Vu'Y (î -+- V'u

Tï

u* du

/ A' u 1 du

A' étant donné par l’équation suivante :

«’ette équation ne peut donner qu une seule valeur positi\e pour A ■. Les deux valeurs négatives se rapportent aux livperholoides homofocaux.

Si le point jasc trouve à la surface même de l'ellipsoïde, on a A' = A , et la seconde limite des intégrales est i : ce qui donne pour les composantes de l’action sur un point de la surface de l’ellipsoïde,

’ 1 u'du

(i + Vu’) 7 [ i -t-V'u’)’

1 1 u’du

1 u’du

Si le point est intérieur à l’ellipsoïde , on ne devra considérer que l’action d’un ellipsoïde semblable passant par ce point. Mais le rapport de sa masse au cube de son demi-axe des x sera le môme que pour l'ellipsoïde proposé ; on pourra

donc laisser ^ dans les formules (6) qui représenteront encore les composantes cherchées.

On reconnaît alors cette propriété remarquable, que chaque composante de l’attraction d’un ellipsoïde sur un point intérieur ne dépend que de la coordonnée parallèle, et lui est proportionnelle.

On peut remarquer que les formules (5) peuvent se déduire de la seule intégrale qui entre dans la première. Soit, eu e(Tet,

r A' n’du

on trouvera , en dill'érentiant LX par rapport à X,

d.XL

/ A' u 1 du

+ V'isy

«Ht»

et, dificrentiant X'L par rapport à X',

rf.VL d y

u’ du

ce qui changera les équations (5) dans les suivantes :

„ 3 M y a 3M/6 rf.VL

„ 3M/y rf.VL A 3 d\ ’

mais il faut bien remarquer que , quand on aura X' = X, il ne faudra faire cette supposition qu’ après avoir difl’érentié XL et X'L.

174. Ellipsoïde de révolution aplati. — Si l’on suppose B = C, on a un ellipsoïde de révolution aplati aux pôles; dans ce cas, X' = X, et l’on trouve

3 M/a /*A' u'du A« / i d a

3 M/6 /**' ,odu A 3 / (i-t-X 3 « , ) J ’

3 M /y /•*’ u'rfn A 3 / (l -H X* «*)*

Or, on a

u'du i

-xrr, = (*“ — arclang>«),

i + Va» V

r u u'du I l

J. (TTÏ^ = M“ s '“-7

d'où résulte X =

__/. arctang ),

arctanc

3 M/y a VA

7 / ï A l AA' \

- ^arc tang Â'M-'VÂ’ /

On fera A' = A si le point est la surface même de l’ellipsoïde. Si X = o, l’ellipsoïde se réduit à une sphère, et les formules ( 7 ) coïncident avec celles que l’on connaissait pour ce cas.

17;». Ellipsoïde de révolution allongé . — L’ellipsoïde sera encore de révolution si A = H, mais il sera allongé vers les pôles; on aura alors X = o, et les formules ( 5 ) deviendront

r* u ' ,iH

Jo

Or, on a

îV v/l

PIIRMIKRE AWK.K.

STATIQUE

et l'intégrale qui entre dans Z s’en déduira en la multipliant par X' et dillércntiant le produit par rapport à X'; on trouvera ainsi

u’du

Jo (,

et, par suite,

fi'A / X' 3 A' , /VA . / V’A'M

La'V ,+ , U + v ,+ a'.]J’

X'A / V’A 3 , /).'A / V’aAI

a' \/ ,+ -F l ’ , + "ÂV-T

— Va —

i ( VA i t /, i A '