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l'angle solide fixe. Los doux systèmes forment à la limite deux surfaces coniques, i'uue lixe, l'autre liée au corps et toujours tangente à la première suivant une génératrice, puisque les surfaces dont elles sont les limites avaient toujours une face commune.

Jl est facile de voir, en outre, qu’elles ne glissent pas l’une sur l’autre. Car la génératrice commune étant l’axe instantané de rotation a une vitesse nulle, et, par conséquent, ne peut se déplacer que d’un infiniment petit du second ordre, dans l’intervalle de temps du premier ordre, pendant lequel a lieu une rotation du mènje ordre : ce qui exclut tout glissement. Et, d’ailleurs, c’est aussi une conséquence immédiate de ce que des faces égales de surfaces polyédriques s’appliquant toujours les unes sur les autres, les surfaces coniques qui s’enrouleront les unes sur les autres le seront elles-mêmes, et, par conséquent, il n’y aura pas glissement.

On peut donc se représenter le mouvement d’un corps autour d’un point fixe, comme déterminé par le roulement d'un cône fixement lié à ce corps sur un cône immobile dans l'espace ayant, comme le premier, le point fixe pour sommet.

On rentrerait dans le cas précédent en supposant le point fixe à l’infini.

213. Mouvement continu en général . — Les mouvements infiniment petits dans lesquel., on décomposera le mouvement peuvent être ramenés d une infinité de manières à une translation et une rotation; nous nous bornerons à considérer celle où la translation est parallèle à l'axe de rotation. M. Poinsot n’a pas cru devoir parler de ce cas, parce que la marche à suivre est la même que dans les précédents, et que cela l'aurait écarté, sans aucun intérêt , de son objet. I. ensemble des axes de rotation et de glissement forme une surface réglée dans l’espace, et une autre dans le corps

mobile. Toutes les génératrices de la seconde viennent successivement s'appliquer sur celles de la première; et, eu supposant que la rotation soit exécutée après la translation, une génératrice de la seconde viendra, par une rotation, s appliquer sur sa correspondante, sur laquelle elle glissera d’abord en entraînant le corps dans sa translation, «t autour de laquelle elle tournera ensuite jusqu’à ce que les deux génératrices suivantes soient venues coïncider; et ainsi de suite.

Or, au moment où la rotation autour d’une génératrice commune a ajneué une seconde génératrice à coïncider, les deux surfaces ont deux génératrices communes, et, par conséquent, sont tangentes dans toute l’étendue de ces génératrices. On peut donc dire que le mouvement du corps peut être réalisé par le mouvement dune surface réglée, liée à ce corps sur une autre surface réglée lixe dans l'espace, à laquelle elle est tangente suivant toute une génératrice , et sur laquelle elle roule en glissant le long de cette génératrice.

Le rapport du glissement à la rotation dépend de la nature du mouvement et peut même être nul. Si l’une des surfaces est développable, il est clair que l’autre l’est aussi, puisque leurs éléments coïncident dans toute leur longueur.

On rentre dans le cas précédent s’il y a un point fixe dans le corps; les deux surfaces deviennent des cônes, et le glissement est nul.

Démonstration analytique des propositions précédentes.

211. 11 n’est pas inutile de voir comment les principales propositions qui viennent d’être établies sur le mouvement d’un corps solide, peuvent être démontrées par le calcul. Pious déterminerons la position du corps à chaque instant, au moyen des coordonnées rectangulaires d’un point qticl-

conque O lié à ce corps , et des angles formés avec les axes fixes AX, AY, AZ par trois axes rectangulaires OX t , OY',, OZ, liés invariablement au corps et passant parle point O.

Soient <2, A, c, fl',//, c', a", b",c" les cosinus des angles que forment les axes des x', y', z' respectivement avec ceux des x, y, z-, et £, «, £ les coordonnées du point arbitraire du système mobile par lequel on mène les axes des x',jy', z', dont on a choisi la direction dans le corps, indépendamment du point O par lequel on les fait passer. On aura, entre les coordonnées d’un point quelconque M dans les deux systèmes d’axes, les relations connues

x — ï -f- ax' ■+■ by' -+- cz , y — n -i- fl'x' jf- b' y' -+- c' z, z = Ç 4- u" x' b" y' -y c" z'.

Considérons un point déterminé du système pour lequel, par conséquent, x' y' z’ seront indépendants du temps t. Supposons que t augmente d’une quantité finie A/, et désignons par la caractéristique A les accroissements finis correspondants des autres variables. I.es équations (i) donneront

/ a.r = -t- .r' in -t- Ça* + j'ac,

( 2 ) | a y 1 = Ai) -y x'ifl' -H y' A*' -4- z' 4f’,

( \z = AÇ -|- x 1 &a"-y y'sb"-y z'br".

Les premiers membres de ces équations sont les composantes du déplacement de ce point, parallèlement aux axes fixes 5 les premiers termes des trois seconds membres sont les composantes du déplacement de O; et il est facile, comme nous allons le voir, d’interpréter les trois derniers termes de chacun des seconds membres. En efl’et, si en supposant le point O fixe, on change la direction des axes X', Y ', Z', de manière que dans le temps A t les cosinus a , è, c, etc. , varient des mêmes quantités An, A Z>, etc., il faudra laisser 1. • >(>

2($2 COURS Ut MfCtMQUr.

£, n, £ constants dans les équations (i), et les seconds membres des équations (a) seront réduits à la seconde partie que nous cherchons à interpréter. D’où l’on voit que ces secondes parties ne sont autre chose que les composantes du déplacement que prendrait le point quelconque M si l’on donnait au système un mouvement autour du point ÜxcO, qui fit changer, dans le temps A/, les inclinaisons des axes X, Y, Z, de la même manière que dans le déplacement rée I. 11 su fil t donc, pour amener chaque point dans sa véritable position , de faire exécuter au corps les deux mouvements successifs qui produiront ces deux composantes pour chaque point. D'où résulte cette proposition générale :

Tout déplacement fini d’un système rigide peut être produit en lui donnant d'abord un mouvement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position qu'il <loit avoir; puis un mouvement de rotation autour de ce dernier point, mouvement qui est le même, quel que soit le point choisi, et ne dépend que des changements de direction des lignes du système.

11 est évident qu’on aurait pu effectuer d’abord la rotation autour du point o pris dans sa première position, puis effectuer la translation; les valeurs de A.r, A 'y. As se- * i aient les mêmes, et, par conséquent, le système arriverait a la même position. C’est ce que l’on reconnaîtrait d'ailleurs immédiatement parla Géométrie.

‘215. Simplification du mouvement autour d'un point . —

Il . st facile de voir que tout déplacement du corps autour du point lixeO petit être produit par une rotation autour d’un axe passant par ce point.

Kn effet, en supposant le point O fixe, les équations (a) donnent, pour Ax, A y, As, des valeurs qui seront milles pour tous les points du corps qui satisferont aux équa-

lions

x'Sa -h y' S b + i'Sc=a, 4- y S b' 4 - ï' Sc 1 = O ,

I X Sa ■ x'Sa' ■

[ X* Sa" y Sb" z’Sc"= o.

Tous ces points auront donc la même position avant et après le déplacement. Si , en éliminant x\ y\ et, par suite, z' , entre ces trois équations, l'équation de condition résultante est satisfaite, il y aura une infinité de valeurs pourx', y', z' satisfaisant aux équations (3) et qui correspondront < à des points eu ligne droite avec l’origine O; sinon, l’origine seule satisferait. Or nous allons voir que cette équation de condition est satisfaite^ d’où il résultera que tous les points d’une certaine droite passant par O ont conservé leur position première après le déplacement, et, par conséquent, que ce déplacement peut être opéré en faisant tourner le système autour de cette droite fixe.

En efiet, les quantités a, b,c , a\ été., satisfont constamment aux équations suivantes :

ab-\-a'b'-\-a"b"=zo, ac + a'c’ 4-a"r"=ro, bc. 4- èV-f- b"c"=o.

D’où l’on tire, en donnant h a, b, c, etc., les accroissements An , A/i, etc., et retranchant les équations précédentes ,

i [a — f- -ÿ S a 1 Sa -f- (a' 4 ~ ^ Sa'} Sa' 4 - [a" + y S a" } Sa zx o , (b 4 - \ S b) S b 4 - (6' 4 - i A b') S b' - 4 - (b" 4- S b") S b" = o , (c -t- y Sc) Sc 4 (c' -f- jâc') Sc' -+■ (c" ■+■ \ Sc") Sc" xz o; a Sb -f- b Sa 4 a' S b' b' Sa' -t- a" S b" -f- b" Sa"