KF.MltUK ANNEE. — STATIQUE

ment petits, dans lesquels on peut décomposer ces temps. Aussi tout ce que nous dirons sur la composition et la décomposition des mouvements se rapportera presque uniquement au cas où ces mouvements seroiîl infiniment petits.

203. Vitesse angulaire. — Considérons le mouvement continu de rotation d’un système rigide, cl concevons un plan passant par l’asc et lié invariablement au système. I.a position de cc plan détermine celle de tous les autres points, et peut être donnée à chaque instant par l'angle <Ji qu’il fait avec un plan fixe mené par l’axe.

Si les accroissements de cet angle sont proportionnels aux accroissements du temps, le mouvement angulaire du système est uniforme. 11 en est de même des mouvements des diilércnls points, et leurs vitesses sont proportionnelles à leurs distances à l'axe. On nomme, dans ce cas, vitesse tingulairc du système, l'angle décrit par le plan mobile dans l’unité de temps; c’est la vitesse de tout point situé à l’unité de distance de l’axe.

Si le mouvement angulaire est varié et que l’angle tji soit une fonction quelconque du temps, on appellera vitesse angulaire à un instant quelconque la limite de la vitesse angulaire moyenne avec laquelle un angle infiniment petit serait décrit à partir de cet instant. Sa valeur est la dérivée

de l'angle par rapport au temps, ou ^ : et l’angle, décrit

dans un temps infiniment petit peut être considéré comme le produit de la vitesse angulaire par cc temps, en négligeant les infiniment petits d’ordre supérieur.

201. Remarque . — Il ne fau l pas perdre de vug le sens que nous avons attaché à la composition des mouvements. IVous avons supposé que le corps avait deux mouvements successifs , cl nous nous sommes proposé de déterminer la position à laquelle il parvenait après leur accomplissement. Quelquefois on dit, qu’un corps est animé de plusieurs mouve-

munis simultanés; mais comme ell’eclivement un point ne peut avoir qu’un mouvement à la fois, on entend par là que ce corps a un certain mouv ement par rapport à un système rigide, qui lui-même en a un par rapport à un aulre système rigide, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on arrive à un système immobile. Il résulte de là, pour le corps, un certain mouvement dans l’espace, qui est continu si les autres le sont , et qui rentre dans les mouvements résultants tels que nous les avons définis. En elî’et, considérons tous ces mouvements correspondants à un même temps écoulé : concevons d’abord cpie le corps sc meuve seul et accomplisse son mouvement dans le premier système; qu’ensuile ce système exécute son mouvement dans le second , en entraînant avec lui le corps dans la position qu’il y a prise; qu’après cela, le second système exécute son mouvement en entraînaut le premier et le corps; et ainsi de suite; il es* facile de voir que le corps se trouvera à la fin dans la position où il doit être d’après les données. Mais chacun des mouvements, que nous venons d'indiquer, des systèmes qui entraînent le corps fixement lié à eux, n’est aulre chose qu’un mouvement du corps lui-même, et décomposable en un mouvement de translation suivi d’un mouvement de rotation autour d’un axe fixe. D’où l'on voit que. les mouvements simultanés en question , que l’on appelle quelquefois, assez improprement, des mouvements dont le corps est animé simultanément, le placent à une époque quelconque dans la même position où il arriverait par la composition de ces mouvements telle que nous l’avons définie, c’est-à-dire en les produisant successivement.

205. Cas des axes concourants . — Soit OA (Jig- 4^) la direction d’un axe autour duquel un système rigide tourne,, d’une quantité angulaire quelconque 2 a, le sens de la rotation étant déterminé de la manière indiquée précédemment.

l'MMUÈRF. WNKK.

— STATIQUE. 23 1

Soit de même OB un second axe autour duquel le système tourne d’une quantité angulaire 20 , quand le premier mouvement est accompli. Nous allons démontrer que le système arriverait à la même position par une rotation unique, autour d’un axe passant par le même point O.

En effet , menons par OA un plan qui fasse avec le plan AOB un angle a, du côté de OB; et par OB un autre plan faisant avec AOB un angle 6, du côté de AO. Il est évident qu’après la première des deux rotations, l’intersection 01) de ces deux plans aura pris la position symétrique par rapport au plan AOB, et qu'après la seconde rotation, elle aura repris sa première position. Donc le système parviendrait à la seconde position en tournaut autour de l’axe OD.

Celle conséquence a lieu, quels que soient les angles 2 a, 20 ; mais nous examinerons particulièrement le cas où ils sont infiniment petits. Dans l'angle trièdre, formé par les arêtes OA, OB. OD, les sinus des angles BOD, AOD sont

entre eux comme siu x : sin S; donc la limite de ji qui est

le rapport des vitesses angulaires, en supposant ces angles décrits dans un même temps, est égale au rapport des sinus des angles formés avec OB, OA par la limite de la direction de l’axe OD, qui se trouve dans le plan OAB lui-même.'* Ainsi , les deux rotations infiniment petites, dont le rapport des vitesses angulaires est connu, se composent en une seule, autour d’un axe dirigé suivant la diagonale OP du parallélogramme construit sur les lignes OM, ON (Jîg. 46), proportionnelles à ces vitesses angulaires, et portées, à partir du point O, sur les axes correspondants.

Il ne reste plus qu’à connaître le sens et la grandeur de la vitesse angulaire du mouvement résultant. Pour cela, on choisira un point quelconque 1 sur l’axe OA, autour duquel s'rsl effectuée la première rotation; il ne se déplacera

qu’à la seconde, et il décrira une ligne infiniment petite IL perpendiculaire au plan AOB (fg- 46)- Abaissons les perpendiculaires IK , III sur OB, OD. Les angles infiniment petits , dont le point I tourne autour de OB ou de OD, pour parvenir à sa position L, sont dns à des mouvements de même sens, et en raison inverse de 1 K et III , ou de sin KOI et sin MOI, ou enfin de OP et ON. Donc la vitesse angulaire résultante sera représentée par la diagonale OP, puisque la vitesse angulaire autour de OB l’est par ON. De plus, d’après ce que nous avons dit, le sens de la rotation autour de OD est de gauche à droite, comme autour de OB. Donc enfin , si l’on prend sur la direction de deux axes , à partir de leur point de concours, des grandeurs </ui représentent les vitesses angulaires des rotations successives autour de ces deux axes , la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux lignes représentera la direction de l’axe de la rotation résultante , et la grandeur de sa vitesse angulaire.

On conclut de là que la composition et la décomposition de rotations en nombre tjuelconque autour d'axes passant, par un meme point s'effectuent de la meme manière que celles des forces dirigées suivant ces axes, et représentées en grandeur par les vitesses angulaires correspondantes.

206. Cas des axes parallèles. — Considérons maintenant deux axes parallèles dont les directions sont dans le même sens, par exemple au-dessus du plan perpendiculaire sur lequel ils sont projetés. Soient A et B leurs projections, et a a, 26 les angles dont le système tourne successivement autour de A et B. Soit AC ( fig . 47 ) la trace d’un plan passant par l’axe A et faisant avec AB l'angle CAB = oc du côté île B; et soit de même BC faisant l'angle CBA= § du côté de A. La parallèle aux axes, menée par le point C, reviendra à sa première position après les deux rotations, cflec-

tuées dans l’ordre indiqué. Le déplacement proposé serait donc produit par une rotation autour de cette droite.

Lorsque les angles a, 8 sont infiniment petits, le point C est sur la droite AB, en un point C/ qui la partage en raison inverse des angles a, 8, ou des vitesses angulaires.

Déplus, lorsque la rotation est effectuée autour de A , et qu’elle s’ellëclue ensuite autour de B, le point A étant situé du même côté de C 7 et B, et la rotation autour de C 7 devant l’amener au même point, il en résulte qu’elle est dans le même sens que les deux autres. Il ne reste plus qu’à connaître la vitesse de la rotation résultante. Soit AD la ligne infiniment petite que décrit le point A autour de B, il décrira la môme ligue autour de C', et les vitesses angulaires seront en raison inverse de AB et de AC 7 . Donc, si les vitesses angulaires autour de A et B sont représentées respectivement par BC 7 et AC 7 , la vitesse angulaire résultante le sera par AB.

La loi de composition de deux rotations de même sens autour d’axes parallèles est donc identique avec celle de la composition des forces parallèles de même sens. On trouverait la même identité dans le cas de rotations de sens contraires, soit en le déduisant du précédent, comme dans la composition des forces, ou en le traitant directement.

207. Couples fie rot niions. — Si les deux rotations qu’on a à composer étaient égales et de sens contraires, on aurait ce que M. Poinsot appelle un couple rie rotations. L’effet . de ces deux rotations est de donner un mouvement de translation au système dans le sens de l’axe de ce couple. En effet, soit 1\I [fig. 4^) un point quelconque du système, il se mouvra dans un plan perpendiculaire aux axes; et si pour chacune des rotations il décrit les lignes infiniment petites MC, ME., respectivement perpendiculaires aux droites MA , MB et proportionnelles à leurs longueurs, il parviendra à l’extrémité N de la diagonale du parallélogramme

coi; ns iik Mi rAMQL i .

construit sur MC, Ml). Or, les triangles MC IV , AM B sont semblables comme avant un angle égal compris entre côtés proportionnels, d'où il suit que MA est perpendiculaire à AB. ]. 'effet d’un couple de rotations est donc nu mouvement de translation dans le sens de l'axe de ce couple , et qui reste le même, de quelque manière qu’on place te couple dans son plan, ou dans tout plan parallèle. Pour connaître l’espace parcouru, il suilit de considérer un point quelconque, A par exemple, et il est facile devoir qu’il se déplace d'une quantité égale à la distance AB, multipliée par l’angle de rotation.

Toute translation pouvant ainsi être remplacée par deux rotations, on pourrait se borner à considérer des mouvements de rotation.

Nous avons vu que les mouvements de translation se composent comme les forces appliquées à un même point; il s’ensuit que les couples de rotations se composeront de la même manière-, et si l’on porte sur Taxe de chacun d’eux une longueur égale à l’angle de rotation multiplié par le bras de levier de ce couple, c’est-à-dire par la distance de deux axes de rotation , ces longueurs composées comme des forces, à partir du même point , donneront en grandeur et en direction le mouvement de translation résultant.

On remarquera qu’une rotation autour d’un axe A pourra toujours être remplacée par une rotation identique, autour d'un axe B parallèle au premier, plus un couple de rotations dont le bras de levier sera AB; car il sutlil pour cela d’introduire deux rotations autour de 1 axe B qui soient égales à la première et du sens opposés , ce qui ne change rien au déplacement.

208. Réduction generale de tout inoiu'einunt . — Quelles que soient les rotations et translations infiniment petites opérées sur un système , elles peuvent se réduit e à une rota*

PREMIÈRE ANNIE. — ST.VHgtl.. 235

lion autour d'un axe passant par un point arbitraire, et une translation dépendante de ce point.

F.n ellet, toute rotation autour d'un axe peut être changée en une rotation identique autour d'un axe parallèle mené parce même point quelconque, plus une translation, ou un couple de rotations, dépendant de la position du nouvel axe. Toutes les rotations composées donneront la même rotation résultante autour d'un are de direction . constante , quelque soit le point où l'on ait transporté tous les axes. Mais les mouvements de translation ou couples de rotations donnés, composés avec ceux qu’on a introduits, -donneront un couple résultant, ou une translation, variable de grandeur et de direction.

209. Cas particulier où le mouvement est parallèle à un plan. — Si tous les points du corps se meuvent suivant des lignes parallèles à un même plan, et que l’on conçoive une section faite par un plan fixe parallèle au premier, il en résultera une figure qui se mouvra dans ce plan fixe ; et sa position déterminant celle du corps même, il suffira de considérer le mouvement de cette ligure.

Or, il est facile de démontrer que tout déplacement infiniment petit qu’elle subira , peut être produit par une rotation autour d’un point détermine. En effet, on pourra toujours produire ce déplacement, par une translation qui amènera un point A choisi arbitrairement dans la position A'qu’ildoit prendre (/iÿ. 4f))î puis, par une rotation convenable ?. a effectuée autour de A'. Mettons par A’ une droite LM perpendiculaire à AA', et deux autres droites faisant de part et d’autre de LM des angles égaux à a\ puis, inscrivons entre ces deux droites deux lignes RB', CC', égales et parallèles à AA'.

Les deux points R , Ci considérés comme liés à la figure auront été transportés en R', Ci' par la translation ; ensuite la rotation amènera R' en R ou Ci' en Cl, suivant qu elle tic-'

a3<> cours ue mécanique.

vra être exécutée dans un sens ou dans l’autre. Supposons que ce soit 15' qui revienne en B : le système arrive donc dans la position qu'il doit avoir , sans que le point 15 quitte sa première position, et par conséquent , par une simple rotation autour du centre 15, dont la position est entièrement déterminée par la construction précédente. Le corps aura ainsi effectué une rotation autour d'un axe perpendi- , culairc au plan.

La question que uous venons de traiter est renfermée dans celle du mouvement d’une ligure sur une sphère, laquelle avait été traitée pour la première fois par Euler.

210. Réduction generale h un mouvement hélicoïdal . — , .Nous avonsdéjà réduit tout mouvement à deux autres, l’un <le translation dépendant du point choisi ; l'autre de rotation et constant quant à la direction cl à la grandeur. Décomposons le premier en deux, l’un parallèle à Taxe de rotation , l'autre perpendiculaire. Ces mouvements infiniment petits pouvant être ell’ectués dans un ordre quelconque, nous commencerons par la translation parallèle à l’axe; il restera une rotation et une translation perpendiculaire à l’axe, qui se composeront comme on vient de le voir, en une simple rotation autour d'un axe parallèle au premier.

Tout mouvement est donc réductible à une rotation autour d’un axe, et une translation parallèle à cet axe, mouvement qui n'est autre que celui d’une vis dans son écrou.

On reconnaît facilement que cette translation parallèle à l'axe est la projection, sur cet axe, de la première translation à quelque point qu elle se rapportât, lille est toujours la mèineet égale à la quantité commune dont tous les points du corps, en passant de leur première position à la seconde, se sont éloignés d'un même plan perpendiculaire à la direction déterminée de l’axe. Enfin elle est la plus petite trans-

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talion possible, puisqu’elle esl la projection de toutes tes autres.

On arriverait à ce même résultat par ta composition .des rotations et des couples de rotations, qui est analogbc, comme nous l’avons vu, à celle des forces et des couples. En eilet, nous avons démontré dans la Statique que tout système de forces pouvait être ramené à une force, et un couple ayant son axe parallèle à celle force. Donc aussi, tout système de rotations on translations infiniment petites peut être réduit à une rotation autour d’un axe, cl une translation parallèle à cet axe.

211 . Mouvement continu parallèlement à un plan fixe. — Ce mouvement peut être réduit, comme nous I avons déjà dit, à celui d’une ligure plane dans son plan. Décomposons le temps en éléments infiniment petits. Le mouvement opéré dans chacun de ces intervalles pourra , comme nous l avons démontré, être considéré comme une rotation effectuée autour d’un point déterminé, que l’on nomme centre instantané rtc rotation ; et l’ensemble de ces centres a pour limite un lieu géométrique continu, entièrement déterminé, et immobile sur le plan. Si maintenant l’on considère tous les points liés à la figure mobile, qui sont venus successivement coïncider avec les points du premier lieu à l'instant où ils étaient centres de rotation, on aura un second lieu, invariablement lié avec la figure mobile, et se déplaçant sur le plan. Si l’on connaissait le mouvement de ce lieu, il déterminerait réciproquement celui de la ligure qui lui esl liée. Or nous allons voir qu'il peut être très-simplement défini.

Eu effet, soient A, B, C, D, E, F, etc. ( fig. 5o), les positions successives des centres de rotation correspondants aux di vers intervalles de temps; A', B', C', D', etc., les points liés à la figure, et qui viennent coïncider respectivement avec les premiers, à l’instant où ils deviennent centres de

COI HS UK MKCANIQUK.

rotation. Lorsque, par exemple, IV est eu 15, la ligure tourne autour de 15 jusqu'à ce que C vienne en C ; alors elle tourne autour de C jusqu’à ce que ])' vienne en J), et ainsi de 'suite. D'où il suit que ces deux polygones ont les côtes, (■gaux et roulent l’un sur l'autre sans glisser, tandis que la ligure arrive successivement à toutes les positions qu’elle doit avoir aux instants considérés.

Supposons maintenant que les intervalles de temps diminuent indéfiniment; les deux polvgoncs tendent à devenir deux courbes déterminées, l’uue fixe, 1 autre mobile avec la figure à laquelle elle est invariablement liée. Ces deux courbes sont constamment tangentes; des ares égaux de ces courbes s'enroulent les uns sur les autres, et, par conséquent, il n’y a pas glissement.

Si donc on adaptait à la figure donnée la courbe lieu des centres instantanés relativement à celle ligure, il suffirait de faire rouler, sans glisser, cette figure sur celle qui estdc lieu des mêmes centres sur le plan fixe; et la figure prendrait ainsi le mouvement qu elle doit réellement avoir.

Pour avoir le mouvement du corps lui-même, il suffira de considérer les deux surfaces cylindriques qui se projettent sur le plan fixe, suivant ces deux courbes, et de les faire rouler l’une sur l'autre sans glisser.

212. Mouvement continu autour d’un point fixe. — Ce mouvement peut être décomposé en une infinité d'autres effectués dans des intervalles de temps infiniment petits, et qui peuvent être considérés comme ayant lieu autour d’axes successifs infiniment voisins; chacun de ces axes peut être considéré comme lié au rorps dans la position où il est relativement à lui à l’instant où il devient axe de rotation. Ou a ainsi deux systèmes de droites, l'un immobile dans l'espace, l'autre fixement lié au corps mobile. Ce second système constitue un angle solide, à faces infiniment petites, qui viennent successivement coïncider avec celles de