APPLICATIONS

EXERCICES ET DÉVEEOPPEMEtfS DIVERS.

Questions concernant l’inertie et lu force vive.

l 46 . Travail nécessaire pour vaincre l’inertie d’une voiture. Considérons une voiture de roulier cheminant sur une route horizontale; supposons qu’elle pèse, en tout, 10000 kil. , et qu’elle doive être mise en mouvement, par des chevaux, avec une vitesse moyenne (49) de 1" par seconde; la consommation de travail pour vaincre, dans les premiers instans, son inertie indépendamment des

P IO OOO

autres résistances, sera (i 36 ) •jMV’ = V’“j — — Xi"Xi"

= 5 io , puisque nous avons P = ioooo , V=i m , g’=9 m ,8i environ.

Or on sait , par expérience , qu’un bon cheval de roulier, marchant régulièrement huit heures par jour , en 2 relais et avec la vitesse du pas ordinaire qui est d’environ i m par seconde, développe moyennement ( 81), un travail d’au moins 70 km dans chacune de ces secondes. Si donc il y en avait huit, de cette force, attelés à la voiture , ils donneraient au moins 56 o l “ dans le même temps ; de sorte que le travail que devraient dépenser les chevaux, pour, mettre cette voiture en mouvement dans les premiers instans, ne serait pas même égal h celui qu’ils peuvent développer, d’une manière soutenue et par seconde , quand la voiture chemine régulièrement; d’où l’on voit le peu d’influence exercée alors par l’inertie propre d’une aussi grande masse.

Si la voiture devait aller avec la vitesse du trot , qui est de a m environ par seconde, alors le travail absorbé par l’inertie serait JioXïX 2 = 2040*”, c’est-à-dire quadruple ; si elle devait aller au ÿalop ordinaire de 4™ par seconde, la consommation de travail serait 510X4x4— 8 i 6 o k “, c’est-à-dire )6 fois celle qui répond à la vitesse de 1*.

On voit, par là, que le trayail nécessaire pour vaincre l’inertie dans les premiers instans , augmente très-rapidement avec la vitesse imprimée à la voiture; ce qui tient à ce que la force vive croit elle-même comme le carré de cette vitesse.

l 4 7 * Temps nécessaire pour imprimer le mouvement é la voiture. Il est essentiel de remarquer qu’on ne peut rien inférer, de ce qui précède, relativement à la durée du temps qu’emploient les chevaux pour mettre effectivement la voiture en mouvement à partir du repos. Car, d’un cùté, nous avons fait abstraction de la résistance du terrain et des divers frottemens , et , de l’autre, il

peut bien arriver que la voiture acquière , au bout de la première seconde et sous l’effort réuni des huit chevaux , une vitesse qui soit plus petite ou plus grande , par exemple , que celle de 1 " considérée dans le premier des cas ci-dessus s cela dépend principalement de l’intensité absolue de cet effort (129 et suiv.) dans chaque instant infiniment petit.

Pour mettre la chose dans tout son jour, nous supposerons que l’effort des huit chevaux soit seulement de 56 o kit. , c’està-dire égal à celui qui répond à l’allure du pas ordinaire , et qu’au lieu de varier, comme cela arrive effectivement au moment eu départ, il demeure constamment le même; on trouvera facile-

tnent, d’après la formule V,— — — des N°* 1 3 a et 1 34 , la valeur de la vitesse qui serait transmise, par cet effort, au bout de la première seconde de temps écoulé. Car noua avons ici , F =560 1 ,

M=z - — — 3= »Q20 environ - , et la vitesse cherchée V. =

F > -j utp.j

— r=r o ”,549 : cette vitesse est loin d’égaler un mètre ; mais aussi

le chemin décrit et le travail développé, par les chevaux, pendant la première seconde de temps, sont bien moindres que 1“ et 56 o k “. En effet, nous savons que le çhemin , décrit au bout de Ja première seconde sous l’action d’une force constante (110) , est égal à la moitié de la vitesse acquise à la fin de cette seconde; c’est-à-dire qu’il est ici io m , 549 = de sorte que les che-

vaux n’ont réellement développé, dans la supposition ci-dessus, qu’une quantité de travail de 56 o l X o”,2j5= i 54 k “, *oua l’effort des 36 o h il. , censé constant.

Pour développer réellement, dans la première seconde, la quantité de travail qui répond à la vitesse de 1“ acquise par la voiture, il faudrait que les chevaux exerçassent, à partir du repos, un effort constant qu’on trouvera au moyen de la relation F = MV, ; car ici V, doit être égal à i“, et par conséquent F = MV,= 1 020 kil. ; ce qui doane, pour chaque cheval , A 1 020= 1 27^,5. Or on sait, par expérience , que l’effort d’un cheval ordinaire, contre un obstacle qui cède peu au mouvement , peut être beaucoup plus grand et surpasser même 35 o kil. ; d’où il résulte qu’en réalité , nos Huit chevaux mettraient beaucoup moins d’une seconde de temps à imprimer la vitesse d’un mètre à la voiture , s’ils n’avaient pas à vaincre , en outre de l’inertie , la résistance du terrain , des essieux , etc.

» 48 . Observation générale sur le travail des moteurs. Ce que nous venons de dire du travail des chevaux, dans les premiers instans du mouvement de la voiture , s’applique , comme on le verra plus tard , généralement à tous les moteurs : l’effort qu’ils

APPLICATIONS , etc. Il']

exercent «ur les corps est d’autant plus grand que leur vitesse est moindre, et il diminue, d’une manière plus ou moins sensible, à mesure que la rapidité du mouvement augmente, jusqu’à devenir tout-à-fait nul quand enfin la vitesse égale la plus grande vitesse que ces moteurs peuvent s’imprimer ou acquérir par lé développement libre et complet de toute leur activité. C’est ainsi, par exemple, qu’un homme, un cheval qui courraient ou se mouvraient, a’une manière quelconque, avec toute la vitesse qu’ils peuvent prendre, ne seraient susceptibles (86 et suiv.) d’aucun effort extérieur un peu soutenu.

On peut donc déjà prévoir que, pour toute espèce de moteur, il existe un degré de vitesse qui est le plus avantageux possible sous le rapport du travail produit, puisque ce travail devient sensiblement nul (90) dans les deux cas extrêmes dont il s’agit. Mais c’est ce qui sera démontré plus clairement, par la suite, quand nous en viendrons à examiner les conditions du maximum d’effet, relatives à chacun des moteurs en usage dans l'industrie manufacturière.

« 49 - Exemples relatifs à la force vive des fardeaux et des eaux courantes des rivières. Supposons qu’un moteur soit employé à élever, à une certaine hauteur verticale, un poids de 5 oookil., soit directement, soit par l’intermédiaire d’une machine quelconque, et que la vitesse du mouvement, à l’instant où elle est la plus grande ( i 43 ) , soit de o m , 3 par seconde, ce qui est déjà une vitesse considérable pour un si lourd fardeau ; le travail consommé par l’inertie , avant l’instant où ce degré de vitesse est acquis , aura pour valeur i 5 V’ = X 0,09 = 23 l " envi-

ron. Si le moteur devait élever seulement le fardeau à i”de hauteur, il dépenserait 5 ooo k X i ra == 5 ooo lm , c’est-à-dire, au moins 210 fois le travail qui est nécessaire pour vaincre l’inertie dans les premiers momens; encore arriverait-il que cette inertie restituerait ( 1 43 ), dans le ralentissement du fardeau vers le haut, de sa course, le travail qu’elle avait primitivement absorbé.

Considérons encore le mouvement des eaux d’une rivière , telle que La Moselle , par exemple : on sait qu’à Metz , en particulier, elle fournit, même dans les grandes sécheresses, au moins 10 mètres cubes d’eau par chaque seconde , dont, le poids ( 34 ) est environ 10000 kil. Or cette eau coule naturellement, soit au-dessous, soit au-dessus de la ville et dans les endroits où il n’existe pas de barrages ni d’obstacles, avec une vitesse qu’on a mesurée et qui est moyennement de o“,8o. par seconde ; donc la force vive du volume de fluide qui passe, par chacun de ces endroits , dans une seconde de temps , est

" .m X o*.|8 X o m ,8 =5 65 a km environ f ce qui répond' à une*

quantité de travail disponible (i 36 etsuiv.) égaleà£ 65 a= 3 a 6 l “, c’est-à-dire (8a), d’environ 4£chevaux-vapeur, etqu’on pourrait' utiliser directement contre une roue de moulin , etc. Mais si , au lieu de se servir de la vitesse possédée par l’eau dans son lit naturel^ on construit des barrages ou digues, comme on l’a fait à Metz , on pourra élever son niveau et l’obliger à descendre, du haut de ces barrages, pour opérer sur les machines par son poids ou de toute autre manière : si, par exemple, le barrage fait élever ce niveau de a " 1 , 5 seulement, comme cela a effectivement lieu dans certaines parties de la ville, la quantité de travail disponible, répondant aux mêmes io" c d’eau et qu’ils pourraient fournir, dans chaque seconde, par leur descente de la hauteur de 2™, 5 , sera égale à ioooo v X 2 m , 5 = 25 ooo im — 333 £ chevaux -vapeur; quantité qui est, comme on voit, presque 77 fois plus grande que celle qu’on obtiendrait en utilisant simplement la force vive naturelle des eaux de la rivière. Or csla explique suffisamment l’utilité des barrages artificiels dans la pratique des usines hydrauliques.

l 5 û. Exemples relatifs à l'art de lancer P eau à distance. Nous venons de montrer comment le mouvement acquis d’une certaine masse d’eau , qui coule et se renouvelle constamment dans chaque seconde, représente une quantité de travail mécanique qu’on peut immédiatement calculer en chevaux de machines à vapeur; recherchons, à l’inverse, combien il faudrait de ces chevaux pour imprimer continuellement une vitesse donnée à un certain volume d’eau qui devrait être extrait d’un bassin ou réservoir quelconque où le liquide est en repos. Ce problème trouve son application particulière dans le jeu des pompes à incendie, où il s’agit de lancer, sur des parties embrasées d’un édifice et d’une certaine distance, un volume d’eau qui suffise ' pour éteindre le feu , et dont la vitesse de projection doit ainsi être d’autant plus grande que le trou ou l 'orifice par lequel sort l’eau , se trouve à une distance plus considérable du but qu’on veut atteindre. Supposons, par exemple, qu’il faille lancer cette eau, par l’orifice, avec une vitesse uniforme de 1 5 “ par seconde, et qu’il doive en arriver continuellement, sur le lieu de l’incendio et dans chaque seconde de temps, un volume de 6 litres pesant 6 kil. ; la force vive à imprimer, dans ce même temps, sera donc gt x (i5V r

égale à i- ~ 1 ^7,6 environ, dont la moitié 68 l “,8o me-

surera la quantité de travail nécessaire pour imprimer le mouvement à l’eau. Ce travail devant se reproduire dans chaque seconde, nécessitera, comme on voit, la force de £0,688= i,o3 de cheval-vapeur environ : mais il est clair qu’il faudrait en appliquer davantage au balancier de la pompe , attendu les frottemens

APPLICATIONS, etC. U 9

et résistances de toute espèce, qui consommeraient, en pure perte (io 3 ), une portion notable du travail-moteur.

S’il s’agissait de lancer continuellement, ou dans chaque seconde, un volume d’eau de 40 litres avec la vitesse de 3 o", on trouverait, par les mêmes calculs, que le travail strictement nécessaire à dépenser serait de i 835 v " par seconde; ce qui équivaut à une force de 24 et £ chevaux-vapeur environ. On peut croire que, par l’intermédiaire d’une machine à pistons, analogue aux pompes à incendie , le moteur devrait développer le travail d’au moins 3 o de ces chevaux; c’est-à-dire, qu’il faudrait employer une machine à vapeur de cette force, au moins, pour mettre la pompe en mouvement et produire l’effet désiré.

On remarquera que la vitesse de l’eau, à sa sortie de l’orifice, et le volume qui s’en écoule uniformément dans chaque seconde de temps, étant donnés, les dimensions de cet orifice et la grosseur du jet à sa sortie, ne sont pas arbitraires, et doivent être calculées suivant les règles de l’hydraulique qui seront enseignées dans la seconde année de ce Cours. On trouve, par exem-

S le, que, si l’orifie est percé dans une paroi plane et mince u réservoir, et qu’il soit à une distance convenable des parois latérales, son diamètre devra être d’environ 28 millim. dans le premier cas, et de 5 a millim. dans le second.

1 5 1 . Observations particulières sur les jets verticaux et inclinés. Au moyen de la formule V 1 — 2gll du n° 118, qui donne

H^= — , on trouvera sans peine, qu’avec la vitesse de i 5 mètres, - *5

relative au premier cas, l’eau pourrait s’élever verticalement à la hauteur de 1 1“, 47, qui est celle des étages supérieurs des maisons ordinaires, dans ce pays; et qu’avec la vitesse de 3 o m qui répond au second cas , elle s’élèverait à une hauteur de 48 m ,88; mais, à cause de la résistance de l’air, le jet atteindrait véritablement des hauteurs un peu moindres. 11 faudrait recourir à d’autres principes, que nous exposerons par la suite, pour calculer la distance et la hauteur auxquelles le jet parviendrait danï le cas où on lancerait l’eau sous une certaine inclinaison; néanmoins, comme il conviendrait peu alors de revenir sur les appli-< cations particulières qui font le sujet de cet article , et que nonaeulcment ces applications sont utiles pour apprécier les effets dea

Î ompes à incendie , mais qu’elles ont trait encore à des questions 'une haute importance pour la défense des places de guerre, noua ajouterons , en faveur des lecteurs qui voudraient approfondir de telles questions , quelques remarques qui ne seront peut-être paa sans utilité.

Nous avons vu n° 118, qu’il est impossible qu’une nappe d’eau retombe, même d’une hauteur médiocre , sans se diviser

en parties plus ou moins fines ; or c’est un effet qu’on doit chercher à éviter quand on se propose de concentrer l’eau en masse sur un point déterminé. Car, non-seulement la divergence naturelle du mouvement des parties ainsi désunies augmentera avec le chemin parcouru dans la descente , de sorte que l’effet sera disséminé sur une grande surface ; non-seulement la résistance de l’air aura alors (i 16 ) plus d’action pour retarder le mouvement et diminuer le chemin décrit; mais encore cet air absorbera ou s’appropriera , en vertu d’une de ses propriétés physiques bien connues, une portion beaucoup plus grande de la masse de l’eau; de sorte que , si le trajet doit être tant soit peu long , il pourra, dans certain cas , arriver que rien n’atteigne le but. Ces considérations prouvent donc qu’il est indispensable de diriger l’eau sous un angle tel que le sommet de la courbe qu’elle suit dans son mouvement, s’élf ve très-peu au-dessus du point qu’on veut atteindre : la résistance de l’air ayant nécessairement peu de prise sur la portion ascendante du jet, on pourra la négliger, et calculer toutes les circonstances du mouvement, comme s’il avait lieu dans le vide , d’après les méthodes connues et que nous exposerons en leur lieu.

l)ans le cas ci-dessus, par exemple , où la vitesse de l’eau, à son point de départ, est seulement de 3o m , on trouve que, la hauteur du but au-dessus de ce point étant de i5 mètres , la distance horizontale parcourue ou la portée atteindrait à peine 3o à 3a mètres; et que, si le but se trouvait de très peu élevé au-dessus du point de départ, sa distance à ce point ne devrait pas surpasser de beaucoup 35“, sans quoi la dispersion du fluide deviendrait considérable. Pour obtenir des portées plus grandes, doubles par exemple, il faudrait d’ailleurs augmenter la vitesse de projection de façon qu’elle fût de 42 mètres au lieu de 3o ; on trouverait alors que la force de la machine propre à lancer, dans chaque seconde, les 4° litres d’eau à cette distance, devrait être d’au moins 60 chevaux-vapeur; de sorte que, si on ne pouvait réellement disposer que de la moitié de cette force, il faudrait aussi se résoudre à ne lancer qu’un volume d’eau de 20 litres par seconde.

l52. Réflexions sur l’influence de l’inertie. Les exemples ui précèdent donnent une idée de l’influence qu’exerce l’inertie es corps dans certains travaux industriels, et des cas où il est permis de la négliger ainsi que les variations de la force vive : on voit bien, par exemple, que, dans le mouvement lent des corps, le travail que représente cette force vive, a, presque toujours, une valeur très- faible même pour des masses considérables; ce qui tient, ainsi que nous l’avons déjà dit , à ce que ce travail croit ou décroît comme le carré de la vitesse.

En général , lorsqu’un moteur est employé à faire mouvoir,

APPLICATIONS, etC. 131

pendant un certain temps , des corps ou machines quelconques pour produire du travail mécanique, ou pour vaincre des résistances autres que l’inertie propre de ces corps , on peut, sans inconvénient , ne pas tenir compte de cette inertie, toutes les fois que le mouvement sera constamment uniforme pendant la durée du travail, ou qu’il ne variera qu’entre des limites plus ou moins resserrées 5 car, dans l’un et dans l’autre cas , la dépense de travail, pour vaincre l’inertie, se réduira ( 1 4 1 et suiv. ) , une fois pour toutes , à celle qui répond à la différence des forces vives possédées par les corps au commencement et à la lin de l’action du moteur ; différence qui sera nulle toutes les fois que ce moteur prendra ou laissera les corps dans le même état de mouvement, et qui sera généralement une fraction trèsfaible du travail total , quand le mouvement sera long - temps continué.

N’oublions pas néanmoins que cela suppose expressément que les pièces, qui agissent les unes sur les autres pour communiquer le travail du moteur aux résistances , n’éprouvent point d’altérations intérieures ou moléculaires sensibles pendant le mouvement (io 3 ), et surtout qu’il n’y ait pas de chocs plus ou moins violens , plus ou moins répétés qui , presque toujours , entraînent de pareilles altérations (139).

Comme jusqu’ici nous n’avons parlé de la communication du mouvement par le choc que d’une manière générale, il convient de nous y arrêter quelques instans , et de montrer comment on peut , dans plusieurs des cas de la pratique , estimer, d’une manière suffisamment exacte, la perte de force vive qui en résulte et les circonstances particulières qui l’accompagnent.

De la communication du mouvement jiar le clioc direct des cor fis.

l 53 . Considérations générales. Quand deux corps ,.en mouvement, réagissent l’un sur l’autre par leurs vitesses acquises ou se choquent, ils présentent en général plusieurs circonstances qui permettent de partager en trois époques distinctes la durée entière du phénomène : dans la 1”, les corps se compriment, se refoulent ou bien se tirent mutuellement s’ils sont liés entre eux

Î iar des traits, des barres non tendues avant le choc; dans la 2™', eur déformation est devenue la plus grande possible, et ils ont nécessairement acquis la même vitesse aux points de leur action réciproque ; dans la 3 rae enfin , les corps reviennent à leur forme primitive, et tendent, de plus en plus, à se séparer en vertu de l’énergie plus ou moins grande de leurs forces de ressort.

Comme les phénomènes du choc des corps se reproduisent, d’une manière analogue, dans tous les cas possibles, nous nous bornerons à étudier, avec'quelques détails, l’un des plus simples d’entre

Digit

laa MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

eux , et qui se présente le plus fréquemment dans les applications de la Mécanique à l’industrie : c’est celui où un corps en repos est choqué par un autre corps déjà en mouvement: il sera très-facile ensuite d'étendre les raisounemens à des cas plus compliqués ou présentant des circonstances différentes.

1 54. Principe relatif au choc direct des corps. Il ne peut être jue du choc direct des corps , c’est-à-dire de A)et(A')fig. 35, réagissent continuellement la direction propre de leurs mouvemens , de telle sorte que la perpendiculaire ou normale AA', qui est commune à leur surface au point de contact T où se fait le choc , soit précisément la direction de la vitesse de chaque corps , et cela pour tous les instaus de ce choc C’est ce qui aurait lieu , par exemple, dans le cas où deux boules sphériques marcheraient parallèlement à elles-mêmes avant le choc , et de façon que leurs centres A , A' demeurassent continuellement sur une Ligne droite LN. Or on peut établir, pour ce cas , un principe général qui demeure applicable , quels que soient et l’intensité et le sens du mouvement de chacun des corps aux divers instans du choc ; il suffit , pour cela, de se rappeler ce qui a été dit au N° :3i .

En effet, il naîtra de la réaction mutuelle des deux corps, une force de pression mesurable, à chaque instant (63), par un certain nombre de kilogrammes, et qui agira, dans le sens de la droite A A', pour repousser le corps (A) de T vers L , et une autre force de pression égale et précisément contraire (64) , qui agira pour repousser le corps (A') de T vers N. Nommant donc F la valeur commune de ces forces à un instant quelconque du choc, v le petit degré de vitesse perdu ou gagné , au même instant, par le corps (A) , V celui que perd ou gagne le corps (A'), enfin P et M , P' et M', étant respectivement les poids et les masses des deux corps (A) et (A'), on aura , d’après le principe du N» :3i,

Mv=MV:

ici question encore celui où deux corps ( l’un sur l’autre dans

c’esfe-à-dire que les quantités de mouvement, perdues ou gagnées par les deux corps, seront égales entre elles pour chaque instant infiniment petit du choc: et la même égalité aura lieu aussi entre les quantités de mouvement totales imprimées, à chaque corps , entre deux instans quelconques de leur réaction mutuelle , c’està-dire entre les quantités de mouvement totales, soit perdues, soit gagnées par chaque corps en particulier.

l55. Du choc des corps pendant la compression. Nous supposerons ici que le corps (A') était au repos à l’instant où l’autre (A) est venu le rencontrer avec une vitesse finie et précédemment acquise, que nous nommerons V 5 ces corps se comprimeront donc réciproquement en vertu de l’inertie de (A') qui tend à s’opposa.

applications , elr. i a 3

au mouvement de (A), et, dés-lors, la force de pression F agira pour diminuer, à chaque instant, la quantité de mouvement MV du premier corps , de quantités qui seront égales à celles qu’elle fera naitre dans l’autre. Les choses continuant ainsi tant que (A) conservera, dans le sens deLversN, une vitesse supérieure à(A'), on voit bien qu’il arrivera un instant où, la compression, la déformation des corps étant au maximum , ces corps auront acquis la même vitesse et marcheront, en quelque sorte, de compagnie , du moins pendant un très-petit instant.

1 :>6. Vitesse des corps au moment de leur plus grande compression. Nommons U la vitesse commune dont il s’agit, la quantité de mouvement gagnée ou acquise par (A') sera , au même instant, M'U , et celle qui a été perdue par (A) sera MV— MU, laquelle, d’après ce qui précède, devra être égale à la première M'U. La quantité de mouvement totale MV, primitivement possédée par le système des corps, se trouvant donc être augmentée, d’une part,' et diminuée, de l’autre, de quantités égales, celle MU -t-M'U = (M-t-M'} U qui leur reste à l’instant dont il s’a^, ;it , sera aussi égale à la quantité de mouvement primitive MV*; le sorte qu’on aura

(M-HM')U=MV; d’où U = - > ™.-,.

Aini, sans connaître la manière dont les corps se compriment et dont varie l’intensité de F à chaque instant du choc , on n’en peut pas moins calculer la vitesse qui a lieu a l’instant de la plus grande compression : cette vitesse est égale à la quantité de mouvement possédée par (A) avant le choc, divisée par la somme des masses des deux corps.

1 07. Du choc pendant le retour des corps vers leur forme primitive. La plupart des corps tendant à revenir (19 et 97) , avec une énergie plus ou moins grande, vers leur forme primitive, .quand ils ont été comprimés à un certain degré , on voit que lès ressorts moléculaires vont, en se débandant, forcer (A) et (A') à réagir de nouveau l’un sur l’autre, mais pour s’écarter mutuelle^ oient, ce qui tend nécessairement à augmenter le mouvement déjà acquis de (A'), et à diminuer au contraire , de plus en plus , celui de (A) ; et, comme l’action est toujours égale à la réaction , il est clair, d’après ce qui précède ( i 54 ), que les quantités de mouvement gagnées par (A') seront sans cesse égales à celles qui sont perdues par (A). Les choses continuant ainsi tant que la force de réaction F n’est pas nulle , on voit bien qu’il pourra arriver un iqstantoù laquantité de mouvement MV, primitivement possédée par (A) , soit entièrement détruite, après quoi )a force F, qui continue à repousser ce corps, lui imprimera, en sens contraire, un

mouvement de plus en plus rapide , et qui ne cessera d’augmenter que quand F sera nulle; ce qui arrivera nécessairement à l’instant où les deux corps, ayant pris une forme telle qu’ils puissent la conserver naturellement sans qu’aucune force extérieure leur soit appliquée , se sépareront , l’un de l’autre , en vertu de leurs vitesses respectivement acquises.

. 1 58 . Du mouvement des corps après le choc. Il est clair, d’après ce qui précède , que ce mouvement ne peut, en général , se calculer , puisque nous ne connaissons pas non plus, en général , la loi qüe suivent les forces de compression F pendant la réaction des corps. Cependant le calcul est possible dans deux circonstance* principales qui servent comme de limites à toutes les autres , et qui répondent, l’une, au cas où les corps seraient entièrement privés d'élasticité, l’autre, au cas où, au contraire, ils seraient parfaitement élastiques.

Premier cas , des corps non élastiques. Nous avons vu (17) qu’il n’existe réellement pas de corps qui soient entièrement privés d’élasticité, ou qui ne tendent, jusqu’à un certain point, à retourner vers leur forme primitive , quand ils ont été comprimés. Toutefois on doit remarquer que, non-seulement les corps mous, les liquides , etc. , sont extrêmement peu élastiques quand ils ne sont pas maintenus, dans tous les sens, par des enveloppes solides; mais qu’aussi la plupart des corps, qu’on regarde comme plus ou moins élastiques, peuvent perdre entièrement (20) cette élasticité par suite de la grande compression , de la grande déformation qu’ils éprouvent pendant le choc; or, pourvu qu’ils 11e se divisent, ne se rompent, ou ne se séparent pas à l’instant de la plus grande compression , ils continueront à cheminer ensemble, en vertu de leur vitesse acquise, sans réagir désormais l’un sur l’autre ; de sorte que cette vitesse sera donnée, par la formule ci-dessus, toutes les fois que l’un des corps se trouvera au repos à l’instant où le choc arrive.

< Deuxième cas , des corps parfaitement élastiques. Toutes les ■fois que les corps seront suffisamment élastiques pour revenir ■exactement à leur forme primitive, après l’instant de la plus

f rande compression , la force de réaction F reprenant , dans le ébandement des corps, les mêmes valeurs (97) pour les mêmes positions relatives de ces corps, il est clair que les vitesses imprimées ou détruites seront précisément égales à celles qui l’ont été pendant la compression, si, comme on le suppose ordinairement, les corps se séparent à l’instant même où ils ont repris leur forme primitive. Or de là résulte un moyen de calculer, à l’avance , la vitesse des deux corps après le choc.

Pour le cas qui nous occupe, par exemple, la vitesse perdue par le corps (A)-è l’instant de la plus grande compression , étant (i 56 ) V— -U, il perdra de nouveau (157), dans le débandement, une

APPLICATIONS, etC.

vitesse égale à V — U , et par conséquent la vitesse qu’il conservera, après le choc, sera U — (V — U), ou aU — V, si V — U est moindre que U , ce qui indique que ( A) continue à marcher dans le même sens après le choc, ou (V — U) — U=V — aU , si V — U surpasse U, ce qui indique que (A) retourne en arrière après le choc. Quant au corps (A'), la force F lui a d’abord communiqué (i56) la vitesse Ù; elle lui imprimera donc, après l’instant de la plus grande compression, un nouveau degré de vitesse égal à U , c’est-à-dire que sa vitesse , après le choc, sera aU. Mais nous savons calculer (i56) la vitesse U; donc nous saurons aussi calculer celle des corps parfaitement élastiques au moment où ils se séparent après le choc.

Nommant W et W respectivement, ces vitsses des corps (A) et (A'), on aura, selon les cas spécifiés,

W= 2 U— V, W'=aU, j MV

W—ï\ — U, W'=aU, j U — M-f M'‘

1 5p. Remarques relatives à l’application ries formules. Il est une infinité de circonstances où les corps marchent forcément de compagnie , avec la même vitesse, après le choc, sans que,

K cela, ces corps aient été entièrement privés d’élasticité avant oc , ou qu’ils la perdent complètement par l’effet de ce choc : c’est ce qui arrive, par exemple, quand une balle d’argile ou de cire molle, lancée contre un corps résistant et élastique, demeure collée après ce corps, ou quand une balle dure et élastique, lancée contre un bloc de bois suspendu librement au bout d’une corde ou d’une barre, demeure enfoncée dans l’intérieur de ce bloc. Or il est bon de remarquer que les conséquences qui précèdent, relatives au cas des corps totalement privés d’élasticité , demeurent alors exactement applicables , parce qu’elles ne supposent uniquement que l’égalité de la vitesse U conservée, par ces corps, à la fin du choc. Quelle que soit en effet la cause ou la force qui oblige ces corps à demeurer réunis , comme cette force ne peut agir sur l’un d’eux, sans qu’une force égale et directement contraire agisse au même point et en même temps sur l’autre ( 64 ), on conçoit que, pendant toute la durée du choc, les quantités de mouvement perdues ou acquises par chaque corps, seront les mêmes pour tous deux j de sorte que finalement (A') aura encore gagné précisément ce que (A) aura perdu ( i56).

Quant au cas où les corps se séparent après le choc, on ne peut jamais affirmer que les choses se passent comme le supposent les calculs ci-dessus, même pour des corps qui seraient parfaitement élastiques et qui reprendraient exactement leur forme primitive après ce choc ; car il peut bien arriver , par exemple, que, pendant le débandement des ressorts, les corps

136 MECANIQUE INDLSTRIEtl.E.

soient retenus momentanément, l’un contre l’autre, par leur adhérence réciproque ou par toute autre force qui empêcherait que les quantités de mouvement, imprimées alors, soient aussi grandes que celles qui l’ont été en premier lieu. Enfin il peut aussi arriver que les corps aient subi, dans leur intérieur, des altérations moléculaires plus ou moins sensibles, sans qu’aucune trace ne s’en manifeste quant à leur forme extérieure, etc.

Ces considérations, jointes à ce qu’il n’existe, en réalité (17 et suiv.), qu’un très-petit nombre de corps qu’on puisse regarder comme parfaitement élastiques, expliquent pourquoi généralement les valeurs de la vitesse , à la fin du choc des corps solides, diffèrent toujours plus ou moins de celles que donnent les calculs, et se rapprochent plus ou moins de celles qui sont relatives au cas où les corps sont entièrement privés d’élasticité. Cependant il est des corps élastiques, tels que les billes de verre, d’ivoire, etc., qui, dans certaines circonstances de leurs chocs, présentent des phénomènes et acquièrent des vitesses qui s’accordent , à peu de chose près,*avec ce qu’indiquent les calculs.

1 (iO . T jEremp/cs particuliers. Faisons maintenant connaître quelques-unes des conséquences de nos formules. Supposons, par exemple, que la masse M' du corps choqué ( A') , fig. 35, soit trèspetite par rapport à celle M du corps choquant (A); la valeur

de U sera sensiblement égale à =V, c’est-à-dire que la

vitesse de M sera trèsjjpeu altérée à l’instant de la plus grande compression ; et, comme, dans le cas des corps parfaitement élastiques (i58), on a W=aU— V, W' = aU, on voit qu’à la fin du choc, elle ne le sera pas davantage, mais que le petit corps s’éloignera de l’autre avec une vitesse W' double. Supposons, au contraire, que la masse M du corps choquant soit très-petite par rapport à celle M' du corps choqué ; on voit que le dénominateur M ■+■ M' de U sera aussi très-grand par rapport au facteur M de son numérateur, et que par conséquent la vitesse U, à l’instant de la plus grande compression, sera également* une très-petite fraction de la vitesse V que possédait le corps choquant; de sorte que, si JM' est, pour ainsi dire, infiniment grand par rapport A M , la vitesse U pourra être considérée comme sensiblement nulle. Si donc les deux corps étaient doués d’une élasticité parfaite, la vitesse W', acquise par le corps choqué, serait elle-même infiniment petite, tandis que celle W— V aU du cOrps choquant serait V ; c’est-à-dire précisément égale et contraire à celle qu’il possédait avant le choc.

Ceci explique, entre autres , pourquoi les cordonniers placent, sur leurs genoux , une forte pierre pour recevoir les coups du marteau dont ils frappent les semelles de souliers , et commen' 1 est possible de forger du fer sur une forte enolu me posée su

APPLICATIONS, etC. «7

le corps d’un homme ou sur le plancher flexible d’un étage supérieur, sans blesser cet homme, sans endommager sensiblement ce plancher et les murailles de la maison. On voit, en effet, que la vitesse communiquée à la pierre ou à l’enclume, et par suite aux corps qui les supportent, est extrêmement faible comparativement à celle que possède le marteau ; de sorte que la flexibilité, l’élasticité naturelle de ces corps suffit pour amortir les effets du coup sans qu’il survienne d’accidens.

On s’expliquera aussi facilement une infinité de phénomènes, relatifsaux corps élastiques où non élastiques, quisc passent journellement sous nos yeux : il n’est personne , par exemple , qui n’ait observé que, quand une bille de billard vient à en choquer une autre directement , c’est-à-dire de la manière dont nous l’avons entendu précédemment (1 54), il arrive qu’elle s’arrête tout à coup dans la place même qu’occupait cette autre, tandis que celleci chemine avec toute la vitesse de la première; or, c’est ce que montrent très-bien nos formules. Les masses RI et M' de deux corps sont ici égales, l’élasticité, est pour ainsi dire, parfaite, de sorte que la vitesse U, commune aux deux corps à l’instant de

la plus grande compression , égale =:£V, celle W de RI après

le choc égale aU — V=0 , et enfin celle W' de la bille choquée égale aU ou V.

1 6 1 . De la force vive des corps après le choc. D’après cè que nous avons déjà dit, N°» 9^et »3q, on peut prévoit que , dans le choc des corps parfaitement élastiques, la force vive perdue pendant la compression, doit être précisément égale à cèllè qui est restituée dans le débanderaent, tandis que, dans le choc des corps qui ne reprennent pas exactement leur état primitif «.près l’instant de la plus grande coin pression , la somme des forces vives doit être altérée d’une quantité précisément égale au doublé de la quahtité de travail nécessaire pour produire l’altération de forme ou de constitution éprouvée par tes deux corps; quantité qu’on pourrait directement calculer (i36 et i3y) si l’on connaissait, pour chaque instant du choc et pour chaque corps, la valeur moyenne de la force de réaction F et «elle du petit enfoncement qu’elle produit dans ce corps. Il est évident , en effet, que le travail, relatif à cet instant, serait mesuré (7a et 86) par le produit de F et de la somme des enfoncemens qui lui correspondent dans les deux corps. Mais, comme on ne connaît ni la loi què suit cette force , ni celte de l’enfoncement , on n’a d’autre moyen de mesurer, soit le travail, soit la force vive développés ou perdus dans le choc des corps, qu’en les déduisant directement des vitesses que possèdent ces corps avant et après l’instant du choc, vitesses qu’on ne peut calculer rigoureusement d’ailleurs (i5ç) que dans un petit nombre de cas.

Die

ia8 MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

Par «temple, ayant appris, dans les cas ci-dessus (i56) oû'nn corps en choque un autre au repos, à calculer la vitesse U qui leur est commune à l’instant de la plus grande compression, nous pourrons aussi trouver la force vive qu’ils possèdent à cet instant , et la perte de force vive due à la réaction de leurs ressorts moléculaires. En effet, la force vive totale (m et 126) était, avant le choc, MV% et, à l’instant que l’on considère, elle esc MU’-t-M'U’ou (M-t-M') U’ ; donc la perte de force vive a pour valeur

MV’ — (M -t-M') U’.

Mais on a trouvé ( 1 56)

MV TVPV a M’V*

U— --- --- 5 donc (M-t-M') ■ — - —

D’une autre part, MV’ est la même chose que

(M+M)MV> M’V’ . MTtfV’

M-f-M' ’ 0U qu ® M-t-M' -1 " M-f M r J donc enfin la perte de force vive est égale à , M'MV’ M'