PRINCIPES GÉNÉRAUX

INous allons maintenant considérer le mouvement dans ses rapports avec les causes qui le produisent, et que nous avons désignées généralement sous le nom de forces.

219. Inertie. — Quand un corps parait passer du repos au mouvement, c’est-à-dire lorsqu'il se déplace par rapport aux objets qui semblent immobiles à la surface delà terre, on reconnaît le plus ordinairement une rause extérieure qui a agi sur lui en ce moment; ou encore une cause qui agissait déjà sur lui pendant le repos , mais dont l’action était détruite par uu obstacle qui a cessé d’exister à l’instant où l’on a vu le mouvement commencer ; et il est naturel d’étendre ce fait au cas où le corps partirait du repos absolu. Cela posé ,• ou est porté à admettre que , si un corps se met en mouvement sans qu’on en aperçoive aucune cause hors de lui, celte cause n’en existe pas moins, mais seulement que les moyens nous manquent pour reconnaître sou existence.

De plus, l’expérience montre constamment qu’à mesure que les actions extérieures diminuent, le mouvement des corps tend, de plus eu plus, à devenir rectiligne et uniforme; doit l’on conclut que telle serait rigoureusement la

STATIQUE

VHt.Mli.lt t. AKS'IE. —

nature tlu mouvement si toutes les actions ou résistances n’existaient pas.

C’est de l'ensemble de tous ces faits que l’on a déduit le principe de l' inertie de la matière, qui a été confirmé sans aucune exception , par l’accord des conséquences qu’on en a tirées avec les faits résultant d’expériences directes. Il peut être énoncé de la manière suivante:

Tout point materiel en repos y reste tant qu’il ne survient aucune action extérieure ou force ; et s'il se meut sans qu’aucune force lui soit appliquée , son mouvement sera rectiligne et uni/ornTb.

Mais il ne faut pas entendre par là qu’un corps n’entre pour rien dans la production des forces qui peuvent agir sur lui. L’ensemble des phénomènes naturels montre, au contraire, que ces forces naissent toujours de l’action mutuelle de ce corps et d’autres corps. L inertie consiste donc en ce qu’un point matériel ne peut changer de lui-mème son état, de repos ou de mouvement rectiligne uniforme, et qu'il faut toujours pour cela l'existence et l'action d'autres points matériels.

250. jNous allons maintenant faire connaître un principe général auquel on a été conduit par une foule d'ohservaüons et d’expériences , et qui est vérifié par l’accord constant entre les résultats auxquels conduit son admission, et. l’observation directe des phénomènes. Il consiste en ce

Si tous les points d’un système ont des vitesses conslanfos et égales , et se meuvent suivant des directions parai et que l’un d eux vienne à être sollicité par une ccrfHme force, son mouvement relativement aux autres sera ~J^mêmc que si le mouvement commun au système n'avait font existe, et que le point en question eut été sollicité par la menu: force , agissant dans la même direction.

On aperçoit facilement par quel genri d’expériences on

pourrait reconnaître la vérité de ce principe si la terre était immobile. On donnerait un mouvement uniforme commun

à un système de points mobiles les uns par rapport aux autres, on appliquerait à l'un d’eux une force dont on ferait varier la direction et l’intensité, et l’on observerait le mouvement relatif de ce point. Ou répéterait les mêmes expériences en changeant le mouvement uniforme commun, et l’on reconnaîtrait que le mouvement relatif est tout à fait indépendant du mouvement uniforme commun, et le même que si ce dernier n'existait pas.

Ces expériences ont été faites, mais on ne saurait en conclure le principe en question, parce que la terre étant en mouvement, le système auquel on donnerait un mouvement uniforme par rapport aux objets qui restent fixes à la surface de la terre, n aurait réellement un mouvement uniforme commun dans l'espace , que si ces objets eux-mêmes étaient animés d’un mouvement uniforme commun. Or, on sait qu’il en est autrement, et que les points qui occupent toujours une même position à la surface de la terre changent continuellement de vitesse pendant le cours de l’année. Cependant les mêmes faits se reproduisant toujours, quelle que soit cette vitesse, l'analogie conduit à admettre qu’il en serait encore ainsi si elle était nulle, et l’on obtient alors le principe général que nous avons énoncé. A la vérité , ou ne peut pas dire qu’il soit rigoureusement éla* bli par l’expérience, il résulte d’expériences et d’indffc-, lions ; mais il se présente avec assez de probabilité pour servir de base à une théorie. Si l’on trouve que les indictf-

tions de cette théorie sont toujours d’accord avec l rience , cela lui donnera uuc probabilité de plus en grande , et qui équivaudra pour nous à la certitude. jNcmS en dirons autant des autres principes auxquels nous senis c onduits par des expériences répétées, dont nous étendrons

cl généraliserons les résultats.

m KM 1 MU- ANSÏF,. — STATIQUE. 2(jji

Ü3I. Mouvement produit par une force constante. — On entciul par force constante celle qui exerce la même action sur le corps auquel elle est appliquée , quel que soit le mouvement de ce corps. Cela posé , considérons un point matériel ayant d’abord un mouvement rectiligne et uniforme. Si on lui applique une force constante dans le sens de son mouvement, sa vitesse augmentera de quantités égales dans des temps égaux quelconques, puisque, d’après le principe précédent, l’accroissement de vitesse est indépendant de la vitesse précédemment acquise. Ainsi, le mouvement rectiligne d’un point sollicité par une force constante, et partant avec une vitesse initiale quelconque, est tel, que la vitesse croit de quantités proportionnelles au temps. On voit de la même manière que si la force était en sens contraire du mouvement initial, la vitesse diminuerait proportionnellement au temps; et à partir de l’instant où elle serait annulée, le mouvement changerait de sens, cl la variation de la vitesse serait toujours la même qu auparavant, dans des temps égaux.

Une force constante produit donc le mouvement que nous avons nommé uniformément varié (n° 190). En désignant par v la vitesse, positive ou négative, du point, pour une valeur quelconque du temps /; par b la vitesse initiale, c’est-à-dire correspondante à t. — o ; enfin par a l 'accélération positive ou négative, produite par l'action «le la force sur le point matériel, on aura, comme dans le numéro qui vient d’être cité,

rl.C

•• = nt -+■!>= — lit

Ct

ilt‘

■r — 1- vt -t- r ;

«.• désignant la valeur initiale de .r, et déterminant , par conséquent, la position initiale «lu mobile.

COU nS UK MICAXIQUF..

ai)(i

t2oii. Si Ja force, au lieu d'être constante, augmentait ou diminuait d’une manière continue, on pourrait regarder comine évident que la vitesse ne croîtrait plus de quantités égales dans des temps égaux, comme dans le cas où la force était toujours la même. On conçoit au reste combien il a été facile de vérifier par l’expérience celte induction si naturelle. Et nous en déduisons cette conséquence "immédiate, que :

Si un ///an matériel est anime ri’ un mouvement uniformément varié , il est nécessairement sollicité, par une force constante.

Remarques. — La considération du temps est nécessaire dans la production de tout mouvement, parce qu'il faut toujours un temps fini pour que l’action d’une force fasse acquérir à un corps une vitesse finie. Quelquefois on a distingué deux espèces de forces: les unes , que l’on nommait instantanées, produisaient des vitesses finies, sansque leur action s’exerçât pendant un intervalle de temps quelconque, si petit qu’on pût le supposer; les autres, que l’on nommait accélératrices , avaient besoin d’agir pendant un temps fini pour produire une vitesse finie. Mais, comme tonies les actions sont continues dans la nature , et que les forces instantanées n’ont aucune existence réelle, les géomètres s'accordent généralement à ne plus les admettre dans la science. Il n’en sera jamais question dans ce cours, et nous ne considérerons que les forces continues, c'est-à-dire qui ne produisent une vitesse finie que quand leur action s’est exercée sans discontinuité pendant un temps fini.

2oil. Si deux points ayant des masses égales partent du repos et sont sollicités par des forces égales et parallèles, ils prendront un mouvement identique, et par conséquent, on 11 e changera rien à leur état, en supposant qu’ils soient liés invariablement 1 un à l’autre, et que leur système soit sollicité par la force double qui est la résultante des deux

PHF.MIF.M'. A.VXÉF.. ■ — ST.lTIQUf.. 2«CJ

autres, ei par conséquent, appliquée au centre de gravité des deux points. I) en seiait de mémo pour un nombre quelconque de points, de sorte que si deux masses sont dans le rapport de m à n , et qu’elles .soient sollicitées par des forces dans le même rapport, appliquées à leurs centres de gravité respectifs, elles prendront des mouvements identiques, et tous leurs points décriront des droites parallèles.

Si l'une des masses était sollicitée par une force moindre ou plus grande que celle qui résulte de cette proportion, elle aurait évidemment un mouvement différent de l’autre. D’où résulte cette réciproque, que si deux masses inégales ont un même mouvement , les forces qui leur sont appliquées sont proportionnelles A res masses.

254. Application rie et : qui précède à la pesanteur. — L’expérience a appris que tous les corps, abandonnés dans le vide à la libre action de la pesanteur, prennent des mouvements identiques, quelles que soient leur grandeur, leur espèce et par conséquent leur masse. On doit conclure de là que les forces respectives auxquelles tous les corps sont soumis, pendant leur mouvement, par l’action de la pesanteur, ou les poids de ces corps, sont proportionnelles aux masses de ces corps.

L’expérience a encore fait connaître les deux faits suivants, dont l’un est une conséquence de l’autre; savoir, (jue les espaces parcourus par un corps qui part du repos et abandonné à la libre actiou de la pesanteur, sont proportionnels aux carrés 'des temps; et que les vitesses acquises sont proportionnelles aux temps. De l'un ou de l’autre de ces faits, on” conclut, d’après la discussion précédente, que la force à laquelle ce corps est soumis est constamment la même pendant tous le cours de son mouvement.

On peut reconnaître encore que son intensité est la même que lorsque le corps est en repos. F.n ellcl , au moyen

cours df iih.axhjijiî.

d'un appareil semblable à celui de la machine d ’Alwood, on peut communiquer à lin corps un mouvement vertical uniforme. Dans ce cas, la force produite par la pesanteur est détruite, el l’on peut en avoir la mesure exacte par la tension d’un ressort auquel serait suspendu le corps et qui participerait au mouvement vertical. Or, l'expérience prouve que cette tension est la même que lorsque le système est en repos; d'où il suit que le poids d'un corps est le même dans l’état de repos et, dans l’état, de mouvement.

l.es masses des corps étant donc proportionnelles à leurs poids dans l'étal de repos , les instruments qui servent à mesurer ces poids serviront à déterminer les rapports des masses, et l'on pourra représenter ces dernières quantités par des nombres, en prenant pour unité la masse d un volume déterminé d’une substance choisie arbitrairement, et prise à une température déterminée. Avant les expériences de Galilée sur la chute des corps , on ne pouvait savoir que les masses étaient proportionnelles aux poids; et il en serait tout autrement si la pesanteur était, par exemple, une force du genre des attractions magnétiques qui ne s’exercent pas sur toutes les substances, et même qui s’exercent inégalement sur celles qui sont soumises à leur influence.

255 . I.a vitesse acquise par les corps pesants tombant librement dans le vide, pendant un temps donné, dépend du lieu où se fait la chute ; elle subit de petites variations suivant la latitude et l’élévation au-dessus du niveau de la mer. Nous ne nous proposons pas ici d'en faire connaitre les lois, el nous nous bornerons à donner la valeur de la vitesse acquise par un corps qui tomberait pendant l'uni lé de temps, dans le vide, à l'Observatoire de Paris.

Pour déterminer d’abord l’unité de temps, nous supposerons le jour moyen partagé en a4 heures, l’heure en fis» minutes, la minute en 60 secondes; et nous prendrons pour «mite* la seconde, ou la 8t> joo' partie du jour moyeu.

rRK.MlÉl.E ANNEE. — STATIQUE. 2 l)<)

Le jour sidéral , ou la durée de la rotation de la terre sur elle-même, est plus court que le jour solaire à cause du mouvement propre du soleil; il n’est que de 86164,09 secondes. Cela posé, si nous désignons par g la vitesse acquise pendant une seconde par un corps tombant dans le vide, à l’Observatoire de Paris, nous aurons, d’après des expériences précises dont nous parlerons plus tard,

le mètre étant l’unité de longueur.

2o6. D après ce que nous avons vu dans le mouvement uniformément vai ié , nous aurons dans le cas d’uu corps qui tombe verticalement dans le vide, en supposant la vitesse initiale nulle, prenant l’origine des x au point de départ, et les x positifs dans le sens de la pesanteur,

et , par suite ,

r = 2 g.v , ou i* — y 2 gx.

Cette dernière expression s'appelle communément la vitesse

fine à la hauteur x , et réciproquement, x ou — s’appelle

la hauteur duc à la vitesse v.

Si le corps est lancé verticalement de bas en liant avec une vitesse a, 011 aura, en prenant l'origine des a: au point de départ, et les x positifs en sens contraire de la pesanteur,

gt 3

t ’ — a — gt , ,r — ut — — •

La vitesse deviendra nulle pour / = - , d'où X — — • Le

mobile monte donc pendant un temps égal à celui qu’il iqcilrail .1 acquérir la vitesse initiale a : et l’espace qu’il

cours r>F. M M:\MgLE.

3oo

parcourt en s'élevant est égal à celui qu'il parcourrait en descendant pendant le même temps sans vitesse initiale.

Le mobile après le temps " redescend, puisque l’cxprcs-

sion de la vitesse change de signe; et d’après ce qui vient d'ètrc dit, il doit se trouver au point de départ avec une vitesse égale à — a , après un nouvel intervalle de temps

égala --Et, en effet, les formules précédentes, pour

in .

t = — ? donnent fi

Proportionnalité île lu vitesse à la fort e.

237. Ce principe fondamental delà dynamique consiste en ce que deux forces constantes quelconques qui sollicitent des masses égales pendant un même temps, leur fout acquérir des vitesses qui sont entre elles dans le meme rapport que les deux forces.

beaucoup de géomètres ont admis ce principe comme une hypothèse, et ils vérifiaient son exactitude par l’accord entre les résultats des théories fondées sur elle, et des expériences ou des observations directes.

Mais, comme il est une des hases principales delà dynamique, nous croyons devoir montrer comment on peut en reconnaître l’exactitude par des expériences de dill’érente nature, et (pie I on peut faire pour autant de valeurs différentes que l’on voudra de la force accélératrice constante, ce qui n 'empêchera pas d'ailleurs de faire par la suite les vérifications dont on se contentait ordinairement.

Rappelons-nous d’abord le principe admis précédemment, que le mouvement rectiligne et uniforme commun à un système de points n influe pas sur le mouvement relatif produit par une force particulière qui agit sur l'un d’eux.

w.imimvi: aSxkk. — STvriquii. Soi

iNous pourrons, d'après cria, eu regardant 1rs points soumis aux expériences comme ayant une vitesse coinimmc ronstantc en grandeur et en direction , supposer la terre immobile quand il s’agira d’étudier les mouvements absolus que produiraient diverses forces sur des corps situés à sa surface; car le mouvement relatif que loti observera ne différera pas du mouvement absolu qui serait produit paires mêmes forces agissant seules sur les mêmes corps partant de l’état de repos.

Pour étudier la loi suivant laquelle varie le mouvement d’une même masse, sollicitée successivement par diverses forces constantes, et parlant toujours de l’état de repos, on peut faire usage d appareils analogues à la machine d’Alwood, et qui donnent le moyen de faire varier d’une infinité de manières la force appliquée à une même masse, et de mesurer avec une grande précision la vitesse acquise après l'unité de temps. Il sera facile alors de déterminer la loi suivant laquelle cette vitesse varie aver la force qui la produit.

Désignons par M la masse de l’un quelconque des poids égaux, primitivement en équilibre sur la machine, et par m la masse du poids additionnel p. Tous les poiutsdu système avant le même mouvement, des masses égales sont sollicitées par des forces égales; ainsi une masse égale à m lie sera plus sollicitée par la force />, mais par la force

p — — ) ou — — — — : et l'on peut choisir le rapport

r sM 4- m M 1 1 r