CHAPITRE III. — MOUVEMENT d’un CORPS SOLIDE. l

Cela posé, concevons des axes animés d’un mouvement de translation dont la vitesse soit égale et parallèle à OP. Relativement à ce système d’axes, les vitesses P a, P b, Pc, des trois points A, B, C sont parallèles au plan abc ; donc le mouvement relatif du triangle ABC, et par suite celui du solide lui-même, est une rotation autour d'un axe instantané : axe qu’on détermine par les règles relatives au mouvement d’un corps parallèlement à un plan. Cet axe est parallèle à OP, c’està-dire à la direction de la translation.

Tous les points de la ligne que nous venons d’apprendre à construire n’ont d’autre mouvement qu’une simple translation le long de l’axe lui-même; c’est-à-dire que cette droite, après un mouvement infiniment petit du solide, sc retrouve dans la même position géométrique. Elle n’est pourtant pas restée immobile, mais elle n’a fait que glisser sur elle-même : nous lui donnerons le nom d’axe instantané de rotation glissant. On l’appelle également axe central (*).

r ht U coi de sur le plan, et perpendiculaire à la ligne qui joint le foyer à la trace de /* axe sur ce même plan .

Soient h le pas de l’héliçoïdc (ce pas est négatif pour un hcliçoïdc dextror surn, d’après nos conventions sur la manière de fixer le signe d’une rotation), 0 l’angle de la normale au plan avec l’axe, a et b les distances respectives du foyer et de la caractéristique à la projection de cct axe sur le plan; on a

a = — — tnng£>» £=— cot0.

J ÎT M 3 ït

Le produit de ces deux distances est indépendant de l’inclinaison du plan.

Le foyer d'un plan parallèle a taxe est h rinfnl. Il suit de là que les vitesses de tous les points d’un pareil plan sont parallèles à un autre plan, lequel est perpendiculaire nu premier.

Réciproquement : si les vitesses des divers points d’un plan P sont parallèles à un même plan perpendiculaire à P, l’axe central est parallèle au plan P, et même a la caractéristique de ce plan.

Voici une conséquence curieuse de ces théorèmes. Considérons dans un solide en mouvement une figure quelconque, tracée dans un plau parallèle à l’axe instantané glissant : les vitesses de tous les points de cette figure seront parallèles à un même plan, sans que le mouvement de la figure soit réductible à une rotation perpendiculaire à ce plan. (Consulter diverses communications de M. Chasles à l’Academie des Sciences, t. WI, LI, LH des Comptes rendus .

(*) Il existe une droite douée de propriétés analogues, pour un déplacement fini quelconque d’un solide invariable; et l’on peut énoncer le théorème suivant :

TutofitjiE. — Si l'on considère un même corps solide dans deux positions

l36 PREMIÈRE SECTION. CIKÊMATIQLE Pl'RE.

La démonstration élémentaire par laquelle nous venons d'établir l’existence de l'axe central, ainsi que la construction de cet axe qui s’en déduit, est due au général Poncelet.

La construction suivante, que j’emprunte à M. Chasles, est un peu moins simple, mais elle offre une analogie complète avec la construction du centre instantané de rotation d'une figure mobile dans un plan : en ce sens qu’elle exige seulement qu'on connaisse les directions de trois vitesses AA', BB', CC'.

Soit 1 l’intersection commune des plans normaux aux trajectoires des points A et B; la droite sur laquelle se mesure la plus courte distance des droites, à et AB, rencontre l’axe central et lui est perpendiculaire.

Les deux points A et C donnent lieu de même à une autre droite qui rencontre l’axe instantané et lui est perpendiculaire. Ces deux droites déterminent l’axe cherché, qui n’est autre que la droite sur laquelle se mesure leur plus courte distance.

Scolie. — Si les points a, h, c, sont en ligne droite, notre première construction est en défaut, car le plan abc n’est pas déterminé.

II faudra donc, pour appliquer cette construction, prendre trois points A, B, C, dont les vitesses ne soient pas parallèles à un môme plan (*).

Remarques sur le mouvement infiniment petit d'un corps solide.

I. — Trois droites données quelconques On, O b, Oc ne peuvent généralement pas être considérées comme, les vitesses de trois points pris arbitrairement, et constituant un système invariable.

différentes quelconques, il y a toujours dans ce solide une droite dont la position n’a pas changé , de sorte quon peut concevoir que le solnle passe d" un lieu à Vautre par un mouvement hélicoïdal autour de cette droite comme axe.

(Ciiaslf.s.)

Cette droite s'appelle l’a.re centra î des deux positions du solide, quelle quo •oit la grandeur du déplacement considéré.

(*) Quand il n’est pas possible de satisfaire à cette condition, c'est-à-diro quand les vitesses de tous les points du solide sont parallèles à un même plan, on sait que le mouvement se réduit à une rotation autour d’un axe perpendiculaire à ce plan.

CÎ1ANTRE III. MOUVEMENT d’CN CORPS SOUDE. l3s

Il existe certaines relations entre les grandeurs et les directions de ces vitesses, et les longueurs des côtés du triangle ABC, mais je ne puis insister davantage sur ce sujet.

II. — Quels que soient les points du solide que l'on choisisse pour les employer à la détermination de l’axe instantané, la direction de cette ligne, ainsi que la grandeur do |:i vitesse de glissement, ne sauraient être altérées. Doue, si par un point quelconque O on mène des lignes égales rt parallilrsjtux vitesses des divers points d'un solide en monvenient, les extrémités de ces droites sont toutes situées dons un même plan, normal à l'axe instantané glissant.

III. — Menons du point 0 à ce plan une oblique quelconque 0I\, au lieu de lu perpendiculaire OP, nous punirons de même décomposer la vitesse d’un point quelconque en deuxautres, dont l’une soit représentée par OP, ; les deuxièmes composantes seront toutes parallèles au plan abc.

Si donc nous considérons trois axes animés d’un mouvement de translation dont la vitesse soit égale et parallèle'» OP,, le mouvement relatif à ees axes sera encore une rotation perpendiculaire au plan abc-, mais la translation ne sera plus parallèle à l’axe de cette rotation.

On voit que, dans les diverses manières de décomposer le mouvement d'un système invariable en une translation et une rotation, la direction de la translation est arbitraire, taudis que celle de la rotation est déterminée.

Mouvement Jini d'un solide invariable.

Ce mouvement fini, si on le rapporte à trois a\e> de direction invariable, passant toujours par le même point du corps, est celui d’un cône mobile, roulant sans glisser sur un autre cône de même sommet, lequel est relativement fixe.

En se figurant ce dernier cône animé du mouvement de translation des axes, pendant que le cône lié. au corps roule sur lui, on aura l’image du mouvement.

Mais il me semble que cette image n’est peut-être pas suffisamment nette; de plus, un même mouvement est susceptible d’une infinité de représentations de ce. geme, selon qu’on prendra tel ou tel point du solide pour origine des axes mo-

biles. Au contraire, l'axe de rotation glissant est unique; et H est naturel de s’appuyer sur cette propriété pour chercher à se faire une idée simple du mouvement.

Pour cela, considérons, avec le général Poncelet (*), l’en- » semble de toutes les positions successives de l'axe central, pour un mouvement Dni quelconque. Ces droites forment une surface réglée dans le corps, et une autre dans l’espace. L’axe central actuel se trouve à la fois sur la surface mobile et sur la surface fixe; d’ailleurs toutes les génératrices de la première viennent l’une après l’autre s’appliquer sur celles de la seconde, pour jouer à leur tour le rôle d’axe instantané.

Or, au moment où la rotation autour d’une génératrice commune amène les deux génératrices suivantes à coïncider, les surfaces dont nous parlons ont deux génératrices communes, et par conséquent elles sont tangentes dans toute l’étendue de l’élément gauche correspondant.

Il suit de là que le mouvement du corps est celui d'une surface réglée, liée à ce corps, sur une autre surface réglée fixe à laquelle elle est tangente suivant toute une génératrice, et sur laquelle elle roule en glissant le long de celle génératrice.

Le rapport du glissement à la rotation, c’est-à-dire le pas de la vis qui nous donne l’idée du mouvement élémentaire du corps, change en même temps que l’axe de cette vis.

Quelquefois ce pas est nul : et tout se réduit, à cet instant, à une simple rotation sur un axe immobile. Mais, en général, il n’y a dans le corps aucun point dont la vitesse soit nulle, bien qu'il y ait toujours une droite qui conserve, en tant que ligne géométrique, une position invariable pendant un temps très-court.

Digression sur le raccordement des surfaces réglées.

Pour que deux surfaces gauches puissent se raccorder exactement tout le long d’une génératrice commune, il faut et il suffit que le paramètre de distribution des plans tangents, correspondant à cette génératrice, soit le même pour les deux surfaces: on sait que ce paramètre, que je désignerai par la lettre £,

(*) f'oir les Additions aux Éléments de Mécanique de M. Rusai, p. 187.

CHAPITRE III. — MOtJYEHEST d’uX CORPS SOUDE. l3ç» est le rapport de la plus courte distance de deux génératrices consécutives à l'angle infiniment petit formé par ces génératrices.

Le plan tangent en un point situé à une distance x du point central, est déterminé par son inclinaison 6 sur le plan central. Or on a la formule

tang G =

de sorte que, quand on a fait coïncider les points centraux de deux génératrices appartenant à des surfaces différentes, ainsi que les plans tangents correspondants, ou plans cent raux , tous les autres plans tangents des deux surfaces coïncident également, si les paramètres sont égaux.

Considérons deux surfaces, ainsi raccordées suivant la génératrice G [Jig. io3). Les deux génératrices suivantes, G,, g,, se confondent, à un infiniment petit du second ordre près; et, si les paramètres de ces deux génératrices sont encore égaux, on amènera les deux surfaces à se raccorder suivant ces nouvelles génératrices, au moyen :

i® D’un glissement C,c,, égal à la distance qui sépare les deux nouveaux points centraux ;

2 “ D’une rotation représentée par l’angle des plans centraux correspondants.

Le mouvement sera susceptible de se continuer indéfiniment ainsi : les paramètres étant supposés égaux pour toutes les génératrices qui viennent s’appliquer successivement l’une sur l’autre.

Le glissement est nul quand les lignes de striction des deux surfaces coupent les génératrices correspondantes sous des angles égaux. 11 suffit alors d’une rotation autour de la génératrice commune pour transporter le raccordement sur la génératrice suivante : ce qui revient à dire que les deux surfaces sont susceptibles d'élre appliquées, ou développées l’une sur l'autre, sans déchirure ni duplicalure, absolument comme les cylindres ou les cônes sont développables sur le plan.

Supposons en effet que, pendant que la surface mobile tourne autour de g,, pour amener g, sur G,, l’élément (G, g,) reste appliqué sur celui qu’il recouvre actuellement, et ainsi

de suite. Par cette opération qui peut se faire sans déchirer la . surface, simplement au moyen de plis effectués le long de ses génératrices, on l’appliquera exactement sur l'autre surface gauche, tout comme on développe sur un de leurs plans tangents les surfaces communément appelées développables.

Application à l 'hyperboloïde de révolution. — Dans cette surface, le cercle de gorge est la ligne de striction. Pour trouver le paramètre (3, lequel est évidemment constant, considérons deux génératrices infiniment voisines quelconques (Jig. io4). Appelons i l’angle de ces génératrices avec l’axe, ou, ce qui est la même chose, l’angle de la ligne de striction avec la plus courte distance AP des génératrices : on a, pour la longueur de celle plus courte distance,

AP = Alt cos i — Hdx cos »,

en appelant R le rayon du cercle de gorge.

D'un autre côté, si l’on considère le cône directeur de la surface, on voit que l’angle de deux génératrices voisines est égal à rfasini; donc enfin.

R </« cos <’ «asin i

= R col ».

Pour que deux hyperboloïdes de révolution puissent se raccorder, il faut que le produit R col i soit le même pour les deux surfaces; ce produit n’est autre chose, comme on sait, que le demi-axe non transverse de l’hyperbole méridienne.

Lafg. io5 représente deux hyperboloïdes tangents tout le long d’une génératrice commune GG'(*) : nous verrons dans la deuxième section comment on utilise actuellement dans les machines les propriétés de deux solides de ce genre.

(*) Cotte épure a été empruntée, avec l’autorisation de l’auteur, au Traité de Géométrie descriptive de M. de la Gournerie (2 e partie), ouvrage auquel jo renverrai pour toutes les questions relatives aux surfaces gauches.