IF

db'

dx'

djd dz'

• dt dt dt

de'

dz dZ da" tlb" ,dc"

dt dt dt " dt dt

dx ’ dy'

dt dt

dF'

Les premiers membres de ces équations sont les composantes de la vitesse absolue du mobile, parallèles aux axes X, Y, Z.

Les quatre premiers termes des seconds membres de ces

équations sont les valeurs que prendraient b, Z, b s {

x', y ' , z' étaient constants: ils représentent donc les composantes parallèles à X, Y, Z de la vitesse du point du système qui coïncide avec le mobile, à l'amant que l’on

dx' dr' dz'

considère. Si maintenant on observe que-—, -f-, sout

1 dt dt dt

les composantes parallèles à X', Y', Z' de la vitesse relative, ou apparente, du mobile dont nous représentons les coordonnées relatives par x', y', s', on reconnaîtra immé-

diatement^que les trois derniers termes des formules ( 2 ) reprise îtent les composantes de cette vitesse relative, parallèles aux trois axes fixes X, Y, Z. On retombe ainsi sur cette proposition, déjà démontrée géométriquement :

La vitesse dans le mouvement composé d'un point est la résultante de la vitesse de ce point par rapport, au système , et de la vitesse du point coïncident du système.

D’où l’on conclut encore que

La vitesse relative du point est la résultante de sa vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident du système.

245. Différentiant de nouveau les équations ( 2 ), nous obtenons

dF = \ÿF + x d? + - r IF + 5 dF j

+ \ a dF +b dF+ c dF)

l dx' da dy' db dz' dc\

+ 2 dï + ir de "*■ TT di ) ’

d 7 y ld*n d 2 a' d 2 b' ,d 2 c'\

dF ~ [dF + x dF + y FF + 1 IF) y lit 2 dt 2 dt 1 J

/d.r du ' dy' db' dz' de' \

+ 2 l Wdr^drw^didir

d 2 z fd’Ç ,d'a" ,db" ,d’c"\

dF ~\dF 1ÎF + - r dF~ + z dF~ )

\ dt 2

dt 2 ’ ' dt ’dx'da" ( dy 2 db"

dt dt

dz' d£\ dt dt )

Si l’on suppose toutes ces expressions multipliées par

rnr.MiÈRK asnke. — statique. a85

les premiers membres des équations (3) seront les composantes de la déviation, correspondante à l’intervalle 0, dans le mouvement absolu du point, estimées parallèlement aux axes X, Y, Z.

Examinons maintenant les trois parties dans lesquelles nous avons décomposé les seconds membres. La première exprime dans les trois équations les valeurs que prennent

cl"* jc d 7 Y fl 7 z

respectivement lorsqu’on suppose x', z'

constants; c’est-à-dire lorsqu’on suppose le point ( xyz ) lié invariablement au système. Ainsi, après l’introduction du

facteur les premières parties en question sont les compo-

santes de la déviation du point du système qui coïncidait avec le mobile : les secondes parties sont les composantes de la déviation dans le mouvement relatif du point, estimées de môme parallèlement aux axes X , Y, Z. Il ne reste donc plus qu'à interpréter les dernières parties, et à reconnaître de quelle ligne elles sont les composantes par rapport à X, Y, Z.

Pour cela nous chercherons les composantes de cette ligne par rapport à X f , Y', Z'; ce qui se fera en ajoutant les projections des premières composantes sur ces nouveaux axes; on obtient ainsi, en négligeant le facteur 6’, les trois expressions suivantes :

dx'

dF'

et il suffit de déterminer la ligne dont elles sont les projections sur X', Y', Z'.

Mais, d’après les formules (4) du n° 22t>, on voit que, si par le point O on mène deux droites 01, OY, dont les composantes soient, pour la première, />, q, r, et pour la so-

COURS nr. MÉCANIQUE.

ronde,

dx' dÿ

HT ’ Ht'

dz'

dt ’

les expressions (4) représentent les

projections de l’aire du parallélogramme construit sur ces deux lignes, sur les plans des T, y', z' : elles sont donc proportionnelles aux cosinus des angles que fait avec X', Y', 7/ l’axe de cette aire , et leurs signes se rapportent à la direction de l’axe de la rotation qui amènerait 01 vers OV par le plus court chemin.

L’aire de ce parallélogramme peut être remplacée par le produit de ses deux côtés adjacents et du sinus de leur angle : de sorte que la ligue dont les expressions (4) sont les projections, et qui est dirigée suivant l’axe de rotation qui vient d’être défini , est égale à «i' r sin à , 0 ) étant la vitesse angulaire, e r la vitesse relative du mobile, et a l’angle de la direction de cette vitesse cl de l’axe instantané. En multipliant cette valeur par G*, on aura la troisième composante de la déviation dans le mouvement absolu du mobile. On obtient de cette manière l’expression déjà donnée

à’u.r, sin <T.

On retombe ainsi sur la proposition démontrée n°240, et l’on en déduirait semblablement l’expression de la déviation dans le mouvement relatif du point.

Remarque. — Lorsque le mouvement du système rigide est connu, c’est-à-dire lorsque £ , r , , £, a , b, c, a', b', c', a ", b'\ H' sont des fonctions données du temps , il est facile de voir comment on peut déduire le mouvement relatif d’un point, de la connaissance de son mouvement absolu, et réciproquement. En effet, si l’on connaît x, y, z en fonction de r, les équations (i) donneront x' , y' , z' ; et réciproquement elles donneront x, y, z si l’on connaît x', y', z' en fonction de /.

STATIQUE

PREMIÈRE ANXÉE. —

Si l'cm connaît seulement une des deux trajectoires, absolue ou relative, on en déduira facilement l'autre. Si , par exemple, l’on donne deux équations entre .r, y, z seulement , qui déterminent la trajectoire absolue du mobile, il suffira d'éliminer 1 , i, f entre ces deux équations et les équations (3), et l'on aura deux équations entre x', y\ z' seulement, qui seront celles de la trajectoire relative. Il en serait de même si l'on donnait d’abord deux équations entre x\ y', z et qu’on demandât celles de la trajectoire absolue.

Il est facile de généraliser ces considérations en substituant à un point un système rigide dont le mouvement pourra être déterminé par trois de ses points, ou de toute autre manière. On verra facilement que son mouvement relatif peut être déduit de son mouvement absolu, et réciproquement. iNous nous écarterions de notre objet en entrant dans plus de détails à cet égard.

Autre manière d’envisager le mouvement relatif.

2 40. Dans ce qui précède, nous avons considéré le mouvement relatif comme un des mouvements composants d’un corps, ou d’un point matériel. Nous avons cherché comment les données de ce mouvement pouvaient servir à déterminer, soit la vitesse, soit la déviation dans le mouvement absolu: el il a été facile de déduire de là l’expression de ces mêmes quantités dans le mouvement relatif.

Mais on peut aussi se proposer directement l’étude du mouvement relatif, cl l’on peut, pour cela, procéder de plusieurs manières. La marche que nous choisirons est celle dont l'idée générale se reproduit identiquement dans les

questions les plus diverses, et qui ramène le plus naturellement à la considération du mouvement absolu.

Elle cousiste à laisser s'effectuer les deux mouvements, puis à lier entre eux le point ou le corps avec le système par rapport auquel on le considère, et à donner à leur ensemble un mouvement qui ramène ce dernier à sa première position.

De cette manière, le corps aura toujours les positions relatives qu'il doit avoir dans le système en question qui se trouvera rendu immobile. Et il suffit d’ajouter un mouvement de plus à ceux auxquels le corps est assujetti ; savoir, le mouvement d’ensemble qui ramène constamment le système de comparaison dans sa première position. On voit ainsi qu’en ajoutant un nouveau mouvement au corps, et cherchant le mouvement absolu résultant, ce dernier sera précisément le mouvement relatif, tel qu’il aura lieu dans le système, et que l’on se propose d'étudier. Toute la question consiste donc dans la détermination précise du mouvement à introduire, puisqu’après cela on rentre dans la considération ordinaire du mouvement absolu. Telle est la méthode depuis longtemps suivie, et que nous allons appliquer aux deux questions principales qui sc rapportent au mouvement d'un seul point.

217. Vitesse dans le mouvement relatif. — Soient M (fig. 54) une position quelconque du mobile, M' celle qu’il aura après un temps infiniment petit, M, celle qu'occupera après ce même temps le point du système qui coïncidait avec lui en M. Joignons ces points par des droites, et formons le parallélogramme MM,.\1'K. Considérons maintenant le point IM' comme lié au système, et ramenons ce dernier dans sa première position. Il suffira de donner à l’ensemble un mouvement de translation qui amène IM, en M , et M' en K •, puis un mouvement de rotation autour

l'UF.MIFRK ANNKK. — STATIOUK.

tic M,qui nt; pourra changer lu nouvelle position du point INI' que d une quantité inliniineiH petite du second ordre, puisque MK, est du premier. Nous pourrons doue négliger cette quantité et supposer tjue M ; reste en K. Or, les directions des trois droites MK, .MM', MM, ont pour limites celles des tangentes aux trajectoires, relative et absolue, du mobile, et à celle du point coïncident du système, et les rapports de ces trois droites ont pour limites ceux des vitesses sur ces trajectoires. D’où l'on conclut , comme précédemment, que :

La vitesse relative, est la résultante r/e la vitesse absolue, et de la vitesse, prise en sens contraire, du point coïncident tlu système.

248. Déviation dans le mouvement relatif. — f.a quantité à calculer étant du second ordre infinitésimal , nous ne pourrons plus négliger, comme nous venons de le faire , le mouvement de rotation qui introduit une quantité du second ordre.

Soient M (fig. 5 7 ) la position du mobile à un instant quelconque , M' celle qu’il occupe après un temps infiniment petit 0 , et T' celle qu’occuperait sur la tangente à la trajectoire un point partant de M en même temps que le mobile, et se mouvant uniformément avec la vitesse que celui-ci a en M; T'M' sera la déviation dans le mouvement absolu. Soit de même T, M, la déviation après le temps 9, dans le mouvement du point du système qui coïncidait avec le mobile en M. Les longueurs MT', MT, pourront être prises pour représenter les vitesses en M sur ces deux trajectoires.

Or, pour avoir la déviation dans le mouvement relatif, il faut commencer par mener en M la tangente à !.i : jeetoire relative, supposer un point qui s’y meuve uniformément avec la vitesse relative pendant le temps S, tan- 1. '!>

COURS ItK MECAXKjDK.

«lis qu’elle est eulrainée par le système avec lequel elle est fixement liée, puis joindre le point où il est ainsi parvenu avec le point M'; celte droite sera, en grandeur et en direction , la déviation dans le mouvement relatif.

Cela posé , considérons le point M' comme lié au système , et ramenons celui-ci dans sa position primitive; la déviation relative se sera transportée dans une position <|u’il est très-facile de déterminer.

Donnons d’abord au système les «leux mouvements de? translation M,T, et T, M qui ramènent le point M, à sa première position M. En menant M ' jn' égal et parallèle à T, M, //«' u égal et parallèle à M,T 1 , on aura la position «le M' api ■ès les deux translations.

Lorstiu’ensuite le système tournera autour de l’axe instantané passant par M avec la vitesse angulaire «a pendant le temps 0 , le point p tlécrira un arc infiniment petit peu', que nous déterminerons tout à l’heure ; p' sera la position du mobile lorsque le système sera revenu à sa première position.

Dans cette situation, la tangente à la trajectoire relathe sera dans la direction et la longueur même Mt' sera l’espace parcouru uniformément avec la vitesse relative, pendant le temps 0. dans lequel les longueurs MT', et MT, égal à T' t\ sont parcourues sur les tangentes aux deux autres trajectoires; d’où il suit que la déviation relative sera t' u! .

Mais t'p'estla résultante des trois lignes t' m ' ou T' M', m'p ou M, T,, et enfin pp'. La première est la déviation dans le mouvement absolu; la seconde, la déviation, prise en sens contraire, dans le mouvement du point coïncident du système.

Quant à la troisième ligne pp' décrite par le point p tournant autour de 1 axe instantané MI. nous commence-

J* R KM I Kl. K ANNLR. — STATIQUE. ?*c)!

tous par remarquer qu'elle peut être remplacée par celle que décrivait le point t', qui u’est distant de p que d'un infiniment petit du second ordre. Sa direction est donc perpendiculaire au plan IMf' mené par l’axe instantané et la vitesse relative, et le sens que l’on doit prendre est celui de la rotation elle-même. Sa valeur est le produit de l’angle de rotation «6 par la distance de I 1 à Ml , ou par le produit de Mt' par sin IM/'; et comme M/’ — 6e r , v r désignant la vitesse relative, l’arc up/ a pour valeur 6’urv sin l.M t\ qu négligeant les quantités infiniment petites d’ordre plus élevé. On retombe donc sur les résultats précédemment obtenus, et l’on retrouve la décomposition de la déviation relative, telle qu'elle est énoncée dans le n° 243.

COURS UK MECAÏflQUF.