OO

Une remarque très-importante à faire, c’est que, si l’on suppose que la force motrice constante, après avoir anéanti complètement la vitesse initiale du corps, continue à agir en lui imprimant à chaque instant des degrés de vitesse égaux à ceux qu’elle avait détruits d’abord, le corps retournera dès-lors en arrière , en reprenant les mêmes vitesses quand il repassera par les mêmes positions. C’est ce qu’indique la ligne ü'e, en supposant que les temps soient comptés à partir de e vers O , c’est-à dire de l’instant où le mouvement du corps est éteint; caria force motrice, qui est devenue accélératrice, aura imprimé , en sens contraire, la vitesse dd' au bout du temps etl , 1^ vitesse «/au bout du temps ec , etc.

Des lois du mouvement 'vertical des corps pesons.

I 1 3 . Causes qui influent sur le mouvement des corps dans l’air. L’un des exemples les plus imporlaus du mouvemei\£ uniformément accéléré, est celui que nous présente la chute des corps pesans, suivant la direction de la verticale ou de l'aplomb. Mais, avant de l’exposer, faisons connaître, les circonstances qui , à la surface de la terre , accompagnent et modifient ce mouvement.

Déjà nous avons vu (61) que la pesanteur pouvait être considérée cÔmme une force sensiblement constante dans l’étendue ordinaire des travaux de l'industrie. Ma is, à la surface de notre globe, tous les corps sont plongés dans l’air, et cet air est lui-mème (3 et 4) un corps matériel qui les presse de toutes parts (37), et cfui , en vertu de son inertie, de son impénétrabilité, s’oppose avec plus ou moins d’énergie, à toute espèce de mouvemen^(66). Nous avqns vu (41 ) que l'effet de la pression de l’air, sur les corps solides, se réduit sensiblement à diminuer le poids de ces corps d’une quantité égale au poids du volume du fluide qu’ils déplaçent; de sorte que cette diminution est d'autant plus sensible que, à égalité de volume d’un corps, son poids est moindre. Quant à la résistance que l’air oppose au mouvement des corps, en vertu de son inertie et de sa force de ressort ( 63 ) , l’expérience apprend que cette résistauce varie selon l’étendue et la forme de la surface extérieure des corps ; mais surtout selon la rapidité plus ou moins grande du mon— , vement. — En frappant l’air avec une palette plane et mince, la résistance qu’on éprouve est d’autant plus grande que la vitesse du mouvement est plus considérable , tandis qu’elle est à peiuc sensible quand le mouvement s’opère avec lenteur. Si au lieu de. frapper l'air avec toute la surface du plan delà palette, on fait mouvoir cette palette de biais, la résistance. est moindre à vitesse égale, et elle est la plus petite possible quand on oppose tout- à- fait le chan ou le. côté mince de la palette à l'action de l’air; c’est-â-dire quand on dirige sa face plane dans le sens même du mouvement.

Des choses analogues se passent à l’égard de tous les corps qui se meuvent dans l’air; et l’on observe que la résistance croit généralement 1 0 avec l’étendue de la surface

antérieure des corps , de celle qui se présente directement à l’action de l’air ; 2 0 avec la difficulté plus ou moins grande que, par suite de la forme même de ces corps, l’air éprouve ' à glisser le long de leur surface, à se dévier ou à leur taire place; 3° avec la grandeur de la vitesse qu’ils possèdent, et cela dans un rapport aui croit beaucoup plus rapidement que cette grandeur , et qui surpasse même un peu son carré.

1 1 4* Chute verticale des corps dans l’air. On conçoit, d’après tout ce que nous venons de dire, que la présence de l’air doit apporter des modifications, plus ou moins sensibles, aux lois de la chute verticale des corps qui sont abandonnés librement à l’action de la pesanteur; et l'on peut même prévoir à l’avance et expliquer une infinité de faits 'que l’expérience journalière confirme; tels que l’ascension spontanée ou 'naturelle (41) de certains corps, leur équilibre à une certaine hauteur dans l’atmosphère , la chute plus ou moins rapine des corps solides, etc. — En laissant tomber, dans l’air et d’une même hauteur, des corps solides, on observe, en effet, que ceux qui pèsent plus sous le même volume, ou qui sont les plus denses (33), ceux qui présentent le moins de surface à l’action directe de l’air et dans le sens du mouvement, sont aussi ceux qui arrivent les premiers au bas de leur chute. Ainsi une balle de plomb pleine tombe plus vite qu’une balle de plomb creuse ou qu’une balle de bois pleine , égale en grosseur , en diamètre ; celle-ci tombe aussi plus vite qu'une balle de liège, etc.; crffin, un même poids de la même substance peut aussi tomber, plus ou moins vite, selon que cette substance est plus ou moins compacte, moins ou plus divisée. La raison en est toute simple: dans le premier cas, la diminution du poids des différens corps et la résistance de l’air sont les mêmes pour chacun d’eux, tandis que (35 et 41) leurs poids absolus , leurs poids dans le ,vide qui mesurent véritablement l’énergie de la pesanteur sur chacun d'eux sont trèsdifférens; dans le second cas, au contraire, le poids absolu reste le même, mais la diminution de ce poids, résultante de la pression de l’air, et la résistance que cet air occasionne sur la surface extérieure des corps , est aussi moins forte pour les corps compacts que pour les autres.

lia. Chute dans le vide , mode d’action de la j>esan-

teur. Si l’on faisait tomber les cerps ci-dessus dans un espace entièrement vide ou privé d’air ,. chacun d’eux, en descendant toujours de la même hauteur, arriverait nécessairement

en moins de temps ou plus vite au bas de sa chute ; car l'action de la pesanteur conserverait alors toute son intensité. L’expérience qui confirmerait un tel aperçu n’aurait donc rien qui dût nous surprendre ; mais il n’en serait pas de même si elle nous apprenait que les corps tombent tous également vite d’une même hauteur; car nous sommes naturellement portés à croire que les corps qui ont plus de poids, étant sollicités avec une force plus énergique, doivent aussi acquérir un degré de vitesse plus grand; nous ne faisons pas attention , en effet, que la pesanteur a aussi plus de matière à mettre en gouvernent, dans le premier cas que dans le second , de sorte que la résistance de l’inertie (66) est réellement plus grande.

Or c’est ce que les physiciens ont constaté en faisant le vide (36) dans un grand tube de verre.(Pl. I, Fig. 3o), après y avoir préalablement introduit des corps solides de diverses espèces, depuis les plus légers jusqu’aux plus denses: ces corps parvenaient tous à la fois au bas de leur chute, quand, par un moyen quelconque et facile à imaginer, on les lâchait en même temps et de la même hauteur. Ils ont, de plus, remarqué que ces corps tombaient dans le même ordre, et conservaient les mêmes distances respectives dans toute la durée de leur chute; ce qui prouve que la pesanteur- leur imprimait, àchaque instant, le même degré de mouvement; nous pouvons donc admettre, comme parfaitement démontré, ce principe général qu’il est important de retenir:

Iai pesanteur ou gravité agit indistinctement sur toutes les particules de la matière quelle qu'en soit la nature particulière , et leur imprime , à chaque instant , le même degré de vitesse dam le meme lieu et dans le vide.

On s’assure d'ailleurs très-simplement que la pesanteur agit aussi bien sur les molécules intérieures des corps que sur celles du dehors , en observant qu’un même corps pèse également à l'air libre ou placé dans l'intérieur d’un autre corps, par exemple , dans une chambre, dans un boite ; ce qui ne peut avoir lieu qu'autant que l’action delà pesanteur se fasse sentir à travers la matière même de cette chambre, de cette boîte.

On voit aussi que le poids absolu des corps n’est autre chose que le résultat de toutes les petites actions réunies de

la pesanteur sur les molécules matérielles de ces corps. 11 ne faut donc pas confondre le poids avec la pesanteur , qui est véritablement la force élémentaire qui sollicite ces diverses molécules à se mouvoir avec le même degré de vitesse.

I IO. Expérience sur la chute des corps. Nous venons de voir que les corps les plus denses tels que l’or, le plomb, le cuivre, sont ceux qui , à égalité de surface, tombent le plus vite dans l’air, parce que la résistance est alors très faible par rapport au poids total du corps. Mais, quand la hauteur de chute ne surpasse pas 5 mètres , par exemple , on trouve, par l’expérience, que des ballès de ces diverses substances tombent dans le même temps, et qu’elles ne tombent même guères plus vite que des balles de marbre et de cire, égales en yolume , dont le poids est 7 fois, 20 fois moindre. Or cela prouve évidemment que la présence de l’air exerce réellement , pour de petites chutes, une influence peu sensible sur le mouvement de ces corps; de sorte qu’on peut trèsbien admettre, par exemple , que la loi que suit là balle d’or, en tombant, dans l’air, d’une hauteur moindre que 5 mètres, est, à très peu de chose près, la même que celle qu’elle suivrait si elle tombaitde cette hauteur, dans un espace entièrement vide. , t

Galilée , célèbre physicien italien , qui a le premier découvert cette loi par des expériences directes et suffisamment précises, a trouvé que le mouvement vertical des corps était véritablement un mouvement uniformément accéléré. La pesautcur est donc (107) une force accélératrice constante ,. et qui agit avec une intensité égale, à chaque instant et quelle que soit la vitesse déjà acquise parle corps. Athowd, physicien anglais, en reprenant depuis les expériences de Galilée avec des moyensplus ingénieux et plus perfectionnés, a obtenu les mêmes résultats. Nous pouvons donc énoncer les principes généraux qui suivent (ioy).

II 7 * Lois de la chute des corps dans le vide . Lorsqu’un corps tombe verticalement et d’une certaine hauteur, dans le vide,

i°. Les vitesses acquises aux divers instans, sont proportionnelles aux temps écoulés depuis le commencement de la chute.

a 0 . Les espaces totaux parcourus aux mêmes instans, ou

les hauteurs de chute , sont proportionnels aux carrés des temps écoulés ;

3 ° Ces mêmes hauteurs sont proportionnelles aux carrés des vitesses acquises au bout de chacune d’elles /

40 La vitesse acquise , au bout d'un certain temps , est double de la hauteur de chute déjà parcourue avant cet instant.

Pour le point du globe où nous nous trouvons , le cliemin décrit au bout de la première seconde, est égal à 4”, 9044; donc la vitesse acquise au bout de ce temps, est 2 fois 4“, 9044 ou 9“, 8088. Cette dernière vitesse est ordinairement représentée par g dans les traités de Mécanique : ainsi g , =9°\8o88 : c’est la connaissance de cette grandeur qui sert à calculer (110) toutes les circonstances du mouvement accéléré des corps tombant d’une certaine hauteur dans le vide , ou des corps très denses tombant d’une petite hauteur dans l’air. .

1 18. Formules et applications. Ordinairement on re-

f irésente par la lettre A ou H , la hauteur, en mètres, d’où e corps est tombé à un certain instant; en nommant toujours T le temps employé , par ce corps , à décrire le chemin vertical H , ou à tomber de H , et V la vitesse qu’il a acquise à la fin de ce temps, on aura, d’après ce qu’on a trouvé ( 1 10) pour le mouvement uniformément accéléré en général ,

H=AVXT, H=ijXT’ , V-= ÎS XH, V=gX T, *=9-, 8088,

formules très fréquemment rappelées en Mécanique , et d’un grand usage pour calculer les circonstances de la chute des corps pesans.

Supposons qu’on veuille trouver la vitesse acquise V, et le chemin II décrit au bout de 7* de chute; T représentant ici les 7", on auraV=£’ XT=Q m ,8oqX 7— 68", 66 environ,

Si i on se donnait seulement la hauteur H de chute, on calculerait la vitesse acquise , au bas de cette chute , au moyen de la relation V^ag'XH. Supposons , par exemple, que II=io“, on aura V’=i9*,6 176 X io“=C9b', 176 mètres carrés; et il ne s’agirait que de trouver la racine carrée de 196,176, ou le nombre qui, multiplié par lui-mème, donnerait cette quantité. Or cette racine est ici 14“ environ, puisque 14X4 ou 14’ ==(96.

Pour montrer une nouvelle application des principes ci-

go MÉCANIQUE INDUSTRIELLE,

dessus, nous supposerons que deux corps differens tombent verticalement d'un même point A (PI I, Fig. 3i), où ils étaient d’abord au repos, mais ne tombent que l'un après l'autre, et à un intervalle de temps qui soit seulement de 7^; de seconde on o",oi . Cela posé , nous nous demanderons à quelle distance A'B' se trouveront ces deux corps à la ün de la première, de la deuxième seconde, écoulées depuis l'instant du départ du second corps.

Puisque ce corps ne part, du point A , que o",oi après le premier, il en résulte que celui ci aura déjà parcouru un certain espace AB avant l'instant où l’autre aura été lâché de A ; cherchons d’abord cet espace au moyen de la formule H == ±g\ *—4 m , 9044 XT 1 (''#). Ici T=o",oi; donc H =4 m ,9°44 X°i° 'X«.o 1 = V°. 9 a 44 X °.° 00 1 = o“, 00049 ; c’est-à-dire que .la distance AB , entre les deux corps, n’est pas même de 7 millimètre. y»

Cherchons maintenant à quelle distance A'B' se trouveront , l'un de l’antre, les mêmes corps, à l'instant où une seconde entière se sera écoulée depuis l'instant du. départ du deuxième corps; et, pour cela, calculons séparément les chemins A B', AA' décrits par chacun de ces corps, à

{ >artir du point A , en observant que, puisque la durée de a chute AA' du second corps est de 1*, celle de la chute AB' du premier est i"-t- o",oi = i",oi ; on aura l'espace A A'=r4 m ,9044 X |M X l " = 4”'9°44» et l’espace AB' = 4", 9044 X 1 ' X ' >° 1 — 4 m >9°44 X 1 .0201 — b m ,oo3 ; donc

l’intervalle A'B' on AB' — AA'= 5“,oo3o — 4“, 9044 = o^jOgSb ou environ io c "“.

A la fin de la deuxième, delà troisième seconde de chute ^ les deux corps seraient déjà à une distance, l'un de l’autre, de près de ao, de 3o cent. , etc.

Ces résultats expliquent très bien pourquoi les jets (Veau des jardins, des pompes à incendie, qui s’élèvent verticalement, ou sous une certaine inclinaison , en filets compacts et continus, retombent, an contraire, en se divisant en gouttelettes, en pluie plus ou moins fine; car la résistance de l'air, loin de séparer les parties, comme on pourrait le cixiire d'abord, tend au contraire à les réunir en dimi-r nuant la rapidité du mouvement de celles qui redescendent les premières. C’est aussi là l'explication très- simple dè l'effet si connu des cascades naturelles , dont l’eau, en se précipitant da . haut des montagnes, se divise en une pluie

Préliminaires. gi

téllcment fine qu'elle ressemble à nn véritable brouillard. Nous verrons, par la suite , que de telles remarques ue sont pas seulement un objet de curiosité, mais qu’elles peuvent aussi recevoir des applications dans les arts.

119* Observations diverses. L’opération , par laquelle il s’agit de trouver la vitesse V, acquise à la fin de la chute verticale d’un corps, au moyeu de la hauteur H de cette chute, se reproduit très-fréquemment dans la Mécanique pratique; aussi a-t-on construit des tables exprès, qui fournissent immédiatemefrt la vitesse répondant à une hauteur 1 donnée : nous les ferons connaître lorsqu'il sera question des lois de l’écoulement des fluides.

Gn dit ordinairement que la vitesse V est due à la hauteur H, et réciproquement que cette hauteur est due à la vitesse V, expressions abrégées qu’il est essentiel de retenir.

Enfin on devra se ressouvenir que, dans l’air, les corps ne tombent pas réellement avec la vitesse qui répond aux données du calcul ; mais que cette vitesse et les autres circonstances du mouvement different très- peu des véritables , dans les cas qui ont déjà été spécifiés plus haut (1163. Nous ferons d’ailleurs connaître, à la fin de ces préliminaires, les moyens par lesquels on peut calculer exactement le mouvement des corps qui tombent ou s’élèvent verticalement dans l'air ; et, en les appliquant à la théorie des parachutes et des ballons, nous démout reronsaiusi l’utilité immédiate des principes de la Mécanique.

120. Ascension verticale des corps pesons. Lorsqu’un corps , une balle de fusil par exemple , est lancé , de bas en haut , selon la verticale , la pesanteur agit, à chaque instant, avec la même intensité , pour diminuer, par degrés égaux, la vitesse primitive; le mouvement sera donc uniformément retardé , et, d’après ce qui précède ( 1 1 2), la vitesse finira par s’éteindre, quand lecorpssera arrivé à une certaine hauteur, puis il redescendra, en vertu de l’action delà gravité, en reprenant tous les degrés de vitesse- qu’il possédait en montant et pour les mêmes positions. Ainsi à i“, à a m , à 3 m au-dessus de terre, le corps possédera exacîemeutles mêmes vi tesses, soit dans l'ascension, soit dans la chute ; il u’y aura que-la direction, du mouvement de changée : par exemple, lors de s» chute ou.de sonretour au point de départ, 1» pesanteur lui

aura précisément restitué la vitesse qu’il (tvaitprimitivcmcnt. Nommant U la plus grande élévation à la quelle il soit parvenu, et V cette vitesse, ou aura donc V’=2g H ; d'où il sera facile de déduire H quand on aura V, et réciproquement , ainsi qu'il a été expliqué ci-dessus(i 18).

Ou pourra d'ailleurs calculer toutes les autres circonstances de l’ascension verticale du corps, par les méthodes du N° lia; mais il ne faudra pas oublier, je le répète, que les résultats, ainsi obtenus, supposent que l'air n'existe pas ou n’exerce aucune inllueucc sensible sur le mouvement. Car, dans la réalité, les corps montent à une hauteur un peu moindre que celle qui répond ou est due à leur vitesse initiale , et, déplus, en retombant, ils acquièrent une vitesse un peu moindre que celle qui est due à la hauteur réelle de leur chute ou de leur ascension.

Force vive , masse et quantité de mouvement des corps.

I 2 1 . l'ravaïl relatif à la vitesse de chute des corps. Nous pouvons maintenant apprécier la quantité de travail ou d’action que dépense la pesanteur pour engendrer une certaine vitesse dans un corps, ou pour vaincre l'inertie de ce corps. Nommons, en effet , P le nombre des kilogrammes quepèse le corps, c’est-à-dire l’effort total (60 et 1 1 53 que la pesanteur exerce sur ce corps, et qu’il faudrait employer pour le soutenir à une certaine position ; ce sera aussi la mesure de l’effort constant exercé sur le corps pendant sa descente delà hauteur H. La quantité de travail développée par la pesanteur et consommée par l’inertie (66), pendant cette chute, sera donc représentée (78) par le produit PXH'i e t cette quantité de travail aura engendré , dans le corps, la vitesse V calculée (1 1 8) par l’équation V*= 2 g H. Mais, si l’on divise le produit 2 g X H ou V’ par l’un de ses facteurs a g,

on aura l’autre H =— ; et par conséquent, PXH est 1® même

chose que PX“~ ou î^X V*.

Ainsi donc la quantité de travail , développée par la pe santeur pour imprimer une certaine vitesse V à un corps, estégaleà la moitié du produit obtenu en multipliant le carré de cette vitesse parle poids P de ce même corps , divisé par

la vitesse g ou g"*, 8088 que la pesanteur imprime, à tous les corps (i 17), au bout de la première seconde de leur chute.

122. Force vive des corps; sa relation avec le travail mécanique. Le produit -X V 1 étant précisément ce que les

mécaniciens sont convenus de nommer la force vive du corps dont le poids est P et la vitesse actuelle V, on voit que la quantité d’action ou de travail , dépensée par la pesanteur pour produire la chute verticale d’un corps , est la moitié de la forcevive imprimée au hns de cette chute; ou, si l’on veut, la force vive imprimée est le double de la quantité de travail dépensée par la pesanteur . Lorsque le corps est lance verticalement de bas en haut, avec une certaine vitesse, le travail de la pesanteur, toujours mesuré par le produit du poids et de la hauteur à laquelle le corps à été élevé verticalement, est employée, au contraire, h détruire cette vitesse. Par conséquent, dans les deux cas dé la descente et de la montée, la moitié de la force vive acquise ou détruite, mesure la quantité de travail nécessaire pour vaincre l’inertie du corps ; c'est-à-dire , que cette mesure reste la même, soit que la pesanteur imprime line certaine vitesse à un corps, soit qu'elle détruise une vitesse égale et qu’il possédait déjà.

Nous prouverons bientôt que ce principe est général y quelle que soit la force motrice qui ait communiqué le mouvement au corps, et quelle que soit la direction et la nature de ce mouvement. Mais il est nécessaire auparavant de faire plusieurs remarques, et de poser quelques autres définitions admises par les mécaniciens.

123 . Comment on doit entendre la force vive. L’expression de force vive , employée pour désigner le produit

— X^ 1 » pouvant induire en erreur beaucoup de personnes,

il est bon de remarquer ici que, d’après notre manière de voir, ce n’est point à proprement parler ( 5 g) une force , pas plus que la quantité P X H , que nous avons nommée, en général, quantité d’action , quantité de travail; c’est tout simplement le résultat de l’activité d’une force motrice ou de pression, exprimable en poids , qui a été employée, pendant un temps plus ou moins long (57), à vaincre l'inertie de la matière d’un corps, à imprimer un certain mouvement,

une certaine vitesse à ce corps. Sous ce point de vue, la force vive n’cst véritablement que l'effet dynamique (80) de la force motrice, ou plutôt le double (le cet effet, puisque

-XV’=aPXH.

Lors donc que nous emploierons le mot force vive, ce ne sera jamais que pour désigner la valeur numérique d’une certaine quantité essentiellement relative au mouvement actuel d'uu corps, ou au mouvement qu'il pourrait réellement acquérir dans des circonstances déterminées ; etj sans s'arrêter aucunement à la signification propre des mots par lesquels on l'indique dans le discours, il faudra seulement se ressouvenir que sa valeur , en nombre , équivaut au produit du carré de la vitesse effective d’un corps , par le poids de ce corps , divisé par g ou y m ,8o88. Ainsi nous ne confondrons pas, comme on le fait quelquefois (80), la force vive des moteurs avec la quantité de travail qu’ils développent contre des résistances qui leur sont opposées; et, s'il nous arrivait, par exemple, de parler de la force vive d’uu homme ou d'un cheval, nous entendrions uniquement spé-^ cifier le produit ci-dessus concernant leur vitesse et leur poids réels, produit qui est bien différent de celui qui mesure la quantité de travail mécanique même développée par ces moteurs, à chaque instant ou peudant un certain temps, lorsqu'ils sont appliqués à une machine, à un outil quelconque (74 et 77). .Jjg

I 2q. Réflexions sur la force vive et les forces motrices en général. Ce qui a porté autrefois les mécaniciens à adopter le mot force vive , c’est qu'ils ont confondu l’effet avec la cause , le résultat du travail d’une force motrice avec ce travail meme ; par la seule raison que les mesures , en nombres, de ce travail , de cet effet ou de ce résultat, sont directement comparables entre elles, et ont une certaine relation numérique. Ayant d’ailleurs admis l'expression de force pour désigner les effets , les résultats de l’activité d’un moteur qui travaille, et voulant la distinguer de Y effort ou pression simple ( 5 y) que ce moteur exercerait sur un corps qui resterait en repos ou qui ne céderait pas à son action, ils ont dit que c’était une, force vive , et celte pression, cet effort, ils l’ont uornrn é force morte. Delà aussi la dispute qui s’est élevée,, parmi les géomètres du deraiçi;

PHÉUMlN/UnES. p5

siècle, sur la manière (le mesurer la force vive et la force morte, et de les distinguer entre elles; dispute fort oiseuse et qui n’a fait qu’embrouiller des choses très-claires par elles- memes, puisqu'il est impossible de confondre l’effort , la pression simple qu’exerce un moteur sur un corps, avec son travail mécanique; et ce travail avec le mouvement actuel ou acquis d’un corps.

A la vérité, un corps mis en mouvement, un certain effet dynamique (i 23 ) peut, à son tour, devenir une cause, une source de travail : c’est ainsi, par exemple, qu’un corps lancé verticalement , de bas en haut , est élevé , en vertu de sa vitesse, à une certaine hauteur, tout comme il le serait par l'action d'un moteur animé. Mais il arrive ici la mèmë chose que lorsqu’une force motrice a développé une certaine quantité de travail pour bander un ressort élastique (97) ; l'inertie de la matière a été mise en jeu de la même manière que les ressorts moléculaires l'ont été dans ce dernier cas ; cette inertie ( 106) , quand elle a été ainsi vaincue, devient capable de restituer la quantité de travail dépensée, de même que le fait le ressort qui a été bandé. En un mot, I inertie comme les ressorts (98), sert à emmagasiner le travail mécanique , en le transformant en force vive; de sorte que la force vive est un véritable travail disponible.

Nous avons vu (102) qu'on peut en dire tout autant d’un corps qui a été élevé à une certaine hauteur, par un moyen quelconque; ce corps, sollicité par la pesanteur, est la source d’une quantité de travail, dont ou peut disposer subséquemment pour produire effectivement du travail mécanique. Mais, de même que nous ne disons pas , en termes absolus, que ce corps, actuellement élevé à une certaine hauteur, est une force , qu'un ressort bandé est une force ; de même aussi il est peu exact de dire qu’un corps en mouvement, que — V* est une force. Ces réflexions sont également applicables d’ailleurs aux hommes, aux animaux eà général , aux combustibles ou au calorique enfermé dans les corps (09), aux cours d’eau, au vent , etc.; ce sont des agens de travail, des moteurs si l’on veut, mais non de simples forces, de simples pressions (59).

L'objet de la Mécanique industrielle consiste principalement à étudier les diverses transformations ou métamor-

phoses que peut subir le travail des moteurs par le moyen des macnincs ou des outils , à comparer entre elles les quantités de ce travail , à les évaluer en argent ou en ouvrage de telle ou telle espèce, etc.

125 , Définition de la masse des corps. Puisque la pesanteur agit indistinctement sur toutes les particules matérielles d'uu corps , et tend, à chaque instant , à leur imprimer, le même degré de vitesse dans le même lieu (1 i 5 ), on voit que le poids de ce corps , qui est le résultat de toutes ces actions partielles , peut donner, jusqu'à un certain point , une idée de la quantité de matière qu’il renferme ou de sa masse. Suivant cette notion, la masse serait donc

{ proportionnelle au poids ; souvent même on prend , dans es applications, les poids pour les masses. Mais, comme l’intensité de la pesanteur varie d’uu lieu à un autre (61), et que la quantité ae matière ou la masse absolue fl’un même corps ne varie pas,. on voit que cette dernière serait , dans certain cas, mal définie parle poids simple de ce corps. Or l’expérience apprend que la vitesse imprimée, parla pesan-. leur, au bout de la première seconde de chute, demeure constamment proportionnelle à son intensités c’est-à-dire

(117 et 1*1) que le rapport — reste le même pour tous les

lieux. Ainsi , P et P' étant les poids absolus (60) et dans le vide, d’un même corps transporté, par exemple, à deux hauteurs différentes > g et g* les vitesses qu'à ces hauteurs, la pesanteur imprime, dans le vide et à la fin de la première seconde de leurs chutes, à chaque particule de matière, on a

* nr ' ' * j ? P’

P.P’..g.g' ou ~ — f

C’est donc à ce rapport invariable — , et non au poids

P lui- même, que s'applique véritablement, en Mécanique, la définition de la masse d’un corps; et l’on commettrait souvent des erreurs de calcul fort graves , en prenant le poids pour la mesure de la masse.

126. Exp cession abrégée de la masse et de la force vive, dans les calculs. Ordinairement on représente la valeur de la tuasse par la lettre m ou M : pn a donc

l'RÉLIM INAIRES .

M = -, et , par suite, P = M X g — Mg 5 P exprimant l’ef-

fort absolu exercé par la pesanteur sur un certain' corps, et g la vitesse qu’elle lui imprime, dans le même lieu et dans le vide, au bout de la première seconde de sa chute verticale. *

• D’après cette convention, la valeur ci-dessus -XV’ de

la force vive d’un corps ( i z i ) se trouve aussi représentée, dans les calculs mécaniques, par MX'V 1 ou MV% c’està-dire par le produit de la niasse de ce corps et du carré de sa vitesse acquise ou actuelle.

127. Quantité de mouvement des corps . Les mécaniciens sont également convenus de nommer quantité de mouvement d’un corps, le produit de sa masse , définie comftie on vient de le dire , par la vitesse simple et actuelle

que possède cette masse ; c’est-à-dire que MXV° U -X^,

PV . . , *

qu'on écrit aussi MV, — pour la simplicité, est ce qu’on

nomme une quantité de mouvement en Mécanique. Celte quantité est, comme on voit , très-différente de ce que nous avons appelé (80) la quantité d’action ou de travail des moteurs 5 et on ne peut la confondre avec cette dernière, qu’autant (84) qüc l’on confondrait aussi l’effort d’un moteur avec le poids réel , ou plutôt avec la masse d’un corps; ce qui n’est évidemment pas permis (*).

(*) Nommons O la valeur, en nombre, de — X V, on aura O— — ><V,

ou , ce qui revient au même , Q : P ; ; V ‘.g- Mais P est le poids véritable d’un certain corps, g, ou 9", 8088 , est la vitesse que la pesanteur imprime à ce corps , au bout de la première seconde de ebute et dans le lieu où nous sommes -, donc Q n’est autre chose que le poids absolu du même corps dans le lieu où la gravité serait capable de lui imprimer la vitesse V au bout de la première seconde de chute, c’est-à-dire l’eflort qui soutiendrait le corps contre l’action de cette gravité. On voit aussi que la force vive M XV' ou MV X V, n’est elle-même que le produit de ce dernier poids , de cet effort , par la vitesse V, ou par le chemin que -décrirait uniformément le corps , dans l’unité de temps , en vertu de sa vitesse acquise. Ces observations peuvent servir à distinguer entre elles , d'une manière absolue , la quantité de mouvement et la force vive, ainsi qu’à montrer l’identité de nature que, sous un certain point de vue , les mécaniciens ont attribuée à ces deux sortes de grandeurs , ainsi qu’au poids et au travail mécanique véritables; elles ei-

g8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

128. Observations générales . Dans le fait , c’est principalement pour abréger et simplifier, tout à la fois, les calculs et 'les raisonnemens qu’ou emploie les dénominations de masse , de quantité de mouvement , et qu’ou les représente par des lettres particulières ; on pourrait aisément s’en passer, ainsi que du mot force vive, dans l’exposition des principes de la Mécanique industrielle. Mais, comme tous les auteurs en ont fait usage , il devient important de bien se pénétrer de leur véritable signification, et de ne pas oublier qu’elles se rapportent toutes à des corps matériels et au mouvement véritable de ces corps; ou plutôt qu’elles sont des expressions purement conventionnelles pour exprimer, d’un manière commode, certaines grandeurs numériques, certains résultats qui se présentent fréquemment dans les applications de la Mécanique.

De la communication t lu mouvement par les forces motrices en général.

129, Rapport des forces motrices au mouvement qu’elles impriinent. Nous venons de voir que la pesanteur imprime , à un même corps et au bout de la première seconde de sa chute verticale, des vitesses qui sont constamment proportionnelles à son intensité, ou au poids absolu du corps dans chaque lieu. Mais celte propriété provient uniquement de ce que la pesanteur varie, en effet, très peu (6 1) dans toute la hauteur de cette chute ; de sorte que la vitesse totale, acquise en une seconde, est proportionnelle aux degrés égaux de vitesse imprimés à chaque instant (107 et suiv.). Lorsque la force motrice, âu lieu d’être constante', varie à chaque instant, il est évident qu’alors son intensité ne peut plus se mesurer par la vitesse qu’elle imprime , à un même corps, au bout de l’unité de temps, et

Î ju’elle dépend uniquement du petit degré de vitesse qu’elle ui communique à un instant, donné.

L’observation de ce qui se passe à la surface du globe terrestre et dans lesmouvemensde notre système planétaire, prouve que

pliqueront aussi comment on regarde quelquefois la quantité de mouvement comme une force morte (iai), comme un poids ou un effort sans énergie, et la quantité de travail comme une force vive. Au surplus , nous n’avons nullement besoin de nous inquiéter de pareilles distinctions , de pareilles subtilités.

Les forces motrices ou de pression sont réellement proportionnelles aux degrés de vitesse très -petits , qu'elles impriment , à un meme corps , dans des temps égaux infiniment petits.

Ce fait sert de base à toute la Mécanique du mouvement , et doit être considéré comme une loi générale des

forces motrices de la nature.

i3o. Mesure des forces motrices et d’inertie par la vitesse imprimée et réciproquement. Soit F la mesure, en kilogrammes , d'une certaine force de pression; soit v le degré très-petit de vitesse qu’elle imprime à un corps, à une époque quelconque et pendant le temps très -petit î; soit pareillement P la pression que la pesanteur exerce, en un certain lieu, sur le corps, ou le poids de ce corps , et ‘ii'le petit degré de vitesse qu’elle lui imprime dans le même temps t. ün aura, d’après ce qui précède,

f:p y.v’.di d’où f=^X' w -

Mais, d’après la première loi de la chute des corps (117), nous avons

’d'.g'.'.t'. î"; d’où vl—gti donc, F=— »

M étant la' masse du corps (t 25 ).

Ainsi, quand on connaîtra la vitesses imprimée dans le petit temps f, par la force F, on pourra calculer cette force, qui est égale et contraire, à la résistance qu’oppose au mouvement (66), l’inertie de la matière de ce corps, résistance que nous avons nommée simplement la force d’inertie , et qu’on pourrait aussi appeler la force dynamique des corps. La relation F^MXj^My, nous apprend donc que

La force d’inertie F croit proportionnellement à la masse du corps et aux degrés' de vitesse v qu’il reçoit dans des temps élémentaires t, égaux et infiniment petits.

Delà relation ci-dcssus, on tire réciproquement la va- Fx t

leur ; donc

Le degré de vitesse qu'une force motrice imprime à un corps , pendant un même temps élémentaire ou très-petit , croît proportionnellement à l’intensité de la force mo-

too MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

trice et inversement à la masse de ce corps ou de son

poids.

1 3 1 . Rapport des forces motrices aux quantités de mouvement impj'imées. D’après nos définitions (127), le produit M ou Mu n’est autre chose que ce qu’on nomme une quantité de mouvement , en Mécanique. On voit donc que la première des propositions ci-dessus, revient à dire que

a La force d’inertie croît proportionnellement à la quan- » tité de mouvement communiquée dans un même instant » très-petit t. » ,

Ou que

> Les forces motrices communiquent , dans des inslans » égaux et infiniment petits, des quantités de mouvement » qui leur sont proportionnelles. »

Soient, en effet, F et F' deux forces motrices ou pressions quelconques agissant, pendant un même iustant trèspetit t , sur deux corps différens , de masses M et M' ; soient u et V les degrés de vitesse qu’elles leur impriment respectivement, à la fin de cet instant, on aura, d’après ce

qui précède, F=Mj, F'=M'-; et par conséquent

F:F::Mji:M'£::Mu:MV.

Si donc les forces motrices F, F', ou les forces d’inertie qui leur sont directement opposées , avaient la même intensité, la même valeur en kilogrammes, les quantités de mouvement qu’elles imprimeraient, dans le même instant très-petit t,*le seraient aussi; ce qui résulte immédiatement de ce qu’on aurait alors

M-=M'— , ou Mu— MV.

On voit enfin que, si deux forces motrices appliquées à deux corps di fférens , demeurent sans cesse égales entre elles et aux mêmes inslans; c’est-à-dire, si elles varient de la même manière, les quantités de mouvement totales et finies qu’elles auront imprimées aces corps, entre deux instans quelconques, seront aussi égales entre elles; car chacune d’elles sera la somme de quantités de mouvement partielles telles que Mu, MV, qui ont les mêmes valeurs pour les

divers instans successifs et égaux dont se compose le temps total.

C’est ainsi qu’il faut entendre le principe par lequel les auteurs admettent quelquefois que lés forces motrices égales impriment les mômes quantités de mouvement finies à des corps quelconques; car quelle que soit la petitesse de la durée du temps pendant lequel elles agissent , ce temps n’est pas nul (57); et quelle que soit la grandeur de leur intensité, elles ne sont pas infinies ; elles peuvent se mesurer en kilogrammes comme toutes les forces de pression, de traction, etc. Au surplus, je le répète, ces discussions sont parfaitement inutiles pour nous, qui n’admettons le mot quantité de mouvement que pour désigner un certain résultat des calculs , et pour abréger les énoncés des principes (128).

l 32 . Autre mesure des forces motrices et d’inertie. Revenons maintenant à la considération simple d’une force unique F, agissant sur un corps de poids P ou de masse M ( 1 3 o) , et supposons qu’à une certaine époque du mouvement d’un .corps, cette force cesse tout à coup de varier, ou continue d’agir sur le corps avec l’intensité qu’elle possède à cette époque; la vitesse augmentant ou diminuant dèslors de quantités proportionnelles au temps (107), cette intensité pourra ôtre encore mesurée par la vitesse finie qu’elle imprimerait au corps, à la fin de la première seconde, s’il partait du repos au commencement de cette seconde. Désignant par V, cette vitesse finie , on aura

v,:*: : d’où v,=p et f=mx^ =mv,.

Ainsi, dans le mouvement varié, en général, la force motrice, égale et contraire à la force d’inertie, à la force dynamique, est mesurée , à chaque instant, par la quantité de mouvement qu’ elle imprimerait , au bout d’une seconde , si , au lieu de varier , elle demeurait ce qu’elle est à cet instant.

Calcul des mêmes forces par la loi géométrique du mouvement. Ces dernières considérations sur Ta force motrice, dans le mouvement varié, sont analogues à celles qui concernent la vitesse même du mouvement ( 53 ), et on peut

^es reproduire également à l’aide d’une figure. Soit tracée (Pl II, Fig . 32 ), comme il a étédit N° 108, pour lemouvement uniformément accéléré, la ligne qui représente

la loi des temps et des vitesses; soient cc', dd' les vitesses qui répondent nu commencement et à la fin du très- petit temps cd ou t." Menons, par d, la parallèle dd"m à l’axe des temps OB ; elle retranchera, de l’ordonnée dd\ la petite longueur d'd ", représentant le degré de vitesse imprimé par la force motrice, dans la durée du petit temps cd=dd", degré dont nous avons désigné la valeur en nombre par v. Or, si l’on suppose qu’à partir du commencement de ce temps t, la force motrice devienne constante, ou (107) qu’elle imprime, dans les instans successifs égaux à t, des degrés de vitesse aussi égaux à d'd " ; la loi des vitesses acquises, sera exprimée (108) par une droite dn, prolongement de c'd', et qui sera tangente à la courbe O'aW ...f, puisque l’intervalle cd ou t est censé excessivement petit. Prenant donc dmz=: 1", et élevant l’ordonnée mn , celle-ci ne sera autre chose que la vitesse V, acquise, au bout de l’unité de temps, en vertu de la force motrice supposée constante ; et l’on aura , à cause des triangles semblables dd'd" et dmn , la proportion

dd" ou t ’.d'd" ou v .' ! dm ou i"I mn ou V, ;

d’où l’on tire, comme ci-dessus, V ( =:—.

Ainsi , quand on connaîtra la loi qui lie les temps aux vitesses imprimées , ou la courbe qui représente cette loi, on pourra, pour chaque instant, et par le tracé d’une tangente de celte courbe, déterminer la vitesse V, ; et, par suite, calculer , comme il a été expliqué précédemment

(i 5 oet 102), la valeur MV,= - XV, de la force motrice F

qui produit l’accélération de mouvement du corps, ou, ce qui est la même chose (i 3 o), la résistance égale et contraire, que l’inertie de la matière du corps oppose, à chaque instant , à l’action de celte force.

134. Tt • ouver la loi du mouvement quand on a celle de la force. Réciproquement, si l’on connaît, pour chaque instant et par le moyen d’une table ou d’une courbe, la valeur de la force motrice F, on en déduira les valeurs cor-

respondantes de V,=^=^- , inclinaisons des tangentes dn

MtÉLIMINAIRES. Io3

de la courbe des vitesses ; car la mesure de ces inclinaisons est donnée par le rapport V,. Si l’on connaît d’ailleurs

la vitesse initiale 00' du corps, vitesse nulle quand ce corps part du repos, rien ne sera plus facile que de tracer la courbe des vitesses successivement acquises sous l’action de la force motrice ; puisqu’au moyen des inclinaisons des tangentes correspondantes à chaque abscisse ou à chaque temps On, 04, Oc,.... , on pourra, de proche en proche, construire les positions consécutives O 'a', a'b\ b'd, des élémens rectilignes de cette courbe, et en déduire les ordonnées correspondantes aa\ 44', ce' qui mesurent les vitesses acquises par le corps à la fin des divers temps On, 04>, Oc....

Pat- exemple, la vitesse initiale du corps étant OO', on mènera OW parallèle à OB et égale à l'imité de temps; puis , ayant calculé la valeur de V, relative à l’intensité de F au moment où l’action commence, on portera celte valeur sur l’ordonnée rn'n 1 , de rn' en n' m , traçant O'n', ce sera la direction de l’élément O'n'; et l’ordonnée an', qui répond au premier instant O a, donnera, en la terminant à la droite O'n', la grandeur de la vitesse à la fin de cet instant : en répétant les mêmes opérations pour le point a', on en déduira 4' et 44', etc. On pourra d’ailleure diminuer la longueur des tracés , en construisant quelque part (Fig. 53) les inclinaisons successives pn , pn', pn",.... des tangentes relatives aux divers iiistans; car on eu déduira, de suite, les accroissemens de vitesses tv, td, ld',.... acquises par le corps à la fin des instans égaux représentés par pt.

11 est évident que plus sera grand le nombre des parties égales dans lesquelles on aura divisé le temps total, où l’on suppose que la force motrice opère, plus la courbe, ainsi construite % s’approchera de représenter la véritable loi du mouvement Communiqué par celle force. Enfin on remarquera que les trapèzes 44'c'c, cdd'd ,.... fig. Zz , représentent encore ici (io8) les. chemins élémentaires décrits, par le corps ou par le point d’application de la force, dans les petits temps correspondans 4c, cd.... m , car nous supposons expressément (j3o) que cette force agit dans le sens même du mouvement du corps, et que toutes les parties de ce dernier marchent parallèlement et de la meme (piantité. On trouvera donc aussi le chemin décrit par le corps, au

bout d’un temps quelconque et sous l’action de la force motrice variable, en mesurant l’aire totale de tous les petits trapèzes relatifs à ce temps, c’est-à-dire la surface même du trapèze curviligne 00 ’ff, par exemple, qui répond à ce temps. Or cette surface s’obtiendra aisément à l’aide du procédé de calcul qu'on trouvera exposé à la fin de ces préliminaires , et que nous avons déjà signalé (72) , à l’occasion de la mesure du travail mécanique variable.

De la force viPc des corps en général et de sa relation avec le travail mécanique.

1 35. Mesure du travail des forces motrices et d’inertie. A l’aide des notions qui précèdent, nous pouvons calculer la quantité de travail que doit dépenser, contre un corps de poids P, une force de pression qui varie à chaque instant en demeurant égale et contraire à la force d’inertie, pour imprimer à ce corps une certaine vitesse , ou plus généralement, pour augmenter ou diminuer sa vitesse d’une quantité donnée.

En effet, celte quantité de travail est mesurée, pour chaque instant très-petit t, par le produit de la valeur moyenne (72J de la force motrice dans la durée de ce temps, valeur que nous nommerons F, et du chemin élémentaire décrit, dans ce même instant, par le point d’application de la force, et dans la direction propre de cette force. Ce petit chemin, comme on vient de le rappeler, est donné sur la fig. 32, par l’aire du trapèze élémentaire cdd'd , par exemple, formé (roff) sur la vitesse moyenne corres-

f fondante ~ (cd -4- dd') , que nous nommerons V, et sur 'élément de temps cd ou t; c’est-à-dire par le produit V><î. Donc la quantité de travail élémentaire en question est FXVXî pour chaque instant^ .Ou pour chaque petit accroissement d'd" de la vitesse, dont la valeur a déjà été nommée v. Or nous avons trouvé ci-dessus (i3o)

que la valeur correspondante de F était M X 7 » ainsi

cette quantité de travail est M X V X v -

C’est la somme de toutes ces quantités de travail partielles 'qui composent le travail total, et cette somme est facile à trouver par la considération d’une figure. A partir du point Ü(P1. II, Fig. 34), pris pour origine, portons, sur

PRÉLIMINAIRES. io5

la droite OB, les divers accroissemens successifs O a, ab t bc, cd.... de la vitesse, répondant aux divers instans égaux écoulés depuis celui du départ du corps, accroissemens qui ne seront point égaux dans le cas du mouvement varié ; il est clair que les longueurs O a, O b, Oc, O d... seront les vitesses totales acquises aux instans correspondans. Portons ces mêmes longueurs sur les ordonnées correspondantes ad y bbf, cd, dd'....-, de telle sorte qu’on aura Od= Oa, bü=zOb, cd=Oc.... ; la suite des points O dVd.... va former une ligne droite inclinée à 45*, sur l’axe des abscisses OB. Cela posé, considérons en particulier l’accroissement de vitesse d'd" qui a été nommé v, le produit VXv de cet accroissement par la vitesse moyenne correspondante V=±(cd - i-dd '), sera ici représenté par l’aire du petit trapèze cdd'd. Donc la somme cherchée de tous les produits V a pour mesure celle des petits trapèzes correspondans, ou l’aire comprise entre la courbe, l’axe OB des abscisses et les ordonnées qui représentent la vitesse au commencement et à la lin de l’intervalle de temps pour lequel on veut calculer le travail de la force motrice.

l36. Relation entre le travail développé et la force vive acquise. Supposons en premier lieu que le corps parte du repos , et qu’il s’agisse de trouver la somme des produits VXD, relative à la vitesse acquise dd' que nous nommerons V'; cette somme étant représentée par l’aire du triangle O dd', aura pour mesure ^ dd'y^Od ou ^dd'^dd' — £ V'\ Donc la quantité de travail correspondante à la vitesse acquise V' et consommée par V inertie du corps , sera mesurée ( 1 35) par - MX V ,3 =:^ M V' 1 , ou par la moitié de la force vive communiquée à ce corps depuis l’instant du départ (122 et 126). Ce principe a donc lieu aussi pour un mouvement quelconque et pour une force motrice différente de la pesanteur.

Pour une autre vitesse ff l ou V" plus grande que la première , la consommation de travail sera également mesurée par jMX V" 3 ou ^ MV" 1 ; et par conséquent, pour l'intervalle compris entre les positions du corps qui répondent aux vitesses V' et V", la quantité de travail consommée sera mesurée par la différence ^MV” 1 — ^ M V'% correspondante au trapèze ddf'f. Or MV 1 ’ et MV" 3 sont les forces vives possédées par le corps au commencement et à la fin de

l'intervalle de temps pour lequel on considère le travail de la force; c’est donc encore V accroissement de la force vive, ou la force vive communiquée et acquise dans cet intervalle ; de sorte que le principe ci* dessus peut s’appliquer à deux instans quelconques du mouvement d’un corps. C’est-à-dire que

La quantité de travail , dépensée par une force motrice quelconque qui agit directement dans le sens du mouvement d’un corps , a, dans tous les cas , pour mesure la moitié de la force vive communiquée ou acquise par le corps, entre les instans oà l’on considère ce travail.

C’e 6 t aussi évidemment la mesure même du travail consommé par l'inertie du corps (i3o), ou qu’elle développe , en sens contraire , contre l’action de la force motrice.

1 3 7 . Cas où la force motrice est opposée au mouvement du corps . On remarquera que ce qui précède suppose que la vitesse du corps augmente sans cesse; s’il en était autrement , ce serait un signe que la force motrice serait opposée au mouvement ou serait retardatrice ; de sorte qu’elle agirait alors comme une véritable résistance (58). Du reste , tous nos raisonnemens demeureraient encore applicables, et l’on trouverait que la quantité de travail ou d’action développée par cette résistance, toujours égale et directement contraire à la force d’inertie devenue puissance , serait, pour un certain intervalle de temps pendant lequel la vitesse antérieurement acquise V' aurait été réduite à V", par exemple, égale à ;(MV n — MV”) ou à la moitié de la force vive qui a été perdue ou détruite.

Ainsi la diminution de la force vive d’un corps entre deux instans, suppose qu’une quantité de travail ou d’action, égale à la moitié de cette diminution , a été développée par l’inertie de ce corps contre des obstacles ou des résistances , comme son augmentation suppose, de la paît d’une puissance, une consommation de travail égale à la moitié de cette augmentation; principe qu’on peut énoncer généralement ainsi :

La perte ou le gain de force vive éprouvés par un corps , entre deux instans quelconques , a pour mesure le double de la quantité de travail développée par l’inertie de ce corps ou par la force motrice égale et directement contraire. i .

I Jtf . Transformation du travail en force vive et réciproquement. Un voit clairement maintenant comment, en général, l’inertie de la matière sert à transformer le travail en force vive et la force vive on travail; ou, pour nous exprimer comme nous l’avons fait précédemment (i 34), à l’occasion du mouvement vertical des corps pesans, ou voit que l’inertie sert h emmagasiner le travail des moteurs en le convertissant en force vive, et à le restituer intégralement ensuite, lorsque cette force vive vient à être détruite contre des résistances.

Les arts industriels nous ofTrent une infinité de circonstances où ces transformations successives s’opèrent par le moyen des machines, des outils, etc. L’eau renfermée dans le réservoir d’un moulin, représente une certaine quantité de travail disponible , qui se change en force vive quand on ouvre la vanne de retenue ; à son tour, la force vive acquise par cette eau, en vertu de sa chute du réservoir, se change en une certaine quantité de travail quand elle agit contre la roue du moulin, et celle-ci transmet ce travail aux meules, etc. qui confectionnent l’ouvrage. — L’air refoulé dans le réservoir d’un fusil à vent , représente la valeur mécanique du travail dépensé, par un certain moteur, pour l’y emprisonner (98); en lâchant la détente, l’air chasse la balle et convertit une certaine portion de ce travail en force vive: si la halle est lancée contre un ressort ou un corps élastique quelconque retenu par un obstacle, ce ressort va se bander , se comprimer en opposant une résistance, de plus en plus forte (97), égale et contraire à la force d’inertie de la balle , et qui finit par éteindre le mouvement quand la quantité de travail développée par la résistance du ressort, atteint une valeur égale à la moitié de la force vive que possédait la halle. Le ressort étant maiutenu, à cet instant, par uu moyen quelconque, la force vive s’y trouvera emmagasinée ou convertie en quantité de travail disponible, de la même manière que s’il avait été bandé par une force motrice quelconque (97); si donc on vient à supprimer l’obstacle qui maintient le ressort dans sa dernière

E osilion, ou si on le laisse réagir immédiatement contre la aile, celle-ci' sera lancée, en sens contraire, avec une vitesse telle que la force vive qu’elle acquerra sera le double de la quantité d’action ou de travail restituée, par le ressort, dans son débandement (i 36 ).

108 MECANIQUE TWDTTSTRTELLE.

I 3 q • Restitution et consommation de la force vive dans le choc des corps. Si on suppose que le ressort soit parfaitement élastique, la vitesse transmise à la balle sera précisément égale à celle que le fusil à vent lui avait d’abord imprimée dans une direction contraire ; car le travail déve- » • loppé dans le débandement, sera aussi égal (97) à celui qui, d’abord, a été emmagasiné, etc. Ainsi, dans l’exemple dont il s’agit, la quantité de travail a été alternativement changée en force vive, et la force vive en quantité de travail, sans qu’il y ait eu rien de perdu ni de gagné. Mais, si le ressort n’est pas parfaitement élastique, une portion de la force vive imprimée à la balle, sera employée (io3) à détruire les forces moléculaires de ce ressort.

Ainsi, dans le choc des corps non parfaitement élastiques, il y a toujours une perte de quantité de travail, mesurée par la moitié de la force vive détruite. Presque tous les corps étant dans ce cas, et la quantité de travail consommée inutilement par les forces moléculaires étant comparable à celle que développe l’inertie pendant que les corps se compriment, on voit que, si la masse de ces corps et la vitesse en vertu de laquelle leur choc s’opère, est considérable, il y aura eu, dans un très-petit temps, une grande

{ >erte de quantité d’action; et voilà pourquoi, comme nous 'avons déjà observé (96), il faut sur-tout éviter les chocs dans le mouvement des machines industrielles. Au surplus nous reviendrons bientôt sur ce sujet, dont l’examen circonstancié ne serait pas ici à sa pla'ce, et dérangerait l’ordre naturel des idées.

ll\ 0 . Réflexions nouvelles sur l’impossibilité d’augmenter le travail mécanique. On voit encore, par tout ce qui précède, qu’il est aussi impossible de se servir de la force de ressort que de celle de la gravité (120) pour imprimer à un corps une vitesse plus grande que celle qu’il possédait primitivement, ou pour augmenter le travail quelconque d’une puissance; et qu’au contraire, cette vitesse restituée sera toujours moindre que la vitesse primitive. Mais , comme la portion de vitesse ou de force vive, détruite dans le choc, a été employée réellement à vaincre certaines résistances moléculaires, et par conséquent à produire un certain travail, nous avons pu dire ci-dessus (i38) que la force d’inertie restitue intégralement la quantité de travail qui a été dé—

Digilifed by GoogI

PRÉLIMINAIRES. lt>g

pensée ponr la mettre en jeu : seulement il arrive ici qu’une portion de ce travail est, dans certains cas, étrangère à l’ouvrage qu’il s’agit réellement de produire, ou n’est point considérée comme faisant partie de 1* effet utile, ainsi qu’it a déjà été expliqué généralement (104), à l’occasion des autres forces motrices.

1 4 1 • Examen particulier du mouvement périodique. Nous venons de montrer , par des exemples , comment la quantité de travail peut être transformée alternativement en force vive, et la force vive en travail par le moyen des ressorts et des machines qui les emmagasinent et les restituent successivement. Ces transformations se présentent, en général, toutes les fois que le mouvement d’un corps, sollicité par une puissance motrice, est , par sa liaison avec d’autres corps, contraint de varier à chaque instant, de manière à devenir tantôt accéléré et tantôt retardé ; genre de mouvement que nous avons déjà examiné et défini eu lui-même (49), et qui se rencontre spécialement dans les pièces des machines qui oscillent , qui vont et viennent entre deux positions extrêmes qu’elles ne peuvent dépasser, et pour lesquelles leur vitesse devient nulle forcément en changeant de direction. Le mouvement des scies, des-, rabots, des limes, des pistons de pompe et de la plupart des outils employés dans les arts manuels est évidemment dans ces cas.

Or, lorsque la vitesse du corps augmente, ce qui arrive nécessairementau commencement de chaque période ou altematiàn , c’est utt signe ( 1 36 ) qu’nne certaine portion du travail du moteur agit dans le sens du mouvement pour accroître la force vive d’une quantité égale an double de cette portion ; le surplus du travail étant absorbé par les autres résistances. Lorsque , au contraire, la vitesse du corps vient à ralentir vers la fin de chaque période , c’est un signe (137) qu'une certaine portion de la force vive précédemment acquise, a été dépensée, contre les mêmes résistances, pour augmenter le travail du moteur d’une quantité égale à la moitié de cette portion, et ainsi de suite selon le nombre des alternatives du mouvement.

Comment se comporte l’inertie dans ce mouvement. On voit, d’après cela, que, quand la vitesse ou la force vive d’un corps oscille entre certaines limites , c’est une preuve que l’inertie absorbe et restitue successivement des

portions du travail de la puissance , qui sont égales pour tous les inslans où la vitesse est redevenue la même; c’est-à-dire que, dans l'intervalle de deux quelconques de ces instans, il n'y a eu rien de perdu ni de gagné , et que la puissance doit être cousidérée comme ayant été entièrement employée à vaincre les résistances autres que l’inertie. Mais, si dans un intervalle de temps quelconque, la vitessé, après avoir subi également des alternatives de grandeur, ne redevient pas ce qu'elle était d’abord, la moitié de la différence des forces vives qui répondent à la fin et au commencement de cet intervalle , mesure ( i36 et 137 ) la quantité de travail qui a été réellement consommée ou restituée par l’inertie du corps. Par conséquent, si le corps était parti du rej>os , la quantité de travail consommée, par l'inertie, à un instant quelconque, serait mesurée seulement par la moitié de la force vive acquise à cet instant.

l42. Démonstration des mêmes choses par la Géométrie. On remarquera que tous les raisonnemens qui

I irécèdent peuvent être reproduits directement à l’aide de a fig. 34 ci-dessus et des considérations du N° 1 36. Car, lorsque la vitesse du corps diminue après avoir augmenté pendant un certain temps , il en est de même de l’abscisse et de l’ordonnée de la droite O f, qui représentent cette vitesse : ainsi l'ordonnée j ff 1 , par exemple , après s’être éloignée de l’origine jusqu'à un certain point, en balayant des aires triangulaires O aol, ObV ....QJf 1 , proportionnellès à la quantité de travail absorbée , par l’inertie , ou à la moitié de la force vive acquise par le corps, se rapproche ensuite de cette même origine, en soustrayant, de la plus grande aire ou du plus grand triangle O ff 1 , des surfaces trapézoïdes ff'de, edd’d,.... qui diminuent, de plus en plus, l'aire de ce triangle relatif à la plus grande force vive; de sorte que ,« l’ordonnéej'étant arrivée au point O, qui correspond à une vitesse nulle, le travail absorbé par l’inertie sera également nul. Si ensuite la vitesse augmente de nouveau , le travail consommé par l’inertie croîtra, comme dans la première période, de quantités mesurées, à chaque instant, par l’aire du triangle qui correspond à la vitesse acquise à cet instant ; cl ainsi de suite alternativement. Enfin, si on considère le mouvement entre deux instans

quelconques pour lesquels la vitesse serait représentée par bbf et eef, par exemple, il est bien clair, d’après nos raisonnemens, que le travail absorbé ou développé par l’inertie, sera mesuré par l’aire du trapèze bb'ée formé sur ces vitesses , et sur leur accroissement ou leur diminution be.

1 43 • Exemples particuliers relatifs au mouvement périodique. Une voiture qui chemine avec une vitesse , tantôt plus grande, tantôt plus petite, offre l’exemple de ce que nous venons de dire : d’abord les chevaux dépensent une certaine quantité dë travail pour la mettre en mouvement au pas ou au trot ; puis , lorsque la vitesse de la voiture vient à ralentir par suite de l’augmentation des résistances, ou de la diminution d’action des chevaux, cette même inertie développe contre ces résistances une portion du travail qu’elle avait d’abord absorbée , et qui est égale à la moitié de la diminution qu’a éprouvée fa force vive. Si on suppose que les choses continuent ainsi alternativement , et qu’à la fin la voiture soit remise au repos , la quantité de travail restituée par l’inertie se trouvera précisément être égale à la quantité de travail même qu’elle a consommée d’abord ; de sorte qu’en réalité , il n’y aura rien eu de perdu. Il est entendu d’ailleurs que les diminutions de vitesse, éprouvées parla voiture, ne proviennent pas du fait même des chevaux , comme cela arrive quelquefois dans les descentes rapides où on les fait retenir , ni de ce qu’on aurait enrayé les roues, puisqu’alors ces chevaux ou Yenrajure auraient servi à augmenter les véritables résistances , et à consommer la force vive d’abord acquise , sans utilité immédiate pour l’objet du transport.

Lorsqu’un moteur est employé à élever verticalement des fardeaux , il prend le corps au repos ; de là une consommation de travail pour vaincre l’inertie de ce corps , et l’amener à un certain état de mouvement; arrivé à la hauteur voulue , le moteur ralentit sa propre vitesse pour remettre de nouveau le corps au repos. Dans ce ralentissement, la force vive acquise par le corps est employée à détruire une portion de l’effet de la pesanteur sur ce même corps , ou plutôt elle sert à l’élever verticalement d’une certaine hauteur; c’est ce qu’on aperçoit très-bien, en effet , dans les mouvemens d’ascension tant soit peu rapides; ainsi donc l’inertie a réellement rendu ce qu’elle avait absorbé primitivement.

lia MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Les mômes réllexions peuvent être appliquées encore au travail du limeur, du scieur, etc., puisqu’à la fin de chaque oscillation de l’outil, la vitesse devient nulle comme elle était au commencement.

On remarquera que, dans tous les exemples qui précèdent, le mouvement est censé naître ou s’éteindre par degrés inseusiblcs, c’est-à-dire lentement et sans secousses , de sorto que les pertes de force vive , qui proviennent de la réaction mutuelle des parties qui communiquent ou reçoivent ce mouvement (95 et suiv.) sont réellement inappréciables. Mais il n’en serait pas ainsi du cas où, la vitesse changeant brusquement à la fin et au commencement de chaque période, il y aurait choc entre corps non parfaitement élastiques, ainsi qu’il arrive dans certaines dispositions vicieuses des

I nèces qui entrent dans la composition des machines; et 'on ne doit pas oublier qu’alors une portion plus ou moins notable (139) de la force vive, peut être employée inutilement à détruire la force d’agrégation des molécules, ou à changer la forme des corps qui se choquent.

l 44 . Du rôle que joue l’inertie dans divers procédés des arts. Afin de donner une idée plus complète encore du rôle que joue l’iuertie des corps dans les travaux industriels, et de montrer comment elle peut servir à expliquer une infinité de procédés des arts, nous allons ajouter quelques exemples à tous ceux qui ont été rapportés jusqu’à cette heure- Pour faire sortir le ciseau d’une varlope, l’ouvrier frappe le bois sur le derrière; en imprimant ainsi brusquement de la vitesse à ce bois , le ciseau et son coin résistent par leur inertie , ou ne cèdent qu’en partie au mouvement. — En frappant brusquement sur la douve qui porte la bonde d’un tonneau, on imprime à cette douve un mouvement trèsrapide, auquel résiste cette bonde comme si elle était retenue fortement par la tête ; en conséquence , elle est séparée de la douve , en vertu de sa seule inertie , avec un effort supérieur à celui qu’on pourrait obtenir, par des moyens plus directs et cependant très-puissans : c’est à peu

S rès de la même manière encore que les clous , les boulons 'assemblage, etc. sont arrachés par l’effet des chocs et des secousses. — On emmanche souvent un outil, par exemple un marteau, en frappant la queue du manche dans le sens de sa longueur; ce manche chemine, et l’inertie de la ma-

PRÉLIMINAIRES. Il3

Itère qui tend à maintenir le marteau au repos, résiste sumouvement imprimé de la même manière que si ce marteau eût été réellement appuyé contre un obstacle fixe.

Voici encore quelques exemples de la manière dont l’inertie des corps sert à transformer le travail en force vive et la force vive en travail. — I.a tou/rie, lancée à terre, tourne et chemine en vertu delà force vive qui y a été primitivement accumulée pnr le déroulement accéléré de la ficelle, déroulement produit par le travail de la main qui tend cette ficelle tout en lançant la toupie. • — Le diable est un autre exemple du moyen qu’on peut employer pour accumuler, de plus en plus, la force vive dans un corps mobile autour d’un axe horizontal. — Le jouet que les enfans nomment tourniquet reçoit d’abord sa vitesse par le déroulement du fil enveloppé autour de son axe et tiré rapidement avec la main ; en vertu de l'inertie du volant placé sur cet axe, le mouvement continue et sert à enrouler le fil, en sens- contra ire, en le tirant avec un effort semblable à celui qu’a d’abord exercé la main : ce moyen peut même être employé dans les grandes machines pour transformer le travail des moteurs en force vive, puis la force vive en travail ordinaire. — On se sert avec avantage, dans les arts, du tour à pédale et à ressort pour les pièces légères et de petites dimensions, parce que l’inertie exerce alors peu d’influence et que les alternations , les changemens de direction du mouvement s’opèrent sans secousses et sans danger pour les différentes pièces : mais l’emploi de ce tour aurait des inConvéniens fort graves pour les grosses pièces et surtout pour les pièces de métal ; c’est ce qui fait qu’alors on substitue à ce tour, le tour à mouvement, de rotation continu ou qui chemine toujours dans le même sens.

l 45 . Observations sur ces exemples. Nous engageons le lecteur à méditer atteutivement ces divers exemples, que nous ne faisons en quelque sorte qu’indiquer, et d’en agir de même à l’égard de tous ceux que la pratique des arts pourrait offrir à ses méditations : ils serviront à lui bien faire concevoir comment l’inertie de la matière se comporte, tantôt comme une simple résistance, tantôt comme uno véritable puissance, absolument de la même manière que la pesanteur des corps et les ressorts élastiques (97 et 10a).

Au surplus, nos derniers exemples concernent principalement l’inertie des pièces qui ont un mouvement de rots-

1 l4 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

tion, et tout ce que nous avons dit jusqu’à présent de la force vive, est uniquement (i3o et suiv.) relatif au mouvement de transport des corps, dont les diverses parties sont animées de la même vitesse. Mais nous verrons plus tard que les principes qui précèdent, sur In force vive et le travail mécanique , peuvent s'étendre à tous les cas , et nous apprendrons même à calculer rigoureusement la valeur de ce travail, de cette force vive, quel que soit le mouvement d'un corps ou d une machine. Pour le moment, il nous sullira de donner une série d'npplications, en uombres, relatives au mouvement de transport parallèle, atin de faire apprécier, à sa juste valeur, l'influence de l’inertie dans les travaux industriels, et de montrer l'exactitude, l’utilité des principes de la Mécanique, dans les questions variées que présente la pratique des divers arts.

Ces applications doivent être considérées, par nos lecteurs, comme une partie essentielle de ce Cours , et comme un exercice indispensable pour bien saisir le but et l'esprit des vérités fondamentales de la science. 11 s'en présentera, par la suite, un grand nombre d'autres très- importantes; mais, avant de les exposer , il sera nécessaire d'entrer plus avant dans l’étude de» lois du mouvement et de l’action des forces; car, dans toute cette première partie, nous supposons constamment les choses ramenées à cet état final de simplicité où des forces, quoique variables à chaque instant, on direction et eu intensité, exercent néanmoins leurs actions réciproques suivant une droite qui est unique pour ce même instant, et qui se confond avec la direction propre du chemin décrit par le poiut d'application où on suppose, en quelque sorte, ces actions et le mouvement des corps concentrés. Les principes subséquens montreront d’ailleurs comment cette supposition, jusques là gratuite, est rigoureusement permise.

" i ’’ 1 ’ »•' * iM