CHAPITRE III. — r MOUVEMENT D'uX CORPS SOLIDE

Ligne droite et ellipse considérées comme hypocycloXdes . — L’hypocycloïde la plus curieuse est celle qui est engendrée par un point d’une circonférence, roulant dans l’intérieur d’une circonférence de rayon double. On sait que chacun des points de la circonférence mobile décrit un diamètre du cercle fixe (Cardax) : il suit de là qu’une corde quelconque, AB, de la roulette peut être considérée comme une droite dont les extrémités parcourent des droites fixes.

Si l’on se donne la droite AB [fig. 92), ainsi que les directrices du mouvement de cette droite, Ox, 0 y, on déterminera comme nous l’avons vu le centre instantané C : OC est le diamètre du cercle mobile et le rayon du cercle fixe, qu’il faut choisir pour ramènera un mouvement èpicycloldal le mouvement d’une droite dont les extrémités parcourent des droites fixes.

Un point M de la droite AB décrit une ellipse dont on connaît immédiatement la normale MC, et dont on obtient le centre de courbure au moyen de la construction de Savary.

Les directions des axes de cette ellipse se construisent en joignant le point M au centre 1 du cercle mobile : en effet, le point M est sur la droite de longueur constante ab, mobile sur les droites rectangulaires OX, OY. Ma et Mb sont les longueurs des deux demi-axes; OM et MC sont les longueurs de deux demi-diamètres conjugués, le dernier étant dirigé suivant ON, perpendiculaire à la normale MC ( * ).

Si l’on faisait rouler la grande circonférence sur la petite, les diamètres de la première pivoteraient chacun autour d’un point fixe de la seconde. Ce théorème est le corrélatif du théorème de Cardan.

Rayon de courbure d'une courbe épicyclo'idale plane. — - Soit M le point décrivant ( Jig . q3). Prenons sur la courbe fixe et sur la courbe mobile, à partir du point de contact A, deux arcs infiniment petits égaux, AB, AB,; et soilM' la position qu’aura prise M, lorsque B, sera venu en B. La normale en M' se construit en joignant le point M' au point B ou B, :

(*) M. Mannheim a déduit de cette figure un procédé pour construire le» axes d’une ellipse, quand on connaît un système de diamètres conjugués (*Vt turelies Annales de Mathématiques , t. XVI, p. 187).

fia PREMIÈRE SECTION. CINÉMATIQUE PURE.

cette ligne vient couper la normale M A au centre de courbure cherché, X.

Fniçftim

MM '=ds, AB=AB ,=dv,

AC = R, AC, = R„ MA = r, MX=p.

La rotation de la figure mobile autour du centre instantané A, pour le déplacement AB du point de contact, est égale à la somme des angles de contingence respectifs des deux cercles : elle a pour expression

d<T ( ïï ^ r ;) 1

ce qui donne pour la valeur de l’arc MM'

D’un autre côté, si l’on désigne par i l’angle que fait AM avec la ligne des centres, on a, dans les triangles infiniment petits XMM', XAB,,

ds : du cosi :: p : p — r ;

d’où enfin, en égalant Les deux valeurs de ds :

On déduit de ces équations la construction de Savary, que nous connaissons (*} ( voir p. 54).

( * ) Développée de l'èpiçjcloidt ordinaire . — Pour exprimer que le point décrivant est sur la circonférence (C,), il faudra fairo dans la relation (i)

d’où

Décriront un cercle qui passe par le point \ (fig. p/j), et qui soit tangent