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L’ellipsoïde se réduira encore à une sphère eu supposant C = Aou X' = o; les formules (8) se réduiront à | , et , traitées par les procédés ordinaires , elles reproduiront encore celles qui conviennent «à ce cas particulier.
iSous allons maintenant faire connaître les méthodes au moyen desquelles on résolvait le même problème, avant que celle de M. Chasles fût connue.
Autres méthodes />our calculer l'attraction des ellipsoïdes.
176. Le calcul direct de l’attraction d’un ellipsoïde homogène sur un point est beaucoup plus facile quand ce point est dans son intérieur ou à sa surface que quand il lui est extérieur. C’est le cas que l’on a traité d’abord; on a ramené ce calcul à des quadratures simples, et les géomètres ont dirigé leurs efforts vers la réduction du second cas
au premier. Ils ont découvert deux théorèmes qui remplissent cet objet : l’un , qui porte le nom de Maclaurin , quoiqu’il 11’ait été démontré par ce géomètre que dans un cas particulier; l’autre , qui est dû à Ivory. ISous allons exposer ces différentes théories qui résolvent aussi complètement que possible ce problème, si important dans la théorie du système du monde. Poisson, après beaucoup d’efforts, est parvenu à faire directement le calcul de l'intégration pour le point extérieur ; mais nous ne ferons pas connaître ses recherches sur ce point, parce que les calculs sont trop compliqués, et qu’ils ne nous paraissent pas très-importants pour la question en elle-même.
Soit l’équation de l’ellipsoïde
Soient a, ê, y les coordonnées du point intérieur attiré auquel nous supposerons une masse égale à l’unité; p la densité de la matière homogène qui compose l’ellipsoïde; Ç, n , £ les angles que fait avec les axes la direction d’un rayon vecteur quelconque mené par le point p; du> un angle solide infiniment petit dans la direction de ce rayon, et son sommet en p.
Partageons la portion de l’ellipsoïde comprise dans cet angle solide , par des sphères ayant leurs centres en p et des rayons r croissants par différences infiniment petites rfr; l’expression d’un quelconque de ces éléments de volume sera r* dudr\ et l'attraction étant supposée en raison inverse du carré de la distance , son action sur le point p aura pour expression
fnduulr.
Faisant la somme des actions de tous les éléments qui composent l’angle solide depuis le sommet p jusqu’à sa rcncon-
tre avec la surface de l'ellipsoïde, on obtiendra, en désignant le rayon fiM par r,
fprtlu.
Les trois composantes de l'action de cette portion du solide seront "
/prcos