COS’ I
C COS r,
cos’ Ç
7 cos 5
on reconnaît de suite que les deux valeurs de r données par l’équation ci-dessus, pour une valeur des angles Ç , sont de signes contraires, puisque /» et / sont essentiellement positifs; et I on aura
Si maintenant l’on observe que, pour deux directions contraires, -est le même, au signe près, et que, par consé-
, . . q cos H q COS 1) q COS l , ,
quent, les produits , - , sont les memes en
grandeur et en signe pour ces deux directions, on reconnaîtra qu’au lieu de prendre pour les directions «M de l’angle solide celles qui sont d’un même côté d’un plan passant par p, on peut les prendre tout autour de ce point, pourvu qu’on divise par 2 le résultat. Nous aurons donc, en considérant que les sommes S se rapportent à toutes les directions autour du point u.
q COS ç
r* 7 COS r.
îî! ï 5 ,<»
Parmi les sommes partielles dont se composeront les valeurs de X, \ , Z, quand on aura substitué à q sa valeur, se
fRKMIt.RK STATIVIE. -
trouveront les trois suivantes :
i cos a cos Çrfw
up
i ros U cos >i du P
i cos ç cos Çrf «
qui sont évidemment nulles comme composées d’éléments, deux à deux égaux et de signes contraires: car, en conservant les mêmes valeurs quelconques à deux des trois angles, choisis convenablement , le troisième peut avoir deux valeurs supplémentaires; et, quant au dénominateur, il lestera le même dans les deux cas. On aura donc, d’après celte remarquo,
ypa vçv fos’Çrf'*» y ypë ri cos-'flrf*
r# fa y cos 1 ^ d
Pour eflectuer ces calculs, il faudrait exprimer l’un des trois angles £, n, £ au moyen des deux autres; mais il vaudra mieux introduire les deux angles que l'on emploie le plus ordinairement dans les coordonnées polaires, et qui sont l’angle formé par le rayon vecteur avec l'un des axes, par exemple l’axe de x, et celui que fait avec l’axe des y la projection du rayon vecteur sur le plan des y et z. Désignant le premier par 6 et le second par p, on aura
cos ; = cos 9 , cos n = sin 9 cos p, cos Ç — sin 9 sin -i, .
Mous calculerons d'abord la valeur de X ; celles de Y et Z s’en déduiront par de simples changements de lettres. Dans ce nouveau système de variables , on aura
du ~ sin 9 d9 dp,
et
fpx
VJt
cos' 9 sin 9 ri9 dp
9 sin 3 9 cos 3 sin 3 9 sin 3 il
l’intégrale par rapport à p est prise entre les limites o et a jt.
igt) COURS UE MÉCANIQUE. '
et celle par rapport à 0, entre o et 7t. Quant à la première ,
il suffira de la prendre entre oet^t puis de quadrupler le
résultat; pour la seconde, on la prendra aussi éutre o et et l’on doublera le résultat.
Commençons par effectuer l’intégration par rapport à tp, * et posons pour cela tang =i= 11 , d’où
du
sin’ij; = On aura ainsi
- 1 COS 1 t|/ =
/ p J c’(fl , sin , 8-f-4’cos’
du
0)H- b\a '■ siu ! 0-H-c’ cos'ÛJH*'
a 2 bc
2 \J[a- sin’ 0 + i 1 cos’ 0) (a 1 sin’O c 2 cos’ 0)
Il restera donc à effectuer l’intégration par rapport à 9, ce qui n'est pas possible sous forme finie si les trois axes de l’ellipsoïde sont inégaux. Pour déduire la valeur de Y de celle de X , on observera que si l’on avait introduit l’angle du rayon vecteur avec l’axe des y au lieu de l’axe des ,r, dans le système des coordonnées polaires, le calcul relatif à Y n’aurait différé de celui que nous venons de faire que par le changement réciproque des lettres a et h ; la même remarque s’applique à c, et l’on aura, en conséquence, les formules suivantes :
cos’ 8 sin 0 r/6
4 Jf/p bc ■x f
Jo y(fi ’ sin’ 6 -( -b’ cos’ 6) (a’ sin’ 8 -+■ c 2 cos’ 8)
, cos’OsinOdS
Jo v( b 2 sin’ 8 -t- ti 2 cos’ 8) ( b ’ sin’ 0 + c’ cos-'
TT
, , , J' 1 cos’SsinOdO
— 4 7tfpaby I .. ;
J u v(c’sin’ O-f-è’ cos’ 0) (c’ sin’ 6 -f- o’cos’
HMlilE ANNÉE. — STATIQUE. I 07
On donnera à cçs expressions .la forme trouvée précédemment , cl posant cos 0 = u, elles coïncideront ainsi avec les formules (6) , dans lesquelles a, 6, y désignent les coordonnées d’un point quelconque de l’intérieur, ou de la surface de l’ellipsoïde.
Ces valeurs de X, Y, Z étant respectivement de signes contraires à a, 6, y, chacune des composantes tend à rapprocher le point de l’origine. On remarquera encore que ces valeurs ne changeraient pas si l’on multipliait les quantités a, ù, c par un même nombre. L’attraction n’est doue pas changée par l'addition ou la soustraction d’une couche comprise entre la surface de l’ellipsoïde proposé et une surface semblable plus grande ou plus petite, pourvu que le point 'fi soit toujours dans sort intérieur; car nos calculs sont fondés sur cette supposition. D'où l’on conclut que le solide homogène compris entre deux ellipsoïdes semblables dont les axes coïncident en direction, n'exerce aucune action sur un point matériel placé dans l’intérieur de sa plus petite surface.
Maintenant que le problèmecst résolu pour un point intérieur à l’ellipsoïde ou sur sa surface, il suffit d'y ramener le cas d’un point extérieur pour que le problème proposé soit complètement résolu. C’est ce que Maclaurin a essayé de faire au moyen d’un théorème qui a conservé son nom, quoiqu’il ne l’ait pas démontré avec toute la généralité nécessaire. Il avait été établi péniblement par d’autres géomètres; de sorte que l’on pouvait en faire l’usage que nous allons indiquer. Mais, comme sa démonstration n’était pas simple, on a continué à chercher à perfectionner cette importante théorie, et M. Ivory a découvert un autre théorème très-élégant qui remplissait le même objet d’une autre manière, et dont il déduisait meme celui de Maclaurin dans toute sa généralité. Après lui, M..,Rodrigues a trouvé une autre démonstration analytique fort simple de ce der-
COURS UK .«IRCAM g CE.
nier théorème, et enfin M. Chasles en a donné une plus simple encore et tout à fait géométrique, que nous avons déjà fait pressentir et que nous allons faire connaître.
177. Théorème de Maclaurin. — Ce théorème a pour objet de comparer les actions de deux ellipsoïdes homofocaux, homogènes et de densités quelconques sur un même point extérieur à l’un et à l’autre. A cet effet, on partagera chacun d'eux en couches infiniment minces, par des surfaces ellipsoïdales semblables à la surface qui le termine et respectivement homofocales. Nous avons démontré (n° 16λ) que deux couches homologues de ces deux corps exercent sur le point extérieur des actions de même direction et proportionnelles aux masses de ces couches, et, par suite, à celles des ellipsoïdes proposés. 11 résulte de là qu’en composant toutes ces actions élémentaires qui auront respectivement un rapport coustant et une même direction , on aura deux résultantes de même direction, et ayant entre elles ce même rapport. D'où résulte le théorème suivant :
Deux ellipsoïdes honiofocaux homogènes exercent sur un meme point extérieur tpielcorique des actions de meme direction et proportionnelles aux masses de ces corps.
Cette proposition aura encore lieu lorsque la surface d'un des ellipsoïdes passera par le point même, et l’on voit facilement que pour calculer l’action d’un ellipsoïde homogène sur un point extérieur, il suffira de déterminer 1 ellipsoïde homofocal passant par ce point, auquel on donnera la même densité qu’au premier. Les formules (6) feront ■"onuaitre les composantes de son action sur ce point, et il suffira de les multiplier par le rapport' du volume de l'ellipsoïde proposé à celui du second pour avoir les composantes de l’action du premier. Nous allons effectuer ce calcul.
178. Application du théorème de Maclaurin . — Nous avons démontré précédemment ce théorème, et nous allons montrer maintenant l'usage que 1 on en petit faire pom
l'REMItUK ANNEE. — STATIQUE.
obtenir l’action d'un ellipsoïde sur un point extérieur, connaissant son expression pour un point intérieur.
Soient A, 15, C les trois demi-axes de l’ellipsoïde donné, A', B', C' ceux de l’ellipsoïde homofocal , passant par le point extérieur (<x, ë, y). Les composantes de l'action de ce dernier sur ce point se calculent directement, sans difficulté, et sont
Si l’on,observe que l’on a
cl qu on pose
ce qui donne o et ^ pour limites de u; si , ensuite , on mut-
