour le pôle instantané, est un point déjà déterminé dans le corps; et il en est de môme des autres points du corps que les rotations successives doivent amener l'un après l’autre sur la courbe fixe (a), pour servir de pôles à leur tour. D’où l'on voit que l'autre courbe ($), qui marque la roule du pôle dans l'intérieur du corps, est entièrement déterminée.

Et réciproquement, si, ou lieu de la courbe fixe (<r), on se

donne la courbe mobile [s), avec la vitesse et la vitesse de

rotation w, on verra de même que la courbe fixe ( a ) se trouvera entièrement déterminée dans l’espace.

En générai, dans l'élude du mouvement d'un corps autour d'un point fixe, il se présente naturellement plusieurs éléments à considérer, tels que ' la vitesse angulaire o> autour de l'axe instantané 01; la vitesse angulaire G avec laquelle cet axe trace les deux surfaces coniques S et 2 qu'il déciit en môme temps, l'une dans l’intérieur du corps, l'autre dans l’espace absolu; les rayons de courbure r et p de ces deux surfaces; les mouvements angulaires pe t rc du pôle, l'un autour de l'axe OP du cône osculateur de la surface mobile S, et l'autre autour de l’axe OII du cône osculateur de la surface fixe 2, etc. Et si, de ces différentes choses, trois quelconques sont connues, on peut dire que les autres le sont aussi, et que le mouvement est entièrement déterminé.

Cherchons les relations qui existent entre ce s quantités.

Par l'effet de la rotation instantanée autour de 01, le cône mobile tourne, pour venir appliquer l'élément ds de sa base