CHAPITRE III. MOUVEMENT D’tiN CORPS SOUDE. l3l

r étant la distance du centre instantané au point ni (*). L’un des deux angles rfr,, d-, est nul, si le mouvement est un glissement simple, mais ces deux angles ne sauraient s’évanouir tous les deux à la fois ; donc le glissement ne peut être nul que quand on a r = o :

Théorème II. — Pour que le glissement soit nul dans le mouvement de deux courbes assujetties il rester en contact, il faut et il suffit que le point de contact des deux courbes coïncide avec le centre instantané de la rotation relative.

Le roulement est au contraire nul, et le mouvement est un glissement simple, dans deux cas distincts : selon que le point de contact est invariable sur la courbe mobile ou sur la courbe iixe. On peut remarquer les propriétés suivantes :

Théorème II L — Quand une courbe glisse sur une courbe fixe quelle touche toujours par le même point, la normale en ce point roule sur la développée de la courbe fixe.

Théorème IV. — Quand une courbe se meut en touchant constamment une courbe fixe au même point , la développée de la courbe mobile roule sur la normale fixe du point de contact.

Mouvement relatif de deux surfaces quelconques en contact par un point.

Le mouvement d’une surface quelconque par rapport à une autre surface à laquelle elle reste constamment tangente (c’est-à-dire par rapport à trois axes invariablement liés a celle-ci) peut s’effectuer de bien des manières différentes.

En nous bornant pour le moment à considérer les cas où le contact a lieu en un point seulement, c'est-à-dire où les surfaces n’ont de commun qu’un élément du second ordre, nous aurons à distinguer trois genres de mouvements simples :

i° On dit, à proprement parler, qu'une surface glisse sur

(*) L’cspression rdy est remarquable, en ce qu’elle ne contient pas explicitement les courbures des deux figures en contact, mais seulement l'angle qui mesure la rotation instantanée relative.

l3ï PREMIÈRE SECTION. CINÉMATIQUE TUEE.

une surrace fixe, quand son mouvement est une translation parallèle au plan tangent commun : c’est le mouvement d’un traîneau sur un plan incline. Poinsot avait proposé, pour désigner cette sorte de mouvement, le mot de rasion , qui u’a pas été adopté.

a* Une surface pivote sur une autre surface, quand elle tourne autour d'un axe perpendiculaire à l'élément commun ; c’est le mouvement d’un pivot dans sa crapaudinc. Comme on doit toujours considérer dans le contact de deux surfaces, non pas un simple poinlcommun, maisbien un élément superficiel commun, on voit que, dans le genre de mouvement que nous étudions, il y a en définitive glissement de l’élément mobile sur l'élément fixe; et, bien que les points dont il s’agit soient à une distance infiniment petite du centre de rotation, l are de glissement pourra avoir une valeur quelconque , selon la grandeur du déplacement angulaire relatif.

3° Enfin la surface mobile roule sur la surface fixe, quand son mouvement instantané est une rotation autour d’un axe situé dans le plan de contact, c’est-à-dire autour d’un des côtés de l’élément commun (*). De la sorte, l’élément suivant vient, en tournant autour de ce côté, s’appliquer exactement sur un élément égal, et ainsi de suite. La série des" éléments, qui se sont trouvés successivement en contact, forme sur la surface fixe et sur la surface mobile deux zones qui par l’effet du roulement, se développent l’une sur l'autre, et sont susceptibles de se recouvrir sans déchirure ni duplicature.

C’est ce qui se passe quand une sphère ou une zone cylindrique roule en ligne droite sur un plan ; une jante conique, au contraire, ne peut avoir sur un plan un mouvement rectiligne, ou une jante cylindrique un mouvement circulaire, sans que le roulement soit compliqué de pivotement (**).

(*) On confond assez souvent le roulement avec certains mouvements compliqués de pivotement (et par -conséquent de glissement, si l’on tient à conserver aux mots leur signification précise). C'est ainsi que M. Delaunay, dans l'énonce d’un célèbre théorème de Poinsot (Mécanique rationnelle, p. 4*)i; 1 806), se sert, à tort suivant moi, du mol de roulement pour désiguer un mouvement qui se réduit, dans un cas, au pivotement simple d’une sphère sur un de ses plans tangents.

(••) On utilise cette propriété dans la construction des meules à broyer.

CBAPITRE III. — MOUVEMENT d'UN CORPS SOLIDE. 1 33

En résumé, les trois cas que nous avons définis répondent :

i" A une translation (laquelle ne peut évidemment avoir lieu que parallèlement à une ligne tracée dans le plan tangent);

i° A une rotation perpendiculaire au plan langent commun;

3° A une rotation contenue dans ce plan.

Nous verrons dans le chapitre suivant qu’un mouvement quelconque est susceptible de s* résoudre en ces trois éléments simples.

§ XI. — Mouvement le plus général d'in corps solide.

Nous avons démontré avec Euler que, relativement à des axes de direction invariable, assujettis à se croiser constamment en un point déterminé d’un solide en mouvement, le mouvement de ce solide, à un instant quelconque, est une rotation autour d’une droite dite axe instantané, fixe pendant un temps infiniment court.

Le mouvement le plus général d’un corps solide, pendant un temps infiniment petit, peut donc être considéré comme composé de cette rotation et du mouvement des trois axes, lequel est une translation dont la vitesse est égale à celle du point pris pour origine. Comme ce point a été choisi arbitrairement, on voit qu’il y a une infinité de manières de décomposer un mouvement donné en une translation et une rotation.

Théorème de Gialio Mozzi.

Parmi ces divers systèmes de décomposition, il en existe toujours un, plus simple que tous les autres, dans lequel la translation s'effectue parallèlement à l’axe de la rotation (*). Le

(*) Il résulte d'une Noto de M. Chasles que ce beau théorème se trouve mentionne pour la première fois dans un ouvrage d'un géomètre florentin parfaitement inconnu, Giulio Mozzi, ouvrage intitulé : Discorso matematico sopra il rotamento momentanée dei corpi ; Naples, 1763.

« I. 'auteur, dit M. Chasles, après avoir démontré que tout corps en mouvement possède à chaque instant un mouvement de rotation autour d’un axe qui passe par le centre de gravite, et un mouvement rectiligne commun à toutes ses parties, ce qui était connu de d'Alembcrt et d'Euler, ajoute que ces deux mouvements se réduisent à deux autres, dont l'un, rectiligne, est com*

1 34 PREM1ÈRB SECTION. CINÉMATIQUE PURE.

mouvement qui résulte d'une pareille combinaison est analogue à celui d'une vis qui se meut en pénétrant à l’intérieur d'un écrou lixe.

Pour démontrer ce théorème, et donner en même temps un moyen de construire l'axe de la vis dont il s'agit, considérons dans notre solide trois points quelconques non en ligne droite, formant un système invariable.

Soient A, B, C les trois points choisis : menons par un point arbitraire O {Jig- 102) des droites O a, O h, Oc, respectivement égales et parallèles aux vitesses des points A, B, C; abaissons du point O une perpendiculaire sur le plan du triangle abc , et joignons le pied P de celle perpendiculaire aux trois sommets de ce triangle. On peut regarder la vitesse O a comme la résultante de deux vitesses représentées en grandeur et en direction par les droites OP, Pa; on peut de même remplacer O b par OP et Vb, Oc par OP et Pc.

mun à toutes les parties du corps et parallèle à l'axe (le rotation qui passo par le rentre de gravité, et l'autre est une rotation autour d'un axe parallélo à celui-là : axe dont il déterminé la position et qu’il appelle axe spontané de rotation.

* M. Cauchy a aussi considéré le mouvement infiniment petit d'une fi (pire de forme invariable sur le plan et dans l'espace, dans un Mémoire intitulé : Sur les mouvements que peut prendre un système invariable , libre, ou assujetti à certaines conditions ( Exercices de Mat hématiques, X. Il, année 1837, p. 70-90). C’est du principe des vitesses virtuelles qu’il conclut le centre instantané de rotation d'une figure plane qui glisse sur son plan, puis, après d’assez longs calculs, le théorème sur l’axe justantané de rotation d'un corps qui éprouve un déplacement infiniment petit dans l’espace; théorème qu’il énonce en ces termes ï

» Quelle que soit la nature du mouvement d un corps solide, les relations existantes entre les différents points seront toujours celles qui auraient lieu si le corps était retenu de manière à pouvoir seulement tourner autour d'un axe fixe, et glisser le long de cet axe .

» M. Cauchy s'arrête à ce résultat final, sans chercher aucune des propriétés qni peuvent sc rapporter à cette belle question.... »

Parmi les propriétés du mouvement hélicoïdal, nous citerons seulement les suivantes, qui sont susceptibles de nombreuses applications géométriques.

Les plans normaux aux trajectoires des divers points d un plan mobile pas sent tous par un même point du plan .

Ce point , ou forer , a sa trajectoire normale au plan .

La caractéristique du plan ( c’est-à-diro l’intersection de ce plan avec sa position infiniment voisine ) eu le lieu des points dont les trajectoires sont contenues dans le plan lui-même; elle est parallèle à la projection de Vaxe de