COMPOSITION DES MOUVEMENTS SIMPLES D’UN CORPS SOLIDE

Nous avons étudie dans le chapitre précédent les divers mouvements simples dont un corps solide est susceptible d'être animé : mouvements qui, pendant un temps infiniment petit, se réduisent nécessairement, ou à une translation, ou à une rotation, ou au mouvement d’une vis dans un écrou, lequel est une combinaison des deux premiers. Nous avons vu comment les données géométriques, qui définissent individuellement ces divers mouvements, varient, en général, dans la suite des temps, et comment on arrive à se faire une idée du mouvement fini qui résulte de la succession de ces mouvements élémentaires. Cherchons actuellement à composer plusieurs mouvements de ce genre.

Définissons d’abord ce que nous entendons par la composition de deux mouvements.

Supposons que nous possédions les lois du mouvement d'un solide, rapporté à trois axes quelconques, et que ces axes fassent partie d'un autre système solide, dont le mouvement nous soit également connu.

Ces données nous permettent de construire la vitesse relative d’un point quelconque de notre solide ainsi que la vitesse d’entrainement correspondante (c’est-à-dire la vitesse du point, considéré comme faisant partie du système emportant les axes mobiles): la vitesse absolue du même point est la diagonale du parallélogramme fait sur les deux vitesses dont il est ici question. Mais au lieu de construire ainsi séparément la vitesse de chaque point, il est plus simple de chercher à définir à la manière ordinaire le mouvement absolu du solide, mouvement en vertu duquel chacun des points qui nous occupent aurait précisément la vitesse que nous venons

de trouver. L'objet de ce chapitre est de donner les règles au moyen desquelles on effectue directement la composition de deux mouvements quelconques.

Si on cherchait le mouvement relatif, connaissant le mouvement réel et le mouvement d’cntralncment, le problème serait absolument identique. En effet, la vitesse relative d'un point s’obtient en composant sa vitesse absolue avec la vitesse d’entraînement prise en sens contraire. On trouvera donc le mouvement apparent du solide en composant le mouvement absolu avec un mouvement égal et de sens contraire au mouvement d’entraînement.

J titre manière d'envisager le problème de la composition des mouvements. — Si l’on se reporte aux premiers éléments de la théorie du mouvement relatif d’un point, on reconnaîtra que le problème précédent ne diffère pas de celui qui consiste à chercher le mouvement unique, capable de remplacer deux déplacements successifs infiniment petits d’un même corps solide: de là une deuxième manière de définir la composition de deux mouvements.

Souvent dans ce système on considère les deux mouvements composants comme simultanés, ce qui ne veut rien dire, à proprement parler. Cette locution s’explique en ce sens, que des mouvements infiniment petits successifs peuvent sans inconvénient, au point de vue de l'application du calcul, être considérés comme s’effectuant simultanément.

On peut en effet, dans la détermination du déplacement infiniment petit d’un corps solide, supposer que le corps au lieu de partir de la position donnée, parte d’une position infiniment voisine de celle-ci : les variations des coordonnées de chacun des points du corps, ainsi calculées, ne différeront pas de celles qu’on cherchait. Si donc on doit faire éprouver successivement à un corps un nombre quelconque de déplacements infiniment petits, on pourra supposer chacun d’eux effectué à partir delà position primitive du corps, comme si ces déplacements étaient en réalité simultanés; et la somme totale des variations des coordonnées de chaque point, calculée dans cette hypothèse, sera égale à celle qui résulterait des mouvements opérés les uns à la suite des autres, et dans un ordre quelconque.

CfUPlTRE IV. — COMPOSITION DES MOUVEMENTS d'üN SOLIDE. l43

§ XII. — Composition et décomposition des translations.

Si les deux mouvements qu’on demande de composer sqnt deux mouvements de translation, la vitesse relative OA (fig. 106) est constante à un instant donné en grandeur et en direction, quel que soit le point considéré; et il en est de même de la vitesse d’entratnement OB.

Donc la vitesse résultante OC est également constante, en grandeur et en direction, pour tous les points du système solide qui nous occupe; c’est-à-dire que le mouvement compost de deux translations est lui-même un mouvement de translation, dont la vitesse est la résultante des vitesses des deux mouvements composants.

Ce théorème est vrai, quel que soit le nombre des transla- • lions à composer. On pourra donc, tout comme dans le cas où il s'agissait des vitesses d’un point unique, remplacer autant de translations qu’on le voudra par une seule. Inversement, on peut décomposer une translation donnée en trois autres, parallèles respectivement à trois axes rectangulaires ou obliques.

Les formules qui résolvent analytiquement les problèmes relatifs à la composition et à la décomposition des translations sont celles que nous avons données ( p. 3 7 ), et qu’il est inutile de transcrire ici.

§ XIII. — Composition et décomposition des rotations.

Supposons maintenant que le mouvement relatif d’un so- ’ lide se réduise à une rotation O Q (*), et que l’axe OQ, relali-

(*) Remarquons à cet égard quo pour définir une i dation relative, il ne au fii t pas do donner la ligne autour de laquelle s'elTeetue cette rotation, ainsi que la vitesse angulaire et le sens du mouvement : il est indispensable d’indiquer le système des trois axes mobiles, par rapport auxquels le corps est anime de la rotation dont on veut parler. Supposons en effet qu’un de ces axes soit l’axe OQ de la rotation relative : si les deux axes, qui sont perpendiculaires à celui-ci, tournent eux-mèmes aussi vile quo le corps et dans le même sens, il est clair que la rotation apparente sera nulle; et, en général, selon qu’on fera tourner ces axes autour de OQ plus ou moins rapidement que le corps mobile, la rotation apparente se trouvera positive ou négative.

Cette rotation est donc absolument indéterminée, tant que le système do comparaison n'est pas suffisamment défiai.

1 4'î IRfMli.Hr SECTION. CINÉMATIQUE PUBE.

ventent immobile, fasse partie d'un système qui tourne luimême aiiiou i d'un ave U' P [fig. 10;), fixe d’une manière absolue.

Proposons-nous de composer ces deux mouvements, en commeueant par I'- cas où l'axe de la rotation relative et celui de la rotation d’entrainement sont contenus dans un même plan.

Composition Je Jeux rotations Jont les axes se rencontrent.

Soit ’Jig. mj.s un corps solide animé de deux rotations simultanées, autour des axes OP et OQ, qui se rencontrent en O. Les deux composites de la vitesse du point d'intersection des doux axe- sont ouïtes : par suite le mouvement composé est une rotation autour d'un axe qui passe par ce point O. Pour déterminer la direction de cet axe, il faut trouver un deuxième point dont la vitesse soit nulle.

Or, j>‘ dis il abord que ce point doit être cherché dans le plan POQ.

En effet, le? deux composantes de la vitesse d’un point situé bor- «fo ce plan ne sont pas dirigées suivant une même droite : rl U*!* ne peuvent donc se détruire; cl l’axe de la rotation composée ne saurait être en dehors du plan des deux rotations données.

Cela posé, soient m un point pris dans l'intérieur de l’angle des «leux axe-, x et y les distances du point m aux lignes OP et OQ : les deux composantes de la vitesse de ce point sont pet pendit nb.ii es au plan POQ; elles sont de sens contraire, comme m. le voit aisément en se reportant à nos conventions relatives aux sens des rotations; enfin elles ont pour valeurs absolues respectivement px et qy, p et q étant les vitesses angulaires données, il suit de là que le point ni restera fixe, si l'on a la relation

px = qy.

Celle équation déterminé la direction de l’axe cherché, laquelle est celle île la diagonale du parallélogramme construit sur les deux lignes OP et OQ, qui représentent à une échelle convenue les vitesses angulaires des deux rotations composantes.