MM, = M'M

11 résulte de là que MM' est un infiniment petit du deuxième ordre; donc le point M est animé, à l’instant considéré, d'une vitesse nulle, ce qui est le caractère d’un centre instantané de rotation.

Dès lors, en raisonnant comme dans le paragraphe précédent, et considérant dans un mouvement quelconque d’une figure plane invariable le lieu décrit par le centre instantané dans l’espace absolu, cl le lieu correspondant décrit par le même point sur le plan de la figure mobile (fig. 89), nous arriverons, par une image analogue à celle qu’a donnée Poinsot pour les mouvements sphériques, à nous représenter clairement le mouvement fini le plus général d’une figure plane dans son plan :

Thêorèjie Vif. — Quel que soit le mouvement d’une figure invariable dans son plan, on peut toujours le ramener à un mouvement épicycloldal.

En d’autres termes, on pourrait produire le même mouvement en supposant que les points qu’on étudie soient entraînés par une certaine courbe mobile, roulant sans glisser sur une courbe fixe convenablement choisie.

La courbe mobile esl la courbe roulante ou la roulette, d'après une dénomination anciennement usitée. La courbe fixe s'appelle la base de la roulette .

Propriétés des épicyclotdes. — Le cas de mouvement épicycloïdal le plus intéressant à étudier esl celui dans lequel la courbe mobile et la courbe fixe sont deux circonférences de cercle. En effet : non-seulement les courbes ainsi engendrées ont un grand nombre d'applications industrielles; mais de plus il esl évident que, pour toutes les questions qui se rapportent au deuxième ordre infinitésimal, on a le droit, dans un mouvement épicycloïdal quelconque, de remplacer la roulette et sa base par leurs cercles osculateurs respectifs.

On distingue les épicyclotdes extérieures et les épicyclotdes intérieures ou hypocyclotdes. Elles sont allongées ou raccourcies, scion que le point décrivant est à l’extérieur ou à l’intérieur du cercle mobile. On appelle plus particulièrement épicyclotdes (*) celles qui sont décrites par un point de la circonférence roulante.

On a représenté (fig. 91) quelques épicycloïdes et hypocycloïdes. On voit que, dans celles qui sont allongées, les points de rebroussement sont remplacés par des boucles ; ces mêmes points sont représentés par de simples sinus dans les épicycloïdes raccourcies.

(*) Ce» dernières possèdent une propriété géométrique remarquable : celle de pouvoir élro engendrées de deux manières differentes par le roulement d’un cercle mobile sur un même cercle fixe.

Considérons par exemple une épiejeloïde extérieure {fig. 90) : soient C le centre du cercle fixe, C, le centre du cercle mobile, R et R, les rayons de ces cercles, enfin M une position du point décrivant.

La normale MA rencontre le cercle fixe en un deuxième point À'. Si l’on décrit une circonférence passant par le point M et tangente en A’ à la circonférence fixe, et qu’on fasse rouler la circonférence ainsi déterminée sur la base primitive (C), le point M, considéré comme fixé à la nouvelle roulette, décrira une épicycloidc identique à la proposée. ( Voir Dcuamel, Éléments de calcul infinitésimal , 2 e édit., t. I, p. 188.)

Le rayon delà nouvelle roulette est donné par la relation

r; = rh-r, ,

qui devient, dans le cas d’une épicycloîde Intérieure :