CHAPITRE IV
APPLICATIONS DES FORMULES GÉNÉRALES OU MOUVE- MENT d’un POINT LIBRE.
285. Mouvement produit par une force dont la direction est constamment tangente à la trajectoire. — Dans une position quelconque du mobile, les cosinus des angles
• fi 7 X
que fait la force avec les axes, sont proportionnels à -^ 7 »
fi ^ y* fl 7 Z
-—■> et» pa r hypothèse, ils doivent être aussi proportionnels à ceux qui se rapportent à la tangente à la traj’ec-
, d.r rty Hz dt ’ rit ’ dt
. , . . . iw ri y "Z r . .
toire en ce meme point, ou a — • Un devra donc
avoir les égalités suivantes :
ri* X
dt*
dt'
dt'
dx
~ dy ~
riz
dt
dt
HT
statique.
WlKMIÉHE ANNÉE. — STATIQUE.. 343
Intégrant ces trois membres et désignant par c, c\ c" trois constantes arbitraires, il vient
I , I c' ’lL —
' ' dt ' dt
c iit'
ou
dx dy H ilz dt dt dt
Intégrant de nouveau et désignant par a, a, a." trois nouvelles constantes arbitraires, On obtient
ex -+- a = < y a — c z
Les coordonnées du mobile satisfaisant à deux équations du premier degré, il s’ensuit que la trajectoire est une ligne droite.
La position initiale du mobile sera un point de celte droite. Les composantes initiales de la vitesse donneront, au moyen des équations (t), les rapports des coefficients c, c\ c". La droite donnée par les équations (a) sera donc déterminée, puisqu’on connaît sa direction et un de ses points.
Ainsi, la question est ramenée au mouvement sur une droite donnée, et sera traitée comme précédemment, quand la force sera connue.
286. Mouvement produit pur une force constamment normale à la trajectoire. — La condition connue pour que deux droites soient perpendiculaires, donne immédiatement, dans le cas actuel, f équation
d.r d - . r dy d 7 y dz d 7 z
dt dt ’ dt rît ’ r " dt dt 1
Or le douille du premier membre est la dérivée de
/ dx
COURS DF. >1 ECAN1QL' F.
ou de i'*. e désignant toujours la vitesse; il en résulte donc que la vitesse est constante. Ainsi, en désignant par sa valeur initiale, on aura
fl J P* d >•* flz 3
dt' dt' dt‘ * *
Il suffira donc de connaître deux autres équations pour que le mouvement soit déterminé. Nous 11’en offrirons ici aucun exemple; nous nous étions proposé seulement d’établir la proposition générale suivante :
Lorsque la force qui sollicite un point matériel est toujours normale à sa trajectoire, le mouvement, tic ce point est uniforme.
On se trouve dans les conditions de cette question quand on considère un point assujetti à sc mouvoir sur une courbe ou une surface fixe qui ne produit aucun frottement, en admettant qu’il n'y ait aucune force autre que la résistance de la courbe ou de la surface : le mobile est alors sollicité par une force constamment normale à sa trajectoire, et son mouvement sera par conséquent uniforme.
Remarque. — On aurait pu parvenir aux conséquences précédentes , relativement à ces deux dernières questions, au moyen des formules qui expriment la composante tangentielle et la composante normale de la force appliquée au mobile.
En effet, si cette force est toujours tangente à la trajectoire, la composante normale est toujours nulle; et l’on a, en chaque point ,
-= o , cm II = oc .
Donc la ligne est droite, puisque son rayon de courbure est infini en chaque point.
Et, si la résultante est toujours normale; la composante
PBEMIÈKE ANSEE. — STATIQCE.
tangenlielle est toujours nulle; et, par conséquent,
ou la vitesse, a une valeur constante.
287. Propriété du mouvement produit par une force qui passe par un point fixe . — Lorsqu’un point matériel est sollicité par une force dont la direction passe par un point fixe que l’on prendra, pour plus de simplicité, comme origine des coordonnées, les cosinus des angles formés par la direction de cette force avec les axes doivent être proportionnels aux coordonnées x, j, s du point; et, comme
d 3 x df rf’
ils sont proportionnels aux composantes ^ la force accélératrice, on aura
dt‘ do
de
d'où I on lire
dt 1
dt
y dO
et, en intégrant par rapport à t,
. . dz dy
dx
'dt
xÿ=C, = C",
dt dt dt
