f-o,oo 3 j 5 n

formule qui donnera, de suite, cette densité sans passet par la série des raisonnemens qui précèdent, et qui permettra aussi de calculer la densité d’un autre gaz quelconque en y remplaçant le

E oids i ll ,299i de l’air à a" et 7 6‘ de pression, par celui qui, dans 1 table du N" 36 , répond au gaz dont il s’agit. Il est d’ailleurs entendu , relativement aux vapeurs (3 et 5 ), que leur quantité est supjrosée rester la même, c’est-à-dire, que celte quantité n’est ni augmentée par la vaporisation d’une nouvelle portion de liquide, ni diminuée par la condensation d’une portion mêmede la vapeur s

0,01 7 ih

APPLICATIONS, etc. igi

D’après ces données , la formule générale du N° 202 , qui sert à calculer la résistance des fluides, deviendra (1 18) , pour l’eau ordinaire ,

R — 1000 AAH — ... AAV 3 = 5o,gj5 AAV’kilogr, et, pour l’air à ia“ et 75 e ,

R=i,qiG; XAH^^- AAV J =o,o6a53*AV’ lilogr. ,

ce qui diminuera le nombre des opérations à effectuer dans chaque cas particulier.

212. Exemples concernant la navigation des bateaux Sur les canaux et les rivières. Considérons un des grands bateaux qui naviguent sur la Moselle, et dont la forme, assez avantageuse, est à peu près telle que l’indique là fig. 56 , eu plan, coupe et élévation. Supposons que sa plus grande largeur, prise extérieurement et au niveau de l’eau ou de laÿlottaison, soit de 3” ; que la profondeur du fond au-dessous de ce niveau , ou le tirant d’eau , soit de o m ,70; l’aire A, de la section plongée dans le fluide, sera un peu moindre que 3 m Xo m ,7=s"“ 1 , 10, soit i m,, ,6o la valeur exacte de cette aire. Les bateaux dont il s’agit ont une longueur qui est environ 5 à 6 fois leu/ plus grande largeur ; s’ils étaient sans proue ni poupe, ou que cefussent de véritables prismes terminés par des plans perpendiculaires à leur axe, la valeur du multiplicateur k serait (ao5) environ >,10, attendu qu’ici le bateau est censé se mouvoir dans le fluide, et que la longueur AB de la partie plongée se trouve comprise entre 3 fois et 6 lois la largeur moyenne. Mais, comine il y a une poupe, ou doit d’abord (106J diminuer ce nombre de de sa valeur, c’est-à-dire de o, 1 1 , ce qui donne k = 0,99 ; en outre , le bateau a une proue dont les faces latérales sont raccordées par des demi-cercles avec les flancs, et dont le dessous est un plan incliné d’environ ~ d’angle droit et raccordé pareillement avec le fond, on peut croire que la résistance ou la valeur de k se trouve réduite, au moins, à L de 0,99 ou à o,33. Nous prendrons donc définitivement k—Q, 33 pour les bateaux dont il s’agit; de sorte que la résistance aura (21 1) , pour valeur, R = 50,975 X o,3o X i m<1 ,6 X V a =25, 20V 3 kilog.

Si le bateau se mouvait dans un canal qui eût moins de 5 à 6 fois sa propre largeur, il faudrait augmenter un peu le multiplicateur 25,20 , conformément à ce qui a été expliqué à la fin du N" 208 : le contraire ayant lieu ici , nous conserverons ce nombre tel qu’il est. Supposant donc que le bateau se meuve , dans une eau tranquille, avec la vitesse de i m par seconde, on aura

V'=i , Xi‘=i m ’ ) et R = a5 k ,20.

La quantité de travail que devraient dépenser directement,

iga MÉCANIQUE INDUSTRIELLE.

par seconde , des hommes ou des chevaux, pour faire avancer le bateau avec cette vitesse, serait donc de 25 k ,ao X i m = a5 v “,ao : c'est ce qui aurait lieu , à peu près, dans les canaux intérieurs de la ville de Metz , parce que la Moselle n’y a qu’une vitesse insensible. Mais, s’il s’agissait de remonter la rivière dans des endroits où la vitesse de l’eau serait de i m ,a par exmple, en faisant toujours avancer le bateau de 1“ par seconde par rapport aux rives, ce bateau étant choqué (199) avec la vitesse relative de i“=2 m ,2 =V, la résistance deviendrait alors

î5,so X 2",î X î",3 = iss k environ, et la quantité de travail à' dépenser, par seconde, aurait pour valeur i22 km . Si, au contraire, le bateau devait descendre le même courant avec la vitesse propre de ce dernier, il n’y aurait point de travail à dépenser, car la vitesse relative V serait nulle aussi bien que R ; mais , s’il devait descendre avec une vitesse de, 2 ra ,ao par seconde, la vitesse relative étant 2 m ,20— -i“,2 = x m , la résistance et le travail seraient, comme dans le premier cas, égaux à 25 k ,2 , et a5 k “a respectivement; par quoi l’on voit toute l’influence qu’exerce la vitesse relative du corps et. du fluide.

Ces chiffres montrent aussi combien le transport des marchandises, sur bateaux, est désavantageux quand il s’agit de l’effectuer, avec une certaine vitesse , par l’entremise des canaux et dès rivières ; car, àicirconstances égales d’ailleurs, la résistance croit comme le carré de la vitesse relative , et le travail dépensé par seconde comme le produit de ce carré par la vitesse absolue du bateau ou du moteur. Plus le canal sera petit d’ailleurs par rapport à la section du bateau , plus la résistance sera considérable; enfin cette résistance et par conséquent le travail, augmenteront pro-' portionnellement à la largeur du bateau et au tirant d’eau.

Ce tirantd’eau se calcule aisément, à l’avance, quand on connaît le poids du bateau et de la charge qu’il contient. En effet, nous ‘ savons (voy. la Note de la p. 24) que ce poids total égale celui du volume de fluide déplacé par le bateau, ou iooo kl1 multipliés par ce même volume qui sera ainsi connu, et d’où l’on conclura, d’après la forme donnée de la carène du bateau , la hauteur de la flottaison au-dessus du fond, ou le tirant d’eau.

A l’inverse, on calculera aisément la charge du bateau quand on connaîtra son propre poids, et qu’on se donnera la hauteur dont son fond doit être abaissé au-dessous du niveau de l’eau. Supposons , par exemple , que , dans le cas ci-dessus , le poids de toute > la charpente du bateau soit de i6ooo ka , et que la longueur réduite de sa carène soit de 25“ vers le milieu de la partie plongée ; sa section d’eau A, étant d’ailleurs d’environ i mq ,6, le volume total du fluide déplacé sera i" <1 ,6 X 25 = 4°”% et son poids > 4 oooo ka ; retranchant, de ce nombre, les x6ooo k que pèse le bateau , il restera 24ooo k pour le poids de la charge utile qui correspond au tirant d’eau de o“70, supposé ci-dessus.

APPLICATIONS , etC. 1 93

2 1 3. Exemples concernant les volans à ailettes. Les tournebroches et les horloges , qui reçoivent le mouvement par la descente de contre-poids, sont armés, comme on sait, de volans à ailettes planes et minces , fixées à l’extrémité de tiges ou. de bras montés sur des axes de rotation ; ces ailettes, en se mouvant circulairement dans l'air, éprouvent, de sa part, une résistance qui croit rapidement avec la vitesse que leur imprime le' poids moteur par l’intermédiaire des rouages , et servent ainsi à régulariser le mouvement, ou à empêcher qu’il ne s’accélère indéfiniment comme cela aurait lieu (i i3et suiv.) si aucune résistance ne s’opposait à la descente du contre-poids, ou si celle que lui opposent directement la broche, les rouages, etc., était constamment audessous de l’action qu’il éprouve de la part de la gravité.

Soit A = o m ,o5 X o m ,o6 = o nK| ,oo3 l’aire de la surface de la palette, on aura , dans le cas présent (2o3) , la palette étant à peu près perpendiculaire à la direction du chemin qu’elle décrit, k — 1,4 pour des vitesses comprises ( 210 ) depuis o jusqu’à 3 m , k — 1 ,4 —— — i,45 pour des vitesses comprises depuis

3 m jusqu’à 5 mètres, k= 1,4 ^4 = 1 ,5o, pour des vitesses comprises depuis 5 jusqu’à 10 “*, etc. Supposons, par exemple, qu’ayant calculé la vitesse d’après le nombre des révolutions du volant, autour de son axe, en une minute, on ait trouvé V=4 m ; on aura donc, à peu près, k= 1 ,45, et (21 i)R= 0,0625 X 1 ,45 Xo n,,, oo3 X 4 " X 4 m== o k ,oo 44 , résistance assez faible, mais qui devien- 0,68 , .

droit (2x0) o ,44— ° >48, ou environ 109 fois plus forte, si

la vitesse était de 40 mètres au lieu de 4 m , et qu’il faudrait doubler s’il y avait deux ailettes de même surface , octupler au moins (203) si, en outre, les dimensions de ces ailettes étaient ellesmêmes doublées , etc.

2 14 - Exemples relatifs au mouvement des moteurs animés, etc. On voit bien maintenant pourquoi la résistance de l’air peut être négligée toutes les fois que les corps , sans avoir une étendue de surface excessive , ne possèdent pas une très - grande vitesse (90). Ainsi, par exemple, la surface de la projection verticale d’un homme ordinaire debout, étant au-dessous de o, m 4'*' 2“ — O m4 ,8o, et le multiplicateur k de la résistance qu’iléprouve, étant nécessairement au-dessous de celui 1,20 qui convient ( 2 o 5 ) à un prisme très-peu alongé dans le sens du mouvement, puisqu’il le corps est arrondi en avant et en arrière , la résistance sera aussi moindre queo,o625X 1,20X0,8 V’ = 0,o6X V'kil. Si donc la vitesse de cet homme était de 1 m par seconde, la résistance qu’il éprouverait , delà part de l’air, serait moindre que o k ,o6j pour 2 m de vitesSe, elle serait moindre que o,o6X2X 2

= o k ,24; par conséquent aussi le travail (71)» dépensé par cet homme pour vaincre, à chaque instant, une telle résistance, serait au-dessous de o km ,o6 dans le premier cas, et au dessous de o k ,a4 Xa in = O l, ",48 dans le second. Mais, si la vitesse était de 6“, ce qui est à peu près la plus grande vitesse qu’un coureur puisse s’imprimer d’une manière un peu soutenue, la résistance s’élèverait ( 210 ) à plus de o k ,o6 X 6 m X6"=j',i 6 , et le travail à plus de 2 k , i6X6” = i2 k “,o6; ce qui est déjà considérable par rapport au travail que'peut développer habituellement un homme, même robuste, et nous fait ainsi découvrir l’erreur de chiffres du N° 90 où l’on a écrit 5 à 6 1 ” au lieu de 1 à 2 m .

JLes chevaux ne présentent pas, à l’action directe de l’air, une surface beaucoup plus grande que celle de l’homme; et, comme leur forme est plus alongée, mieux disposée en tous points, la résistance (206) égale au plus 0,04 XV’ kilogrammes; elle est donc très-faible pour une vitesse de 1 à 2 mètres, c’està-dire pour celle du pas et du trot ordinaires ; mais il en est autrement pour la vitesse de course qui , dans certains cas fort rares il est vrai, peut s’élever jusqu’à 12 et même » 4“ j en effet on a alors R = 0,04X14 X i 4 = 7 k , 84 , et le travail par seconde — 7 k , 84 X r 4 ° 1 = 1 »O kra ; ce qui est énorme et approche du double de la quantité de travail que fournissent ordinairement (146) les bons chevaux de rouliers marchant au pas. Aussi les coursiers les plus agiles ne peuvent-ils soutenir un semblable travail pendant plus de 8 à 10 minutes consécutives, tandis que le cheval de roulier soutient le sien, sans se fatiguer à beaucoup près autant, durant au moins huit heures chaque jour, c’est-à-dire pendant 48 fois autant de temps que celui dont il s’agit. Nous avons donc eu raison de dire (90 et 1 48) que la quantité de travail extérieur que produisent les moteurs animés, quand ils s’impriment la plus grande vitesse possible, peut être négligée par rapport à celle qu’ils développeraient si la vitesse était moindre. On doit aussi sentir combien il importe, dans les courses rapides, de diminuer, par des moyens convenables, l’étendue des surfaces qui reçoivent le choc de l’air; de donner à ces surfaces la forme la plus avantageuse, et d’éviter sur-tout (204) que des draperies et ornemens quelconques, mal ajustés au corps ou qui ne flotteraient pas librement, viennent présenter, ainsi que le font les voiles de navires, constamment leur concavité à l’action du courant.

On ne s’étonnera pas d’ailleurs que les ouragans, dont la vitesse surpasse quelquefois 4°'" par seconde , puissent renverser des arbres et des maisons. Considérons, en effet, un mur de jardin qui aurait 4“ de hauteur sur i2 m de longueur, et qui serait choqué directement ou perpendiculairement par le vent , avec une telle vitesse : on aura A = 48 "’' 1 et Æ=i2,5o au moins (2o3 et 210), attendu qu’on peut ici négliger l’épaisseur du mur relativement à lVtendue de sa surface. Par conséquent (2n) la ré-

APPLICATIONS, etC. 1 9^

SiÏÏfta ‘Cl S densité est environ 8,5 fois plus grande o tous les nombres ci-dessus devraient être multiplié» par

8 , 5 puisque la résistance R est, à circonstances égalés , proportionnelle à la densité p du fluide.

E ES îcrgi .

faitement déterminée pour chaque circonstance J.

D’après ces données, la résistance du boulet , dans 1 «r «tmo^ phérique dont la température est 53>< raq 6 X

rtf?i5:ls;sSSSS2

ainsi , on pourra former cette table

Vit a" 4 m 6”, 8 m , io m , i*", l 1“t ,6m ’ 00

la table. Si ce même diamètre n ’etait que le T deo ,.5ou^,

n » tr îiraii quc i la

quail autrefois , est seule, naît de ^ MeWredéjà

partis au mode de coulage él de lafeffcaüon.

résistance serait réduite au ~ de sa valeur. Le boulet étant toujours en fonte de fer, son poids diminuerait dans une proportion bien plus grande encore : il serait seulement 3^12*, 68:=:o k , 469 pour le diamètre de 5 e , et •pLji2 l ,68 = o k ,ioi 4 environ pour celui de 3 °.

Ces circonstances tiennent évidemment à ce que les volumes et les poids des sphères homogènes ( 33 ) sont entre eux comme les cubes des diamètres , et que les surfaces de leurs grands cercles , représentées par À, sont simplement entre elles comme les carrés de ces mêmes diamètres. Enfin , si , au lieu d’être en fonte de fer, les boulets étaient en bois , ou en toute autre substance moins dense, leurs poids diminueraient en conséquence, mais la résistance de l’air resterait la même pour un même diamètre, parce qu’elle ne dépend que de la forme et de l’étendue de la surface du corps.

Résistance* des fluides imparfaits et indéfinis , ou pénétration des corps durs dans les corps mous.

2 1 6. Considérations préliminaires. Nous avons déjà dit (200 , art. 1°) ce qu’on devait entendre par les mots fluides imparfaits ; nous avons aussi prévenu que leur résistance ne suit pas la même loi que celle des fluides d’une mobilité parfaite, et que les expériences connues portent à la considérer comme tout-à-fait constante à partir de l’instant où le mobile est convenablement enfoncé dans le milieu ; enfin nous avons ajouté que cette même résistance paraît être, notamment pour les corps durs sphériques, proportionnelle à l’étendue de la projection transversale CD (Fig. 45 ) du corps sur un plan perpendiculaire au mouvement ; proposition qu’on peut aussi admettre , en attendant de nouvelles expériences , pour les premiers instans de l’enfoncement d’un corps dur dans un milieu résistant qui serait terminé par une surface perpendiculaire à la direction du mouvement, pourvu qu’on ne prenne que la projection transversale de la portion de surface déjà enfoncée dans ce milieu.

Il est certain que ces propositions n’auraient plus lieu pour des corps quelconques, notamment pour des cylindres ou des prismes très-alongés dans le sens du mouvement, parce que l’adhérence et le frottement sur les faces latérales , acquerraient une certaine influence (200, i°); nous avons déjà eu occasion d’en faire la remarque dans le N” 167, et c’est ce que nous démontrerons , d’une manière plus positive, quand nous en serons venus à l’examen particulier de la résistance des outils et de la forme la plus avantageuse à leur donner, selon les circonstances; nous prétendons seulement ici rapporter les résultats principaux des expériences faites sur la pénétration des boulets dans diverses substances consistantes, afin d’offrir de nouveaux exemples de

y.Googk 4

APPLICATIONS, etc. I97

l’application des principes contenus dans les Préliminaires et concernant ce mode d’action des forces.

217. Formule pour calculer la résistance. Nommant, en général, R la résistance totale exercée, par le milieu, contre le mobile supposé toujours assez dur pour ne pas être déformé sensiblement pendant toute la durée de la réaction ; appelant d’ailleurs d son diamètre; cette résistance R, calculée pour un même milieu compressible et homogène, sera donc proportionnelle à jir d* = j 3 ,i 4 i 6 d *=0,7854 cf% ir étant le rapport de la circonférence du cercle à son diamètre ; et, en raisonnant comme au N° 20a, On trouvera que , pour avoir sa valeur absolue dans chaque cas particulier, il faudra encore multiplier \*d‘ par un certain facteur k relatif ici au degré de dureté ou de consistance du milieu , et qui représentera, en kilogrammes, la pression sur V unité de surface^ de la projection transversale du corps , par exemple sur 1 mètre carré, d étant exprimé en mètres linéaires, ou sur un

centimètre carré , d étant exprimé en centimètres linéaires.

On remarquera en outre que, si le milieu est tellement consistant que le passage du corps ne se referme pas immédiatement en arrière à mesure qu’il s’y enfonce , ce corps sera de plus pressé, dans le sens du mouvement et par l’air atmosphérique , en vertu d’un effort mesuré ( 3 y) par environ j»i’ X io 33 o kilog. , d ’ étant ici estimé en mètres carrés, ainsi que nous l’admettrons dans tout ce qui va sui vre. Mais la valeur de cet effort est , comme nous le verrons à l’instant , tout-à-fait négligeable par rapport k la résistance qu’opposent la plupart des substances cohérentes au mouvement des corps; c’est pourquoi nous nous dispenserons d’en tenir compte dans la question dont il s’agit. Nous pourrons donc prendre, pour base de nos calculs et en négligeant d’ailleurs les effets qui se produisent avant l’instant où la résistance a atteint sa valeur maximum , ce qui sera permis toutes les fois que l’enfoncement total excédera 8 à 10 fois au moins le diamètre du projectile, nous pourrons, dis-je , nous servir de 1a formule générale

R = AXL»<f’ — lk *d' = 0,7854 kd\

218. Résultats des expériences connues. Il a été fait à diverses époques , sur les enfoncemens des projectiles en plomb et en fonte de fer, dans des substances de différentes natures, des expériences qui malheureusement ne sont pas encore assez nombreuses ni assez précises, du moins quant aux milieux très-consistans tels que les métaux et les maçonneries, pour permettre de déterminer, avec une exactitude suffisante, la valeur du multiplicateur k qui représente la dureté des milieux. Nous rapporterons néanmoins ici, à cause de leur grande utilité, quelques-unes des valeurs qui ont été calculées avec beaucoup de soin, par M. le chef de bataillon du génie Augoyat, dans son important Mémoire

cité pag. 182, en observant que celle qui concerne les balles de plomb n’est applicable qu’autant que la réaction ne serait pas suffisante pour déformer ces balles pendant la durée de l’enfoncement; car leur aplatissement consomme une partie de la force vive qu’elles possédaient avant de pénétrer dans le milieu , et fajt croître, en outre, la résistance tout au moins en raison de l’accroissement de la surface variable , qui en résulte. Enfin , nous devons aussi remarquer qu’il s’agit de milieux qui ont de trèsgrandes dimensions par rapport à celles des projectiles.

• Désignation du milieu, et c. Résistance pour x métré carré

Terres légères rassises depuis long-temps; bal- kj| a(jn

les de plomb non déformées, vitesse de aoo m , k zn 2 002000 — 193,8*

Terres de parapets anciennes ; boulets de fer, k z=r 1900000 — i 83 , 9 .

Memes terres nouvellement remuées et damées, k — i5aoooo — * 147 , 3 .

Chêne très-sain et très-dur, k — 5 aoo 000 — 5o3,4»

Vieux chêne passé , id. ... , , f— 4 5oo 090 — 435,6-

Orme sain et dur, dans la.direction des fibres, k = 493°° 00 — 477 i 3.

Bois de sapin, * k — 3860000 — 376,9.

Maçonnerie de briques, . ... k — 9040000— 875,1.

Maçonnerie en moellons avec parcmens de

pierres dures, k — i3oooooo — 3390,3.

,Ce dernier résultat est une réduite ou moyenne entre plusieurs autres et sur laquelle il reste encore beaucoup d’incertitude; il semble, en effet , que, dans de pareils cas, il conviendrait d’estimer séparément la résistance pour le parement dur et pour l’intérieur des maçonneries, attendu que les circonstances du mouvement changent nécessairement dans le passage du projectile, d’un milieu dans un autre. On pourra néanmoins l’admettre en attendant de nouvelles expériences plus précises ; et, dans tous les cas , les résultats rapportés dans le tableau serviront à donner une idée de la résistance bu de la dureté comparée de certains corps. Nous verrpns bientôt d’ailleurs comment ces niâmes résultats ont pu être déduits directement, par M. Augoyat, des enfoncemens observés dans les diverses circonstances.

219. Calcul de la durée et de la profondeur de la pénétration. Maintenant nous remarquerons que la force R, qui produit le ralentissement continuel du mouvement du projectile , étant constante pour un même milieu, il s’ensuit (107) que le mouvement sera uniformément retardé, et qu’on en pourra calculer toutes les circonstances au moyen des principes des N°* 1 10, 1 13, i3o et suivans. Ainsi on sera en état de calculer le temps que le mobile met à parcourir un espace donné, dans le milieu , ou à ia-

APPLICATIONS y CtC. TQg

lentir sa vitesse primitive d’une quantité donnée , enfin la durée et la profondeur totales de son enfoncement, etc. ; mais, comme nous ayons. déjà présenté des exemples de ce calcul dans les N"‘ i47j 167, 168 et 177, nous nous contenterons d’ajouter quelques remarques particulières relatives à l’objet dont il s’agit ici.

La question la plus importante qu’on ait ordinairement à se proposer sur l’enfoncement des projectiles, c’est de trouver la totalité de cet enfoncement correspondant à une vitesse donnée du projectile, et pour un milieu dont le degré de consistance ou de résistance se trouve indiqué dans la table. Or cet enfoncement se calculera facilement dans chaque cas, puisque nous savons que la force vive détruite, pendant la pénétration, est précisément égale à la force vive possédée par le projectile à l’instant où il a atteint le milieu, et a, par conséquent, pour valeur (« 36 ), le double de la quantité de travail développée, par la résistance constante H , pendant toute la durée du îuouvementdans l’intérieur de ce milieu; car nous supposons expressément que la masse de ce dernier soit très-grande par. rapport à celle du projectile, auquel cas la vitesse générale imprimée à cette masse, est tout-à-fait insensible (160). En nommant donc, à l’ordinaire, P, M, V le poids, la masse et la vitesse du projectile à son entrée dans la substance pénétrable, E l’enfoncement total de ce projectile, on aura (71 et 137), pour calculer E , l’égalité

MV’ — - V’ = aRE , ou PV’^aREç.

Mais, si nous supposons que le projectile soit un boulet de diamètre d, son volume sera ±*X£rf 3 0u t étant le rap-

port de la circonférence du cercle au diamètre, c’est-à-dire 3 , 14 16 environ ; par conséquent son poids aura aussi pour mesure la quantité frfX jrrf’X D, D étant la densité ( 35 ) de la matière qui le compose. Enfin nous aurons R=ÆX » a? 1 ; donc l’égalité ci-dessus revient , en divisant chacune de ses parties par le double 2 . j nd 1 de la surface du grand cercle de la sphère, à celle-ci

i<£DV’=*E£-, d’où E = V* ,

dans laquelle g=.q m t 8088, comme on sait.

Considérant, par exemple , le boulet de 24» du N° 175 , qui est animé d’une vitesse de 5 oo m , et supposant qu’il s’agisse de connaître son enfoncement dans le bois de chêne dur , on aura (35 et 218), d=z o m ,i 5 , l)=72oo l , V= 5 oo m , #=9“, 81 et k =: 520 oooo kl1 , en nombres ronds , et par conséquent

, o“ , ) i5X3’oo k

r X ( 5 oo m )