y/rc de parabole. — Soient

on aura

+ t’,.k±iE±a],

en supposant que l’arc commence au sommet, et, par conséquent, devienne nul pourj' = o; on trouvera ensuite

*ri — '-f r^y ù'+ p' = £-{?'-*■ P'Y —

*•*< — '~S xcl r V?+? =/*' dx y/x 4-^ =/ùx y/x’4-^ ( J+ f)\/ J>+ T 4 J 4 -/> 4 - 4 y/x 3 4 -Y

On connaîtra donc ainsi .r, et y,.

131 . Aii'e r/n triangle. — On prendra l’origine à l’un des sommet^ , et l’axe des x perpendiculaire à la base. Les

droites dont les deux autres côtés font partie auront des équations de la forme

y — nix , y — ni x.

Soient a la base et h la hauteur, l’aire du triangle sera

ah

égale à — ■> et l'on aura ensuite

- x, = — ni ) J x'tlx — (»i' — ni) ,

ah

y<= H m ' 7 — "*’) / x ' dx = — g —

Faisant x = h et désignant par /> l’ordonnée /« du

milieu de la base, il vient

— IL Zl—L.

La dernière équation montre que le centre de gravité se trouve sur la droite qui joint le sommet au milieu de la base; et la première indique qu’il est situé aux deux tiers de cette ligne à partir du sommet, ou au tiers à partir de la base.

132. Aire du cercle. — Soit y’ = R* — x’ l’équation du cercle, et cherchons le centre de gravité de l’aire comprise entre deux parallèles à l’axe des y, correspondantes aux abscisses x 0 , x. Nous aurons, en désignant les aires par la lettre A , -

Af, =3 J" o.x t/R- — x'dx = — i (R 1 — x>y -H }(R’— x\)’ ; supposant x — R , il vient

l'KI MIKBE AXNfcK.

STATlyCK.

et

A ss R ! arc cos A — x„ y* R 1 — x' •

Si , de plus , x„ ~ o, ou aura

Si, au lieu d’un segment, on considère un secteur, la question se ramène de suite à trouver le centre de gravité d’un arc de cercle. En effet, le secteur peut être considéré comme la limite d’une infinité de triangles égaux ayant leur sommet commun au centre. I.es centres de gravité de ces éléments sont équidistants et situés sur un arc de cercle compris entre les mêmes rayons que le premier, et décrit du

même centre avec un rayon égal à Le centre de gravité

du secteur sera donc le même que celui de cct arc.

133. Aire de la parabole. — Soit j' 5 = 2 px, on aura , en considérant l’aire comprise entre l’axe des or, l’ordonnée et l’arc partant du sommet ,

: \!lp

'JÏPJ

A = — - — .r* î A.r, =r f xydx = y/ 2 /; J x 1 dx=z — >

cl’où

A 7t — y'dx. —pfxilx ai ; .

x, = ix, =

134. Aire de la ejeloïde. — L’équation de la cycloïde rapportée à son sommet est

X =• "J — r 1 4* a arc cos i

i a8 d'où

cocus de xiuiuyut.

En considérant 1 aire comprise entre l’arc, l'ordonnée et la tangente au sommet , qui est l’axe des x, on aura

r , / (y — a)V2nr — y 1 a’ n — y

A — f dy \ 2 tiy — r = : : | arc cos — •

On aura ensuite

Ax, =r f xdy yiay — y’

— ./ 'fy ( 2 tty —y') ■+- a f arc cos - ~~ dy \lltiy — y--

La première intégrale est égale à ay * — Quant à la

seconde, nous aurons, en intégrant par parties,

J arc cos — — — djr y 2 a y — j 5

- arc cos 1 °-rS4r \l*ay^-y'- / S'h

° — y \[y— «)Va«.r — y 1 . a * à— y |

> 1 arc cos •

= arc cos -

- rr^

- fl) dy

rt 1 a — x

T ai V LW3 -

arc cos

arc cos

fl 2 (

hIvs-

arc cos

(r — n) \f?.ar — y’ n — y

— : — arc cos —

-t- T arc cos - ) — y- -+- — -f- C.

PREMIÈRE ANNEE. — STATIQUE. | 5>q

Substituant cette expression dans la valeur de Ai,, nous aurons

a a 'y . » y* , «{y—a)\/ltay — y' a— y

a X, — -f- r — tt ■+■ — — arc cos