CHAPITRE II

SUR LE MOUVEMENT GÉOMÉTRIQUE ü’üN SYSTÈME DE FORME INVARIABLE.

202. Si l’on considère deux positions successives occupées par un système de forme invariable, indépendamment, des forces (pii l’ont sollicité, et du temps qu'il a mis pour passer de l'une «à l'autre, on voit d’abord qu'il y a une infinité de manières de l'amener de la première à la seconde, et l’on peut se proposer de déterminer les mouvements les plus simples ou les plus avantageux, au moyen desquels on peut, dans chaque cas, opérer ce passage.

Or, quelque déplacement qu'ait subi un système, on peut l'amener dans sa nouvelle position, en faisant d abord mouvoir tous les points suivant des lignes parallèles et égales à celle qui joint les deux positions d’un même point dusyslèmc, ou d’un point quelconque (pi on y aura lié invariablement, puis en laissant ce point fixe, et ci^ faisant tourner le système autour de lui , jusqu'à ce que deux autres points, non en ligne droite avec ce centre, viennent prendre la position qu ils doivent occuper.

Examinons maintenant chacun de ces deux mouvements, de translation et de rotation.

II est évident que le point que l'on a considéré pourrait parvenir d’une position à l’autre, en décrivant un polygone quelconque, qui commencerait à l'une et se terminerait à l’autre. D’où il suit que le premier mouvement pourra être remplacé par une suite d’autres mouvements de translation, représentés en grandeur et en direction par les divers cotés de ce polygone. Celte substitution de plusieurs mouvements successifs à un seul s’appellera composition , et l'inverse décomposition. On peut donc dire que les mouvements de translation peuvent se composer et sc décomposer

STATIQLK.

PR KM IK RK ANN h K. —

delà même manière que les forces appliquées à un même point.

Quant au mouvement autour du point fixe, il est facile do reconnaître d’abord qu’il peut être décomposé d'une infinité demauières, en deux mouvements, autour d’axes fixes; car on amènerait un point quelconque d’une position à une autre, en faisant tourner le système autour d'une droite quelconque passant par le point fixe, et située dans le plan mené par ce point, perpendiculairement à la droite qui joint les deux positions du point que l oti considère, lesquelles sont nécessairement équidistantes du centre. Le système ayant maintenant deux de ses points dans la position qu’ils doivent occuper, il est certain que tous les autres arriveront à la leur, par un mouvement de rotation autour de ladroitequi joint les deux premiers. La question est donc réduite à la considération des mouvements de rotation autour d’axes passant par le point fixe.

Les propositions que nous allons démontrer relativement à la composition et la décomposition de ces mouvements sont extraites de la Théorie nouvelle de la rotation des corps, de M. Poinsol ; mais, avant d’entrer dans cette exposition, nous commencerons par faire une remarque trèssimple et très-utile, lorsqu’un corps tourne autour d’un axe fixe, d'une quantité angulaire infiniment petite, les variations infiniment petites des coordonnées d’un point quelconque dépendent des coordonnées de ce point, et des autres données de la question. Pour un point infiniment voisin, ces variations ne différeront donc des premières que de quantités infiniment petites par rapport à elles, et l’on peut les substituer les unes aux autres, s’il ne s’agit que de limites de sommes ou de rapports. Ou peut donc, dans la détermination du déplacement infiniment petit d'un corps qui tourne autour d’un axe, supposer que le corps, au lieu de partir de la position donnée, parle d une

2 ;>, S COUK3.DF. MKCAXIQCF.

autre position infiniment voisine; les variations des coordonnées de chacun de ces points , ainsi calculées , pourront être prises pour celles que l’on cherchait. Si donc on a n faire éprouver successivement à un corps un nombre quelconque de rotations successives infiniment petites, on pourra supposer chacune d’elles effectuée à partir de la position primitive du corps, et la somme totale des variations des coordonnées de chaque point pourra etre consi - » dérée comme la variation résultante des mouvements opérés à la suite les uns des autres, et dans un ordre quelconque.

Il est encore facile de s’assurer que si le système tournait de la même quantité infiniment petite autour d’un axe infiniment voisin de celui qui est donné, les variations des coordonnées d’un point à une distance finie ne seraient altérées que de quantités infiniment petites par rapport h ellesmêmes, et qui pourraient conséquemment être négligées. En effet, les variations des coordonnées, en se bornant aux quantités du premier ordre infinitésimal, sont le produit de l’angle de rotation infiniment petit, par des fonctions des quantités qui déterminent l’axe. Si donc ces quantités changent infiniment peu, il en résulte, pou ries variations des coordonnées, des changements d’un ordre supérieur au premier.

Ainsi, il n’y a aucune erreur du premier ordre infinitésimal dans l’expression des variations des coordonnées des divers points d’un système rigide qui tourne successivement, de quantités angulaires infiniment petites, autour d axes en nombre quelconque, lorsque l’on substitue à ces divers points, d’autres points infiniment voisins; que l’on substitue de même à ces axes d'autres axes infiniment peu différents , cl quel que soit l’ordre dans lequel on effectue ces différentes rotations. C’est à cause de ces avantages que l’on décompose toujours les mouvements effectués dans des temps finis, dans ceux qui s’accomplissent dans les intervalles infini-