CHAPITRE I. MOUVEMENT SIMPLE o’liN POINT

du mouvement uniforme qu'on peut toujours considérer, pendant un temps iniinimcnt petit, comme identique au mouvement étudié.

Ainsi se trouve généralisée notre définition de la vitesse dans le mouvement uniforme. Analytiquement, la vitesse est la dérivée de l’espace par rapport au temps; géométriquement, c’est le coefficient angulaire de la tangente à la courbe des espaces : on la construit en prenant parallèlement à l’axe des temps une longueur ma égale à une seconde, puis menant la perpendiculaire pv, limitée à la tangente au point ni.

C’est de cette manière qu’on détermine à chaque instant la vitesse d’un mobile dont le mouvement a été observé directement et réduit en tables. 11 faut alors passer par l’intermédiaire de la courbe des espaces, et opérer comme précédemment.

Quelquefois on se dispense de construire cl la table et la courbe, en obligeant le mobile à tracer lui-même celle dernière automatiquement.

Nous reviendrons sur les divers procédés fort ingénieux au moyen desquels on oblige un mobile qui, par sa grande vitesse, semble se dérober à nos observations, à écrire luimême les lois de son mouvement dans le langage dont je viens de vous donner la clef. Je me contenterai pour le moment de citer, cbmme exemple de cette méthode expérimentale, la détermination des lois de la chute des graves au moyen de l’appareil que le général Morin a fait construire, d’après les indications du général Poncelet.

Le corps qui tombe est armé d’un crayon, et marque sa trace sur une feuille de papier qui se déplace horizontalement, par l'effet d’un mouvement d’horlogerie, de manière à présenter à chaque instant, en regard de la verticale de chute, des verticales dont les distances sont proportionnelles au temps. Habituellement, pour plus de commodité, la feuille de papier est enroulée sur un cylindre; en la développant sur un plan, on obtient la courbe des espaces.

Courbe des vitesses. — Il résulte de ce qui précède que, dans le mouvement varié, la vitesse est une fonction du temps l, fonction dont on sait trouver la valeur à chaque instant quand on connaît la loi du mouvement. Il est naturel de représenter

l'REMîii&K SECTION. CINÉMATIQUE PURE.

aussi celte fonction c par une courbe; et ceci nous procurera des avantages du même ordre que ceux qui résultent de la considération de la courbe des espaces.

Pour construire la courbe des vitesses, connaissant la courbe des espaces mm, ni, (fig. 7), nous déterminerons, comme nous l’avons indiqué, la vitesse. <xv correspondante au point /« de la courbe mm,, ou au point M de la trajectoire; nous porterons ensuite la longueur pv sur l'ordonnée du point p, en faisant bien attention au signe; et nous aurons ainsi autant de points que nous le voudrons de notre courbe des vitesses.

Réciproquement, connaissant cette courbe des vitesses, on peut en déduire la courbe des espaces : soit analytiquement, en intégrant l’équation

(3) ds = <><//,

soit graphiquement, par une quadrature.

Mais, pour que le problème soit déterminé, il faut qu’outre la courbe des vitesses on donne un premier point de la courbe des espaces cherchée, afin qu’on puisse trouver la valeur de la constante arbitraire introduite par l’intégration de l’équation (3), équation dont on peut mettre l'intégrale sous la forme

Soit m* ce premier point de la courbe {/‘g. 8) : pendant le temps ilt, l’accroissement ils de l'ordonnée est égal à vdt, c’esl-à dire 3u petit rectangle n, p,, dont la base est égale à dt, cl la huulcurà la vitesse v. Ayant pris q,m, égal à ce rectangle, nous prendrons de même q,m , = n,p,; enfin un accroissement fini quelconque qm sera représenté par l’aire correspondante n,npp,, qui est la limite de la somme de ces rectangles ( * ).

Quand on ne saura pas calculer exactement l’intégrale défi-

vdt, ce qui arrivera, par exemple,

toutes les fois que

(*) Les temps, c'est-à-dire l’une des dimensions des aires dont nous parlons, devant être considérés comme des nombres abstraits, on voit qu’en definitive chacune de ces aires représente un nombre de mètres, c’est-à-dire une longueur.