I OC
de ce corps; car, si l'on compose successivement toutes les forces, en partant d’un point quelconque du corps, les points d’application des résultantes successives étant toujours compris outre les deux points d'application des forces que l’on compose, resteront constamment à une distance infiniment petite de tous les points du corps. Cette simple observation permet de ramener au calcul la détermination des centres de gravité des corps, sans aucune recherche préalable. 11 suffira, pour cela, de les décomposer en éléments infiniment petits dans tous les sens, parce qu’alors on pourra prendre pour centre de gravité de ces éléments un point quelconque de leur surface ou de leur intérieur, ou même en dehors, et à une distance infiniment petite; car on n’altérera qu’inliniment peu les coordonnées du centre de gravité de chacun de ces éléments , et, par conséquent, son moment ne sera en erreur que d’une quantité infiniment petite par rapport à lui-même. Donc la limite de la somme des moments ne sera pas altérée, et l’on peut établir cette proposition générale :
Le produit du poids d’un corps par la distance de son centre de gravité à un plan quelconque, est égal à la limite de la somme des produits des poids de chacun de scs éléments infiniment petits en tous sens, par les distances d’un quelconque des points de ces éléments respectifs, ou d’autres points infiniment voisins , à ce même plan.
Si le corps est homogène, le poids d'une quelconque de ses parties est égal à son volume multiplié par le poids spécifique de la substance; mais, s’il ne l’est pas, le poids d’un élément sera égal à son volume multiplié par un poids spécifique moyen , qui ne différera que d’une quantité infiniment petite du poids spécifique de la substance en un quelconque des points de cet élément. Ainsi, dans ce cas, on multipliera le volume infiniment petit de l’élément par le poids spécifique relatif à l’un quelconque de ses points
COURS OE StÉCANIQUE.
ou des points infiniment voisins; et, en substituant ce produit au poids réel de l’élément, il n’en résultera aucune erreur dans la limite de la somme des poids et de leurs moments.
Il est facile de voir comment toutes ces considérations s’appliquent aux surfaces et aux lignes. Nous allons les examiner successivement.
Centres de gravité des lignes.
1U. I ^cs équations d'une ligne dans l’espace déterminent deux coordonnées en fonction de la troisième, par exemple y et z en fonction de x. L’expression de l’élément
de la ligne est dx ^ i 4- — -|- ^ = ds, et son poids pds ,
p étant une fonction connue de x , qui exprime le poids spécifique de la ligne au point que l'on considère. En appelant P le poids dont les extrémités correspondent aux
abscisses jr 0 , X ,
on aura
! pxds ,
dr.
Pjr.=
1 pyds,
Pz, —
d’où l’on tirera P, x ,,74, z ,.
Si la ligne est homogène, p est constant, - est la longueur s de l'arc, et l’on a simplement
Si la ligne est plane , on la supposera dans le plan XY, et il suffira de faire z — o dajis les premières ou les secondes formules, suivant que cette ligne a un poids spécifique variable ou constant. Dans ce dernier cas, elles deviennent
s = J a-ry I -f- — ) f-r, = J xds, fr,=zj yds.
Centrés de (jravilé des surfaces.
115. Si l’on conçoit une surface courbe décomposée en éléments infiniment petits dans tous les sens, par deux séries de plans, les uns perpendiculaires à l’axe des x, les autres à l'axe des^, nous avons vu que l’on pouvait prendre, au lieu de l’élément même de la surface , l’expression
dxdy \J
/ dz\* ( dz\i
i M . h- , qn e nous represontetons par
d A. Soit p la fonction de x et y, qui exprime le poids spécifique en un point quelconque de la surface; le poids de cet élément sera pd A , et ses moments seront pxd A , pjdA , pzdA ; on aura donc, en désignant par P le poids de faire totale que l’on considère,
p =ff/ jdA < Px t ~ffp.rdk , P.r, = ffpydk, Vz,—ffpzdk.
Les limites de ces intégrales sont les mêmes que pour la quadrature des surfaces courbes.
Si la surface est homogène, p est constant et - est faire totale que nous représenterons par A : on aura alors
A = [fd.tdy y/, -h ( ^ , A ar, -ffxd A ,
Ay, =ffyd\, Kz,= fJ'zdA. ■
COURS OR MLCANIQUK.
Ilü. Surfaces de révolution. — - Le centre de gravité d'une surface de révolution homogène est évidemment situé sur son axe. Si on le prend pour axe des x, on aura
et il suffira de connaître x t . Si l'on considère la partie de la surface comprise entre les deux plans correspondants aux valeurs x 0 et X, on aura , en désignant son aire par A , et par y l ot donnée de la génératrice.
On connaîtra ainsi A et ensuite x,.
117. Surfaces planes. — Lorsque la surface est plane, ou la rapporte à deux axes situés dans son plan.
Les formules générales s'appliqueront à ce cas en y supposant z = o; elles deviennent alors
P=JJ'pdxdx, Px t =ffpxdxdjr, Py t =zff pjrdxdjr.
On intégrera d’abord par rapport à y entre les deux valeurs y o, Y qui sont des fonctions de x données par l'équation de la courbe qui termine la surface. On aura ainsi des fonctions de x qu’on intégrera entre les valeurs extrêmes x„ , X.
Si la surface est homogène, p est constant, - est faire A , et l’on aura
A szffxdxdjr, A r y ~ffjrdxdy y
ou '
H8. Corps solides. — Décomposons le corps en une infinité de tranches par une série de plans perpendiculaires à l’axe des x; coupons-le ensuite par une série de plans
perpendiculaires à l’axe des y: les parties comprises entre deux plans consécutifs d'une série et deux plans consécutifs de l’autre seront précisément celles que nous avons considérées dans la mesure des volumes en général. Mais, comme nous devons prendre içi des éléments infiniment petits dans tous les sens, nous supposerons uue troisième série de plans perpendiculaires à l’axe des z , et le corps se trouvera décomposé en parallélipipèdes rectangles ayant pour arêtes dx, dy, dz.
Pour chacun de ces parallélipipèdes dont les coordonnées de deux sommets opposés sont x, y, z et x -t- dx, y -y dy , z -y dz, on prendra x , y , z au lieu des coordonnées du centre de gravité, et la fonction p qui exprime le poids spécifique sera rapportée aux mêmes valeurs x,y, z ; nous avons prouvé que la limite de la somme des moments n’en sera pas altérée. De cette manière, le poids et les moments de cet élément par rapport aux plans coordonnés pourront être remplacés respectivement par
pdxdydz, px dx dy dz , pydxdydz, pztlxdy dz.
Soient z 0 , Z les fonctions de x et y qui expriment les ordonnées de la surface inférieure et de la surface supérieure du corps; on fera d’abord la somme des éléments en supposant quexet restent constants, et que z passe par toutes les valeurs entre z 0 , Z; c’est-à-dire qu’on intégrera ces expressions par rapport à z entre les limites z„, Z, et l’on obtiendra ainsi des fonctions de x et y seulement, qui exprimeront le poids et les moments de la partie du corps comprise entre quatre plans infiniment voisins, dont deux sont perpendiculaires à l'axe des x et les deux autres à l’axe
1 1 .j COURS DK DKCAHlgtlB.
des ) . Ces fondions auront pour expressions
pZ
dxdy J pdz,
xdxdy f pdz.
' Je.
pZ
y dx dy j pdz ,
dxdy j pzdz
Je.
Pour avoir le poids et les moments du volume compris entre les deux plans perpendiculaires à l’axe des x, il faudra intégrer ces fonctions de x et y par rapport à y en considérant x comme constant, et prenant pour limites de y les deux fonctions de x qui expriment les ordonnées de la courbe qui est la projection de la surface sur le plan XY, et que nous avons donné le moyen de déterminer dans le Cours d' Analyse. Désignant pary 0 et Y ces fonctions connues de X , les sommes relatives à la partie comprise entre
les deux plans seront
pY pZ
pY pZ
dx I dy f pdz,
xdx 1 dy j pdz,
dy. dt .
Jy , Je,
dx ^ ydy J 1 Pdz,
pY pZ
dx 1 dy 1 pzdz.
Jy, Je,
Ces quatre expressions ne renferment plus que la variable x, et ou les intégrera entre les deux valeurs de x relatives aux deux plans perpendiculaires à l’axe des x entre lesquels le corps se trouvera compris. Ces valeurs x» et X sont , en général , celles pour lesquelles les plans tangents au corps sont perpendiculaires à l’axe des x. Dans tous les cas, on saura les déterminer d’après la forme de la surface, et les expressions des sommes seront respectivement
J pX />Y p7. pX. y /*Z
f dx I dy J pdz, I xdx I dy I pdz,
x, Jy, ' j* , J*. ■ Jy. Je,
J n\ pi /»Z p\ pi pZ
dx I ydy I pdz , I ' dx I dy I pzdz. -
r, - ’ Jy, Jt, dx, Jy, s Jt,
PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 1 l5
On pourrait effectuer ces intégrations dans un ordre différent et commencer par la 6omtnc des éléments pour lesquels x et z seraient constants, ou encore y et z. On pourra même suivre uu ordre différent pour chacune des quatre expressions si l’on y trouve quelque avantage : on obtiendra toujours les mêmes valeurs définitives, puisqu’elles représenteront le poids du corps et les limites des sommes des moments des mêmes éléments considérés seulement dans un ordre différent. Si nous désignons ces diverses expressions' par
fffpdxdydz, fffpxdxdydz, fffpydxdydz, fffpzdxdydz,
en faisant les intégrations comme nous l’avons indiqué, les coordonnées x, y, z seront déterminées, ainsi que le poids P, par les quatre équations suivantes :
p = SJ'S P <lxil ï dz -> Vx x = fffpxdxdydz,
P r, = SSJpy dx dy du , P 2 , = fff pzdxdydz.
Si le poids spécifique est constant, ces équations deviennent, en représentant par V le volume du corps qui est égal
v = ffj d* < l X dz , Vx,= fffxdx dy dz ,
Vy^fffy'tedydz, \z,=fffzdxdydz.
On peut effectuer dans ce cas une des intégrations, par exemple celle par rapport à z ; on aura , en prenant pour limites z„ et Z,< •
V — ff (Z — s.) dxdy , V*. = //(Z - *.) xdxdy ,
Vr, = //{ Z - z,) y dxdy , Va, = {ff( Z* - 2 J) dxdy ,
les limites relatives à^etx étant les mêmes que précédemment.
Enfin, si l’on pouvait rccounaitre immédiatement ie
centre de gravité de ]a partie comprise entre deux plans infiniment voisins, perpendiculaires à Fnn des axes, par exemple à l’axe des x, on prendrait ces parties pour les éléments du corps, et il n’y aurait que la seule variable x dans l'expression de leurs moments par rapport à YZ; une seule intégration donnerait donc le centre de gravité du corps, s’il devait se trouver sur une ligne connue. Nous allons en donner quelques exemples.
119. Soliilcs de révolution. — La substance qui compose le solide de révolution étant supposée homogène, il résulte de la symétrie que le centre de gravité est situé sur l’axe, soit qu’on considère le corps entier, ou une partie comprise entre deux plans perpendiculaires à cet axe. Si, pour plus de simplicité, on le prend pour axe des x , il suffira de trouver x, , parce quej', et z i seront nuis. On aura , dans ce cas . les deux équations suivantes, dans lesquelles Y et y„ désignent les ordonnées des deux courbes qui terminent l’aire génératrice située dans le plan XY :
\ — it f X (Y' — y\)dx, Vx,= 7t J' (Y 1 — jr\)xdx,
d’où l’ou tirera \ et x, .
120. Cylindres. — Si l’on considère un cylindre homogène ayant une base quelconque terminée par un contour polygonal ou curviligne, et qu’on le partage par des plans parallèles aux bases, la somme des moments est nulle par rapport au plan également distant des bases; le centre de gravité est donc sur ce plan.
Si l’on conçoit ensuite un système de plans infiniment voisins, parallèles entre eux et aux arêtes, le cylindre se trouvera décomposé en parallélipipèdes dont les bases seront les éléments des bases du cylindre, et dont les moments seront proportionnels à ceux de leurs bases, par rapport à tout plan parallèle à leurs faces finies. Donc les
PREMlfcttF. ASNEF.. — STATIQUE. I 17
sommes des moments, soit des faces, soit des parallélipi— pèdes, seront nullcs pour le même plan. Donc tout plan parallèle aux arêtes, et passant par la ligne qui joint les centres de gravité des deux bases, contient le centre de gravité du cylindre. Donc ce point se trouve et sur cette droite, et sur le plan équidistant des bases; il est donc au milieu de la droite qui joint les centres de gravité des deux bases.
121. Si le corps était rapporté à des coordonnées polaires, on emploierait le mode de décomposition indiqué dans le Cours cV Analyse ; mais on chercherait encore les coordonnées rectangulaires du centre de gravité. Les équations entre les coordonnées rectangulaires et polaires sont
z — r cos9, y = rsin&sinji, x = rsinOcosji.
Nous avons vu que l’élément du volume avait pour expression r* sm9 dQdÿdr. Donc l'élément du poids sera />;•’ sin 9 d9 d ip dr , et son moment par rapport à chacun des plans s’obtiendra en multipliant celte expression, successivement par x, y, z ou leurs valeurs en 9. r. On aura ainsi
P = fjjpr 1 sinO dO dÿ dr,
Px, = J'JJ'pr* sin*0 cos^ dOd-t/dr,
P/, — J JJ pr'sin’9 sin-{< dO dtydr,
P z, — J' JJ pr* sin 0 cos 0 dO dÿ dr.
Les limites de ces intégrales sont les mêmes que celles que nous avons indiquées dans la cubaturc des solides.
Diverses propriétés des centres de gravité.
122. Soit un nombre quelconque de corps ayant respectivement pour poids />, p', p’\ et dont les centres de gravité respectifs soient distants du centre de gravité de leur sys-
Il8 COURS UE MECANIQUE.
tème , do quantités p, p', p", ... ; prenons ce centre pour le point de rencontre de trois axes rectangulaires avec lesquels les lignes p, p', p",. . ., font les angles a, 6, y, a', £', .
Le théorème des moments donnera , relativement aux trois plans coordonnés ,
(i) 2ppcosa = o, 2ppcosS = o, 2pp cosy = o.
Donc il y aurait équilibre entre des forces appliquées à un point situé à f origine , c'est-à-dire au centre de gravité du système, dirigées suivant les droites p, p', . . . , et propor-, tionnelles aux produits po, p'pL La- réciproque est évidente.
Si les poids p, p', . . . sont égaux, les forces sont proportionnelles aux distances du centre de gravité du système, aux centres de gravité des poids égaux qui le composent.
123. Si maintenant on ajoute les carrés des premiers membres des équations (i), on obtient, en désignant par pp' l’angle des deux rayons p et p',
2 p’p’ -+- 2 2 pp' pp' COS pp' — O.
Mais p’ 4-p'* — app'cospp'= r’, r étant la distance des centres de gravité des corps p, p'; donc
2 p’p’ -t- Z pp’ ( p’ + p ” — r’) =, o.
Tous les termes qui renferment p’ ont pour expression pp s (p -hp' -hp" -h ■ • , et l'on en trouverait de sem-
blables pour p' 3 , p" 3 , etc...; de sorte qu’en posant - p -1- p' - 4 - p" -t- . . . = P, on aura
P2pp’ = 2 ppV.
Si tous les poids sont égaux et en nombre m, on a Zr ! = m’Lp 3 .
Cette dernière proposition est un cas particulier de la suivante, où l’on suppose que L origine des coordonnées
rnK>ui.Br aünkf.. — statique* iiij
cs't un point quelconque de l’espace. Le théorème des moments donne alors, en représentant par R la droite menée, de l’origine au centre de gravité du système , par a , />, c les angles qu’elle fait avec les axes, par p, p',.--i les distances de l’origine aux centres de gravité des poids p, p',..., et par a, |3, y, oc', |S', les angles que ces droites forment
avec les axes,
PR cosfl = ïpp cos »,
PR cos b = ipo cos 6 ,
PR cosc = ïpç cosy;
d’où, en ajoutant les carrés des membres de ces équations et observant que les seconds membres sont les mêmes que dans le cas précédent,
P’R 1 = P ipp' — ïpp' r*.
De cette équation 011 conclut que si la distance II du centre de gravité d’un système à un point fixe quelconque restant constante, ce système invariable de forme se déplace d’une manière quelconque , la somme des produits des poids par les carrés des distances de leurs centres de gravité à ce point fixe sera constante.
En effet, R étant constant ainsi que les distances dési- , guées par r, il en résulte que Spip 1 est constant.
O 11 voit encore que Y.j> p 5 est le plus petit possible quand R = o, et, par conséquent, le centre de gravité d’un système jouit de cette propriété, que la somme des produits des poids par les Carrés des distances de leurs centres de gravité respectifs à ce point est un minimum .
Théorème de Guldin.
121. Le volume V, engendré par la surface plane comprise entre deux courbes dont les ordonnées sont v», Y, et
120 COURS 11* MKCAJfIQUK.
deux parallèles à l'axe des y correspondantes aux abscisses x 0 , X , a pour expression
V= * f (Y J — y\)dx.
Mais l'ordonnée y, du centre de gravité de la surface eu question , dont nous désignerons l’aire par A , est donnée par l’équation
Ar, = *f (r-.ri)rfx;
donc
et, par conséquent, le volume engendre par une aire plane, tournant autour d’un axe situé dans son plan, est égal au produit de cette aire par la circonférence déente par son centre de gravité.
12iî. La surface A , engendrée par la révolution d un arc de courbe plane tournant autour d’un axe situé dans son plan, a pour expression
A =r 2rr I yds.
Mais l’ordonnée y, du centre de gravité de l’arc s est donnée par l’équation
*r.= f yds-,
dr,
donc
A — 7 .iry x s ,
et , par conséquent , l’aire engendrée par un arc de courbe plane , tournant autour d’un axe situé dans son plan , est égale à cet arc multiplié par la circonférence décrite patson centre de gravité. Ces deux propositions constituent ce que l’on appelle le théorème de Guldin.
PRF.M1E&E ANNEE. STATIQUE. 1
Les aires ou les volumes décrits dans une partie quelconque de la révolution étant proportionnels à l’angle dont la figure a tourné, il s’ensuit que, pour ce avoir la mesure, il faudra prendre l'arc décrit par le centre de gravité au lieu delà circouférence entière.
126. Si une surface plane tourne successivement autour de plusieurs axes, le volume engendré s’obtiendra en multipliant son aire par la somme des arcs parcourus par son centre de gravité. Cette proposition , étant indépendante de la distance des axes, a lieu encore quand ils se succèdent à des distances infiniment petites, pourvu qu'ils soient toujours dans le plan de la surface mobile; et, dans ce cas, deux axes consécutifs peuvent être parallèles ou se rencontrer.
Par exemple, si l’on suppose une courbe plane, et que la surface génératrice se meuve de manière que son plan soit toujours normal à cette courbe et soit toujours percé par elle au même point, et que tous les points n’aient que des mouvements parallèles au plan de la courbe directrice, on peut regarder un pareil mouvement comme produit par le développement du plan de l’aire génératrice qui serait enroulé sur le cylindre qui aurait pour base la développée de la directrice: il est la limite du mouvement qui aurait lieu autour d’axes perpendiculaires au plan delà directrice et qui tendraient indéfiniment vers les arêtes du cylindre en question.
Si, pour plus de généralité, on considère une courbe à double courbure décrite par un point constant du plan de la surface génératrice , auquel elle soit encore constamment normale, et que l’on prenne pour axes successifs les perpendiculaires aux plans osculateurs menées par les centres de courbure de la directrice, on pourra encore appliquer la même proposition; car, quoique ces axes successifs ne se coupent réellement pas , on peut , en ne considérant que les limites, négliger l’erreur qui en résulterait, parce que
COOUS UE MECANIQUE.
leur distance est une quantité infiniment petite d’un ordre supérieur au premier.
On peut se représenter ce mouvement en supposant que le plan de la surface génératrice soit enroulé sur la surface polaire de la directrice, qui est le lieu des axes autour desquels s’exécutent les mouvements successifs. Si l’on déroule ensuite ce plan sans glissement, il sera constamment normal à la directrice , et sera toujours rencontré par elle au * même point. Par cette suite de rotations infiniment petites , la surface donnée engendrera un volume égal au produit de son aire par la courbe décrite par son centre de gravité. Pour que ce théorème ne subisse aucune modification, il faut supposer que la surface génératrice ne vienne jamais couper les axes de rotation successifs.
Volume du cylindre tronqué.
["21 . Le volume d’un cylindre tronqué dont la base est sur le plan X Y et les arêtes perpendiculaires à ce plan est exprimé par V = JJ zdxdy , z étant l’ordonuée du plan, et les limites des intégrales étant déterminées par le contour de la base qui peut être composé de lignesdroites ou courbes. Mais si l’on appelle f l’angle des plans des deux bases, les
éléments de Paire de la base supérieure sont — ; celte
1 cos y
aire totale sera — — , en désignant par A la base inférieure,
COS y 1
et 1 ordonnée du centre de gravité de la base supérieure sera donnée par l'équation
cos y
zdxdy
COS y
oïl
Aï,
zdxdy .
Donc \ = A Zf Le volume est donc égal à sa base multi-
pliée par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la base supérieure sur le plan de la base inférieure.
Remarquons maintenant que les centres de gravité des deux bases sont sur une même parallèle aux arêtes. Car, si l'on prend les momentsdes éléments correspondants dxdyei
par rapport à un même plan quelconque parallèle aux
arêtes, ils seront dans le rapport de cos <p : i; donc ils seront nuis en même temps, et par conséquent tout plan, parallèle aux arêtes, qui passe par le centre de gravité d’une des bases passe par le centre de gravité de l’autre. Ces deux centres sont donc sur une môme parallèle aux arêtes. Ainsi, les centres de gravité de toutes les sections planes que l’on peut faire dans un cylindre indéfini sont sur une même droite parallèle aux arêtes; et, par conséquent, toutes les sections du cylindre, menées par un même point de cette droite, ont ce point même pour centre commun de gravité.
Si l’on suppose maintenant un cylindre tronqué dont les arêtes soient obliques sur les deux bases, on peut le regarder comme la différence de deux autres qui auraient pour base la section orthogonale; la dill'érence des perpendiculaires abaissées des centres de gravité des deux bases sur le plan de cette section sera la droite qui joindra ces deux points. D’où résulte ce théorème :
Le volume d’un cylindre tronqué quelconque est égal au produit de la section orthogonale par la droite qui joint les centres de gravité de ses deux bases.
On peut encore énoncer cette proposition d’une autre manière, en observant que le rapport de la section orthogonale à l’une des bases est le cosinus de l’angle de leurs plans ou le sinus de l’angle des arêtes avec cette base, et que , par conséquent, il est égal au rapport de la perpendiculaire à cette base, abaissée du centre de gravi té de l’autre,
124 COUBS I>K MÉCANIQUE.
à la droite qui joint les deux centres. On aura ainsi cet autre énoncé :
Le volume d'un cylindre tronqué est égal au produit d’une des bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de l'autre sur le plan de la première.
Application des formules précédentes.
128 . Arc de cercle. — Soient K (fig. 32) le rayon AB de l’arc MIN , B le milieu de cet arc 5 posons
MN = c , MBN = l.
1-a symétrie de 1 arc par rapport à l'axe des x montre que son centre de gravité est sur cet axe ; on a donc y, = o ; et .r, sera donné par l’équation suivante : ,
te, — frets = R f ds cos H 1 sin i 4- C = R c.
Ainsi on a la proportion '
129 . Arc de ejeloïde. — L’équation différentielle de la cycloïde rapportée à son sommet est
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rix
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<is = y 2 a . — •
On aura donc, en faisant commencer l’arc au sommet,
s — 2 \Jlay ,
-fydi = v'2 af >’/// = -•'(f " 1 ’>
Çxdy ; j. i
sx, — y 7. a J = 2 v'ao (xy 1 —fy ’ dx)
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= 2 y 2fl [ xy * -t- } (2fl — /) “ | 4 - C:
et corurnc sx, doit être nul , pour y = o , on aura
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d’où
