t * rc c° s — I

La constante arbitraire est nulle, en considérant comme égal à zéro l’arc dont le cosinus est i .

La valeur dej', sera donnée par la formule suivante :

Aj l =7MW î «/-r , =ï/(r-« + «)^v f î«r-/'

“(y — a)\j^ay — y 1 a 3

arc cos -

ar, et sont donc déterminés.

On aurait à effectuer des intégrations du même genre, si l’on considérait un segment placé différemment par rapport à la cycloïde.

135. Surfaces de révolution. — Soit d’abord la surface sphérique engendrée par le cercle dont l’équation est

on aura entre les limites T, et r,

A = 2 r. f yds = 2 irR f dx = 2 7r R (x — x,), Ax, = 2 TT f xyds — 7. TT f xRrfx = n-R (x* — xJ );

d’où

13b. Considérons maintenant la surface engendrée par un arc de la parabole ayaul pour équation

y'xxlpx.

l3o COURS OE MECANIQUE.

tournant autour de l’axe des x. On aura

ydy — pdx, ds :

dy<J y 7

A = — J ydy + +

A x,z=—f xydy s/y'+p 1 = j,fy‘dy \J y ’ -t- p-

= p\j (r+ + /,,)T/rf - r ]

Si l’aire commence à partir du sommet de la parabole, on aura

r 2 * P 7 r , 2îr / ,J C = — , C--^-

137. Considérons encore la surface de révolution engendrée par la cycloïde tournant autour de sa tangente au sommet; son aire aura pour expression

L’abscisse de son centre de gravité sera donnée par l’équation

Ax, = 2 7 T / xyds = 2 it >[7. a f xy* dy

= 27T \[ïa (ix/’ — \f y 1 dx)i

mais

fy r dx = fydy\j2a—y = —\y(™—yy — Tï{*a—yy + Ci

donc

\x, = iir xy \[ 2 p- -t- ^5 (3/ + 4 «)( 2 « — y y -H c '-

PRKMIKRK AIVHI&K. — STATlyUF..

Si l’aire commenrc au sommet, on a

laSrra 1

x, est donc déterminé.

Si l’on fait y — 2 a , 011 trouve

16 na 1

Exemples relatifs aux volumes.

138. Pyramide triangulaire. — Prenons l’origine au sommet de la pyramide, et Taxe des x perpendiculaire à la base. Soient b l’aire de cette base, et h la hauteur de la pyramide; on aura

D’ailleurs les centres de gravité des sections parallèles à la base sont en ligne droite, et, par suite, celui de la pyramide est sur celle même droite , qui joint le sommet au centre de gravité de la base. La valeur de X, montre qu’il se trouve aux trois quarts de cette ligne à partir du sommet; et comme on a choisi une base quelconque, le centre de gravité d’une pyramide triangulaire est le point de rencontrede toutes les lignes qui joignent un sommet au centre de gravité de la base opposée.

139. Cône à base quelconque. — Si l’on considère d’abord une pyramide polygonale , on peut la partager en pyramides triangulaires, et l'on reconnaît sans peine que son centre de gravité est sur la ligne droite qui renferme

COURS t)B MECANIQUE.

ceux des sections parallèles à la base , et qu’il se trouve aux trois quarts de cette ligne à partir du sommet. Cette proposition étant indépendante du nombre des côtés de la base s'applique à un cône dont la base est une courbe plane quelconque.