A b Sc 4- Sb' Sc' 4- S b" S c" z= o

244 COURS DP. MKCAKIQUE.

Cela posé, multiplions les équations (3) respectivement para -+- 4 Aa, a'-f- 4 An', A Aa", et ajoulons-les ; nous

aurons, eu vertu de la première équation (4),

/'[(fl + i&a) a b -4- ("'-h A A a') A b' + [a" h- a A fl") A b"] - 4 - s' [fl 4- \ àa)Ac+ [a’ + $ La') Le' + (a" + ± \a”) Ac"]=o.

On trouverait deux autres équations en multipliant les équations (3) successivement pal-

et par

c + A AC) c' + iic', c" + jA c".

On pourra ainsi remplacer les équations (3) par les suivantes :

y' (a A è-4-n' A b’-\-a' A 6 '-4- ‘4 A « A b -4--J- A a' A b '-\- j A a" A b") -4-z'(rt Ae- 4 -rt'Ar'- 4 -rt"Ae''- 4 -A Art Ac-4--jA rt'Ac'-4-yA«"Ac'')=:o, Ac -4- &'Ac'-4- /)"Ac"-f- A A b Ac-(- A A b’&c'-+- J Aè"Ac") -4-x' (iA<ï-H^'Art'-4-l^A«"-t-A aAA/i-1— î Aè'Art'-|— A A&"Art")=o, jr'(cA«+r'Art'+f"Afl"+iAcA(H-|Ac'4fl' + {Ac"Ao"i +f(c A è-4-c'A //- 4-c"A i*-+-A AcA6-4-AAc'Aè'-|-A Ac"Aé")=A>.

Nous poserons, pour abréger,

( c A b - 4 - c'A 6'-4-r"A//'-t- A Ac A b + j Ac'A è'-t- A Ac"A è’'= y;,

( 7 ) | a Ac - 4 - a’Ac'- 4 -«i"Ac"- 4 - A Aa Ac-4- A Afl'Ac'-4- A An" A c"= y, ( b A < 7 -4- b’ A(f'-4- i>"A«"-4- Aa^Ao+Aa è'Afl'-4- -J A b" \a" — r\

d’où résultera, d’après les équations (5),'

I i Ac-»- è'A c'- 4 - Z>"A c"-4- A A è A c+ A A è'Ac'+ A A 6 " A c''= — y>,

( 8 ) < cArt-(-c'Afl'-4-c"Art"-4- ÿ Ac Art -+-A Ac'Art'-4- -j A «"A 4";= — 7 , ( a A 4+rt'A4'-4-rt"A 4"-t-jAflA6-4- A A«'A/»'-4- A Afl"A4"= — r.

Cela posé, les équations (6) qui sont équivalentes aux équations (3), s’écriront ainsi :

r.r' — jk’ — o ,

/>y — qx' — o.

Or il est facile île reconnaître que ces équations se réduisent à deux; car, si l’on multiplie la première par p , la seconde par < 7 , la troisième par r, et qu’on les ajoute, on aura une équation qui pourra être substituée à l’une des trois; et comme elle est identique, les trois équations se réduisent à deux. Le nombre des solutions est donc infini , et le lieu des points qu’elles représentent est une droite passant par le point de rencontre des axes X', Y', Z'.

Les équations ( 9 ) sont donc les équations, par rapport aux axes X', Y v , Z', de l’axe autour duquel il faudrait faire tourner le système pour l’amener dans la position où il arrive quand le point O restant fixe, les cosinus a , b, c, a', etc., prennent les accroissements A a, A Z>, etc.

Il est donc démontré que :

Tout déplacement d'un système rigide peut être produit par un mouvement de translation qui amène un quelconque de ses points dans la position qu'il doit avoir, suivi d'un mouvement de rotation autour d'un axe passant parce dernier point, et indépendant du point choisi.

Les cosinus des angles de l’axe de rotation avec les axes X', Y ', Z', sont proportionnels à p , q, r, et ont par conséquent pour valeurs

\jp- 7 1 — 1 - r 3 \ïp> 4- q' + r 1 \J]P 4 - q‘ 4- r 1

Le même axe fait avec les axes des x , y, z des angles dont les cosinus seront, par suite,

ap 4 - bq -f- rr a’ p 4* b' q -f- & r a" p 4- b" q 4- r" r

V^’4-(/’4-é . r“ « \fp J 4- q‘ 4- r 1

210 . f aleur de la rotation . — Il suffit de connaître l’angle dont tourne la perpendiculaire abaissée d’un point quelconque sur l’axe de rotation. Nous prendrons à cgt effet un

246 COURS nK MÉCANIQUE.

point situé sur l un des trois axes, à la distance i de l'origine O : considérons-] e par exemple sur l’axe des z. La distance de ce point à l’axe est le sinus de l’angle de cet axe-

avec OZ, ou - — ; la droite qui joint la première

et la seconde position du même point est As’,

les quantités Ax, Ay, A z étant données par les équations (a) dans ‘lesquelles AÇ, Am, A£, x', y' sont supposés nuis, et z' — t ; ce qui donne, pour la longueur de cette droite ,

V^Ac’-f- Ac' 3 4- Ac" 3 .

Mais cette même longueur divisée par la distance du point à l’axe de rotation donne le double du sinus du demi-angle de rotation, que je désignerai par w; on aura donc

. I • V^Ac 3 -+- ic' ! + Ac " 3 i/p s -f- <J 3 4- r* i sin - w — — :

mais on aurait de même trouvé , en choisissant le point sur les axes des x' ou y 1 ,

V^Ai 3 -f- A 6' 3 4- A b* 3 y/p 3 -t- q* -+■ r 3 \/p'+ ret

V^Aa 3 A a ' 3 -+- A a " 3 y //< 3 4 - q % ■+■ r‘

vV-+- r 3 .

d’où résulte

A a 3 -4- Aa ' 3 -4- Aa " 3 Aè 3 4- A è ' 3 -4- Aé " 3 Ae^-f- Ac ' 3 4- Ac " 3 g 3 -t- r* 4- c 3 — p 3 4- y'

A a 3 4- A a ' 3 4- A a ' ' 3 4- A è 3 -f- A b' 7 4- A b" 7 -I- A r 4 - Ac ' 3 4- Ac " 3 a (/> 3 4 - 7 * -4- r 3 )

L’angle » sera donc exprimé par la formule suivante, au

moyen des données immédiates :

fcin - tu à

i— J i A l* , t- A l> *Hr A c 1 -^- A A e**

217. Les déplacements de tous les points ont des projections égales sur l'axe de rotation. — En effet , concevons un plan üxc perpendiculaire à cet axe; tous les points du système s’en éloignent ou s’eu rapprochent également par la translation commune. Or la rotation qui suit ne change pas leur distance à ce plan qui est perpendiculaire à l’axe. Donc les déplacements de tous les points donnent une même projectioif sur l’axe. Il en résulte que si , par un même point' de l’espace, ou menait des droites parallèles et égales aux déplacements de tous les points du système, les extrémités de toutes ces lignes seraient dan3 un même plan perpendiculaire à l’axe-; et, par conséquent, il suffirait, pour avoir la direction de cet axe, de mener par un même point des' droites égales et parallèles à trois déplacements, non parallèles à un même plan ; de (aire passer un plan par leurs extrémités qui ne seront pas en ligne droite, et d’élever une perpendiculaire à ce plan.

Si l’on commence par donner au système un mouvement de translation parallèle à l’axe et égal à la projection des déplacements réels sur l’axe, le système ne devra plus se mouvoir que parallèlement à un plan perpendiculaire .à cet axç; d’où résulte cette proposition :

Tout mouvement d’un corps solide peut être produit par deux mouvements successifs ; le premier perpendiculaire à un plan , et le second parallèle à ce même plan.

218. Mouvement d’un système parallèlement à un plan . — INous avons démontré, par une construction très-simple, que quand ce mouvement ne consiste pas en une simple

translation, il peut se réduire à une rotation. C'est aussi ce que le calcul démontre facilement.

En ell'et, en prenant les axes des x, y , x\ y' dans le plan donné, les équations générales (t) peuvent être mises sous la forme connue

x = ü x' cos a — y' sin a, y = n -(- j/ sin a H- /' cos a,

a désignant l’angle de l’axe des x' avec l’axe des .r. Or il est facile de voir qu’il existe un point qui a la même position avant et après le déplacement; car il suffit de déterminer x', y' par les conditions Ax = o, Ay = o, qui

donnent .

AÇ -f- x'S cos a — y' S sin a ?= o,

An -+- -c'a sin a -)- y' Acos* = O.

Ces équations déterminent un seul système de valeurs de x', y', et, par conséquent, un seul point du système ayant la même position après et avant le déplacement. Lescoordonnées de ce point ne peuvent jamais être infinies,

parce que leur dénominateur commun est

( A cos a) ! (A sin a)’,

et ne peut jamais ètrjc uul , à moins toutefois que l’on n’ait A cos a = o , A sin a = o ,

ce qui supposerait que l’angle a est resté le même, et que, par conséquent, le mouvement consiste dans une «impie translation. D’où se conclut celte proposition :

Tout déplacement d’un corps, dans lequel ses points restent dans des plans parallèles à un plan Jixe, et qui ne consiste pas dans une simple translation , peut être produit par une rotation autour d’un axe fterpcndiculairc à ce plan.

219. T ont déplacement peut être produit par un mouvement hélicoïdal. — Eneilèt, tout déplacement d’uu corps peut être produit par une translation suivie d'une rotation

• autour d’un axe de direction fixe. Or celte translation peut être remplacée par deux autres successives: l'une parallèle à l’àxe et de grandeur invariable; l’autre perpendiculaire à l’axe et dépendant, ainsi que la position absolue de l’axe, du point choisi pour déterminer la translation. Cette der-

* nière translation et la rotation déterminant un mouvement parallèle à un plan perpendiculaire à l’axe, peuvent être remplacées par une simple rotation autour d’une parallèle à

*. cet axe. Donc :

• • '/ Tout déplacement d’un corps peut être effectué en le

liant à une droite fixe et le faisant glisser le long de

* ’ cette ligne, puis tourner autour d’elle ; et ces deux mou- ' vemcnls successifs peuvent être remplacés évidemment par

un mouvement hélicoïdal. *

■ Cette proposition est démontrée ici pour un déplacement fini quelconque. Elle n’avait été considérée précédemment que dans le cas, le plus généralement utile, d’un déplacement infiniment petit. *

220. Les quantités p, (J, r ont entre elles des relations qui peuvent servir quelquefois à la simplification des formules, et que nous allons faire connaître. Soit U ( fig . 5i) le point 3 rencontre des axes mobiles }jjf Y' Z'; supposons-le fixe, et menons trois axes OX, OY, OZ parallèles aux axes fixes. Soit OI l’axe autour duquel s’opérerait la rotation qui amènerait le système dans la position déterminée par les accroissements Aa, Ah, etc.; les cosinus des angles de OI avec les axes X', Y', Z' sont proportionnels à p, q, r. Concevons que trois axes, coïncidant djabord avec X, Y, Z, soient liés à X', Y"', Z' et entraînés avec eux. Soient X, Y’, Z, les positions de cu^ nouveaux axes après le déplacement effectué. Prenons surOX, OX, les longueurs OA, OA, égales à i;

le point qui était eu A avant la rotation, sera arrivé en.A,, et par conséquent AA, fera un angle droit avec l’axe OI.

Or les axes X'Y'Z' dans leur nouvelle position font avec OX, les mêmes angles qu’ils faisaient primitivement avec OX, puisque OX, qui leur est lié coïncidait d’abord avec OX; les cosinus de ces angles sont donc a, b, c. Ces mêmes axes font avec t)X des angles dont les cosinus sont «4- A «, b + A b, c 4- A c. Ces derniers sont les projections de OA sur les axes X' Y- Z', et les premiers les projections de OA' sur les mêmes axes; de, sorte que A a, A//, Ac ne sont autre chose que les projections de la droite A'A sur les axes X' Y' Z', et, par conséquent, les cosinus des angles que la direction A'A fait avec les axes X', Y', Z ' » sont proportionnels à A a, A b, A c, et respectivement de mêmes signes. Donc, puisque les directions OI et A'A sont perpendiculaires entre elles, on aura

pAa 4 - q Ab 4- r Ac — o.

En considérant les axes des Y et Z au lieu de l’axe des X, ou aura deux équations analogues ; ce qui donne les trois équations suivant® :

pAa 4-1 1 Ab 4 - ràc = o, p Alt' 4- q Ab' 4- r A c' =z o, p An 4 q Ab + r A c — O .

Si maintenant on fait pour les axes des x', y ' , z' ce qu’on vient de faire sur ceux des x, y, z , c’est-à-dire si l’on prend sur chacun de ces axes un point à la distance I de l’origine, et que l’on exprime que la droite qui johit la première et la seconde position de chacun d’eux est perpendiculaire à OI, on aura trois équations nouvelles.

En prenant, par exemple, le point sur OX’, les projections de son déplacement sur les axes X, Y, Z seroul Art, An', Ac/", et seront proportionnelles aux cosinus des angles

— STATIQUE. l5 I

que fait avec X, Y, Z, la direction suivant laquelle le point s’est déplacé. Si on les multiplie respectivement par les cosinus des angles que fait 01 avec ces mêmes axes, la somme de ccs produits sera nulle, puisque l’angle des deux directions est droit. On obtient, de cette manière, les trois équations suivantes :

(ap 4- lit/ cr) la 4- (a’ p 4- b' </ 4- d r) an'