ABC
l i plie les trois composantes X', Y', 21 par ^ ■ 7 » on aura ,
d’après le théorème de Maelaurin , les composantes de l’attraction de l'ellipsoïde donné; et l'on retrouvera ainsi les formules (5).
179. Théorème d'Jvoty. — Ce théorème a aussi pour objet de ramener l'attraction d'un ellipsoïde homogène sur
un poinl extérieur, à celle d'un autre ellipsoïde sur un point de son intérieur. 11 n'offre aucun avantage sur celui de Maclaurin; mais, comme nous l’avons dit, son auteur l’a fait connaître à une époque où l’autre n’était pas encore bien rigoureusement, ou du moins, bien simplement démontré; et il a été considéré par les géomètres comme une découverte importante. • ' '
Soient a , 6 , y les coordonnées d’un poinl extérieur à un ellipsoïde dont les demi-axes sont A , B , C ; la composante X de son attraction sur ce point sera
( x — a ) dx dy dz
les intégrales s’étendant au volume entier. Intégrant par rapport à x, et désignant par r t , r* les distances du point attiré aux points extrêmes du filet de l’ellipsoïde dans lequel on a fait l’intégration, on trouvera
Concevons maintenant un ellipsoïde liomofocal avec le premier, passant par le point donné, et cherchons son attraction sur le point correspondant à ce dernier sur la surface du premier ellipsoïde. Pour cela nous prendrons le rectangle dy' dz', dont les points seront les correspondants de ceux de dydz , et nous intégrerons dans l’étendue du (Uct du second ellipsoïde, qui se projette suivant dy' dz 1 sur le plan YZ. Nous trouverons, pour la composante de l’attraction de ce dernier corps sur le point correspondant au point donné ,
X'=-fïJJdy'dz' (i-i)-
Les rayons /■ , et r i sont les mêmes que pour le premier cllip-
PREMIERE AKNEE. — STATIQUE. 20 J
solde, puisque leurs extrémités sont respectivement correspondantes de celles des autres.
* Or, dy'dz' : dydz " B'C' ; BC -, et cette proportion ayant lieu pour les portions des intégrales relatives à deux filets correspondants quelconques, aura lieu pour les intégrales elles-mêmes ; d’où résulte
et de même
