EX CONTACT

Transmission de mouvement par contact. — Deux corps terminés par des surfaces cylindriques, et tournant respectivement autour des axes O et 0', sont assujettis à rester constamment en contact. 11 suit de là qu’un de ces corps ne peut se mouvoir sans entraîner l’autre, sans lui transmettre, comme

(*) Signalons pour mémoire un cas d’exception assez curieux. Considérons un plan (F), et une ligure quelconque tracée dans un plan (Q), perpendiculaire à (P). Si l’on fait tourner cette figure autour d'une droite contenue dans son plan, les vitesses de tous scs points seront perpendiculaires à ce plan (Q , et par conséquent parallèles à (P); et pourtant la projection de la figure sur 'P) ne conservera pas sa forme rectiligne pendant un temps infiniment |K?tit, les points de l'infini parcourant duns ce temps des espaces finis.

Iî8 PREMIÈRE SECTIOX. — CIKÈXATIQIE PURE.

on dit, son mouvement, suivant une loi géométrique évidemment déterminée: on demande le rapport des vitesses angulaires de ces deux corps.

Puisque nous supposons les deux surfaces cylindriques, si nous admettons de plus qu'elles ne se déplacent pas dans le sens de leurs génératrices, il nous suffira de considérer le mouvement des sections droites de ces surfaces.

Soient (fig. 99) C le point de contact, M et M' les centres de courbure des deux courbes. Pour un mouvement infiniment petit, je substitue aux courbes leurs cercles osculateurs: la longueur MM', qui est la somme des rayons de ces cercles, ne variera pas, non plus que les longueurs des lignes OM, O' M'. Les mouvements angulaires de ces deux lignes, c’est-à-dire de deux rayons quelconques de chaque solide, sont donc les mêmes que si les points M et M' étaient articulés à un lien rigide MM', lien dont la direction est celle de la normale commune aux deux courbes en contact.

On peut donc dire, en appliquant le théorème relatif à la transmission de mouvement par tiges articulées (p. 118):

Dans la transmission par contact, le rapport des vitesses angulaires des deux corps tournants est l’inverse de celui des segments déterminés sur la ligne des centres de rotation par la normale commune.

Le rapport des vitesses angulaires n’est pas le seul élément géométrique qu’il soit important d’étudier, dans la théorie qui nous occupe. Pour aller plus loin, nous réduirons l’une de nos deux courbes au repos; c’est-à-dire que nous prendrons deux axes, fixes par rapport à celle-ci, auxquels nous rapporterons le mouvement.

Théorie du roulement et du glissement des lignes planes.

Soient donc deux figures planes quelconques, l’une fixe, l’autre mobile, assujetties à rester en contact. La courbe fixe est l’enveloppe de la courbe mobile, puisque l’enveloppe d’une figure mobile n’est autre chose que la ligne à laquelle celle-ci reste constamment tangente. Mais la condition, pour une figure mobile, de rester constamment tangente à une en-

CHANTRE 111. — MOUVEMENT I)'UN CORPS SOLIDE. I2g

veloppe donnée, ne suffit pas pour déterminer la série des positions de cette figure : en ayant égard à la loi qui règle les déplacements simultanés du point de contact sur les deux courbes, on distingue les trois genres de mouvement que voici :

i" Si les arcs infiniment petits, parcourus par le point de contact sur les deux courbes, ont même longueur, on dit qu’il y a roulement ;

i’ Si cet arc est nul pour l'une des deux courbes, le mouvement est un glissement simple ;

3" Enfin, dans tous les autres cas, on a affaire à un mouvement mixte, qui tient à la fois du roulement et du glissement.

Soient (Jig. too) ( e ) la courbe mobile, (E) la courbe fixe, ni le point actuel de contact, »i,,m, les points qui doivent arriver en coïncidence, par l'effet d’un mouvement infiniment petit.

Ce mouvement infiniment petit, dans le cas le plus général, peut être considéré comme composé d’un roulement et d'un glissement. On peut en effet, pour amener la courbe ( e) de sa première à sa seconde position, faire d'abord rouler cette courbe sur son enveloppe jusqu’à ce que le point m, soit arrivé en un point p, tel que mp = mm„ et la faire ensuite glisser jusqu'en »«,.

La longueur pm, mesure Yéleniltie du glissement élémentaire, étendue qui est aussi égale à m, m„ ou à mm', puisque les distances des points m, et m' à la courbe (E) sont infiniment petites du second ordre. Donc

Théorème I. — L'étendue du glissement élémentaire est égale ît la distance qui sépare, au bout du temps dt, les deux points qui se trouvaient réunis au commencement de ce temps dt.

Ce théorème s’applique sans modification, quand on restitue à la courbe supposée fixe le mouvement dont elle est animée en réalité, puisque la grandeur de l'arc de glissement dépend uniquement du mouvement relatif des deux courbes.

En divisant l’arc mm' par dt , on a la vitesse de glissement. J-a direction de celte vitesse est celle de la ligne pm„ ou mm' : c’est-à-dire, à la limite, celle de la tangente commune m T.

l3o PREMIÈRE SECTION. CINÉMATIQUE PURE.

Construction du centre instantané de rotation. — Le mouvement élémentaire, que nous venons de décomposer en un roulement et un glissement (c’est-à-dire en une rotation autour du point m, et une translation dans la direction mT), revient aussi , comme on sait, à une simple rotation autour d’un centre instantané A [fig. 101), situé quelque part sur la normale commune NN' (*). Le point A est facile à déterminer quand on connaît les centres de courbure de la courbe ( e ) et de son enveloppe, ainsi que le rapport des arcs mm„ mm,. C’est la limite vers laquelle tend le point y, intersection des deux normales G,m,, G m, (**). L’angle de rotation d 9 est la somme des angles de contingence des deux courbes :

dtf = d~-\- d-,.

Calcul de l'arc de glissement. — La figure montre ‘que l’arc m, m, a pour expression

r[d- dr,) — rdo,

(*) Considérons une came, dont 1c profil soit la courbe quelconque >). U résulte du beau théorème relatif au mouvement épicycloïdal, que nous pourrons toujours faire prendre à cette came le mouvement précis dont nous avons besoin qu’elle soit animée, en attachant la courbe (e) h une figure (m) convenablement choisie, et assujettie à rouler sans glisser sur une courbe lixe {f).

Ceci est important au point do vue des applications. En effet, le glissement donne lieu dans les machines à une résistance dite frottement, aussi nuisible sous le rapport de l'économie du travail que sous celui de la précision du jeu de la machine; le roulement, au contraire, n’occasionne qu'une résistance négligeable per rapport à la première : cc que nous venons de voir ndus apprend à produire un mouvemênt plan quelconque, sans faire intervenir le glissement.

D'autres fois, au contraire, il y aura un intérêt majeur à passer par-dessus les inconvénients du frottement, et à substituer au roulement un mouvement mixte : la théorie actuelle nous guidera egalement dans le tracé des courbes qui, par leur action mutuelle, produiront d’une autre manière le mouvement qu’on se propose d’obtenir.

(**) Ï1 est à remarquer que les données dont nous nous sommes servi ne déterminent pas la tangente au lieu décrit par le point A. Cette tangente est un élément du deuxieme ordre, qui so construit quand on connaît les rayons de courbure des trajectoires de deux points de la figure mobile : points non en ligne droite avec le point A.

Tn eflèt, chaque rayon de courbure fait connattre la projection [du centre du deuxième ordre sur la normale correspondante, (p. iq 6); deux projections déterminent ce centre A,', et la ligne AA, est la normale demandée.