C . , C', C" étant des constantes arbitraires

Si l’on multiplie la première de ces équations par x , la seconde par y, la troisième par z, et qu’on les ajoute, on trouvera l’équation suivante entre les coordonnées du point à un instant quelconque :

Cr 4- C'y 4- C"s = o.

Le point ne sort donc pas d'un plan passant par 1 origine,

comme on pouvait le reconnaître à priori, en observant qu’aucune cause ne tend à faire sortir le point du plan mené par le centre d'action et la direction de la vitesse initiale.

Pour interpréter les équations (2) , soient r la projection du rayon vecteur mené de l’origine au point mobile, sur le plan XY, et 6 l’angle qu elle forme avec l'axe des x. Nous supposerons que les angles croissent de l'axe des .r positifs vers l’axe des y positifs, de sorte qu’en se plaçant dans l'axe des z positifs, on voit s’exécuter de gauche à droite le mouvement du rayon qui décrirait les angles croissants. Nous regarderons les aires décrites par un rayon vecteur comme croissant dans ce môme sens ; et il en sera de même pour chacun des autres axes, relativement aux deux autres plans.

Cela posé, 011 aura l'équation générale

tang û =

d’où

d 0 dy dx

dt X dt dt

cos’ 0 x 1

pt, par conséquent,

dy dx ,d 0 d\"

X dt } dt ~ r dt ~ 2 dt'

en désignant par V l’aire décrite par la projection r du rayon vecteur du mobile.

Si l’on désigne de môme par W et ). les aires décrites par les projections de ce rayon vecteur sur les plans ZX et ZY, les équations (2) donneront

d 6ti

>n C dy d\" Ç"

dt 2 dt 2 ’ dt 2

i = \ct, w=\ct, r=ic "t,

en supposant que les aires commencent avec le temps t .

STATIQUE

Ces équations montrent que les aires décrites, à partir de cet instant, par les projections du rayon vecteur du mobile, croissent proportionnellement au temps. Et comme le mouvement du point s'effectue dans un plan , il s'ensuit que les aires décrites par le rayon vecteur du mobile dans ce plan, sont aussi proportionnelles au temps. La valeur de ces aires peut s’exprimer facilement en observant que toute aire plane est égale à la racine carrée de la somme des carrés de scs projections sur trois plans rectangulaires. On aura donc, pour l’expression dé cès aires,

Réciproquement, si les aires décrites par les projections du rayon vecteur sont proportionnelles au temps, la direction de la force qui sollicite le mobile, passe constamment par l’origine. Car alors les équations (3) auront lieu, et, par suite, les équations ( 2 ) qui, différentiées, donneront les équations ( 1 ); or ces équations expriment que les cosinus des angles que fait avec les axes la direction de la force f et ceux qui se rapportent à la droite menée de l’origine au point (.r, y. z) sont proportionnels, et que, par conséquent, ces deux droites se confondent.

C’est dans ces deux propositions réciproques que consiste le principe des aires pour un point matériel.

288. Si le point était sollicité par des forces dirigées vers deux centres fixes, les équations ( 1 ) ne seraient plus satisfaites; mais la première aurait encore lieu en prenant pour axe des z la droite qui passe par les deux centres. En effet, la résultante des forces auxquelles le point est soumis, coupant constamment l’axe des z , ses composantes parallèles aux axes des x et des y sont proportionnelles à ces deux coordonnées; d où résulte l’équation

et, par conséquent , le principe ries aires a lieu , dans ce cas , pour tout, plan perpendiculaire à la droite qui passe par les deux centres , le centre des aires étant pris sur cette droite.

Il est évident qu il en serait de même si , au lieu de deux centres, on en avait un nombre quelconque situé sur une même droite.

289. Mouvement produit par une force perpendiculaire nu rayon vecteur. — Considérons encore le cas où la force serait perpendiculaire à une ligne passant par un point fixe. C’est ce qui aura lieu par exemple pour un point assujetti à rester sur une droite qui tourne suivant une loi quelconque autour d’un de ses points et dont la pression normale est la seule force qui sollicite le point.

La condition donnée sera alors exprimée par l'équation

dt’ ' dt‘ dt 1

Faisons

nous aurons, par la différentiation ,

dx

dy

dt~ + ’ r dt

Diflërcniianl de nouveau, il vient

équation qui , en vertu de la première, se réduit à

P HUM là RK AXNSK. — ST AT toi' F.. 3 jl)

Nommant w l'angle décrit dans'l’espacc par le layon vecteur, on sait qu'on aura

fis — th ' - 4 - r 1 <1 rj’.

Reportant ente valeur «le ds x dans l’équation précédente, elle devient .

Cette équation a lieu quelle ([lie soit la directrice de la surface conique décrite parle rayon vecteur.

Si l’on donnait la loi du mouvement angulaire du rayon , vecteur par une équation entre w et t , il serait possible, en combinant cette équation avec la précédente, de déterminer à chaque instant la grandeur du rayon vecteur et l’angle qu'il a décrit. Cette grandeur du rayon vecteur ne dépendant pas de la nature de la surface conique décrite, il s’ensuit que si l'on développe celle-ci sur un plan, la courbe , décrite par le point mobile sera la même après le développement, quelle que soit la directrice du cône, et sera, par conséquent , la courbe même que l’on auraitobtenue en faisant mouvoir le rayon vecteur dans un plan, en obseriant

la même loi entre w cl l.

Mouvement curviligne des projectiles pesants.

290. Nous allons appliquer, comme dernier exemple, les équations générales du mouvement d’un point libre au cas des projectiles pesants lancés dans le vide ou dans un milieu résistant.

Cousidérons d abord un point matériel pesant qui parte d’un point A ( fig. 6.1) avec la vitesse a dans une direction Ail. Prenons pour axe des y la verticale menée par le poiut A et en sens contraiie de la pesanteur, et pour axe

COURS DK MLCA.MQÜL.

des x une perpendiculaire à celte droite dans le plan vertical qui contient la direction AB. Le mobile ne sortira pas do ce plan , et sa position sera déterminée par les deux coor-

données x, y.

Les équations générales de ce mouvement

sont

iP x il ’ y

lïr=°’ lF=~ ë '

011 en déduit

Or, pour / = o, les composantes de la vitesse sont

flCOSa, <i si n x.

a étant l’angle BAX. Donc

et l’on a

c — a cos x , c, — a sin x ,

dy

— - = a cos a , — = — et -+- a sin 7 , .

ut dt

Intégrant encore, il vient

x = at cos a , y = — -y- at sin a.

ISous n’ajoutons pas de constantes parce que, pour t = o, on doit avoir X = o et y — o.

Or on aura l’équation de la trajectoire en éliminant t entre ces deux équations; on trouve ainsi

y = x tang x

1 ti i cos 1 x

équation qui représente une parabole dont l’axe est parallèle à l'axe des ) , et, par conséquent, vertical, et dont la tangente à l’origine est la direction de la vitesse initiale.

PBFMIFRF AN N LF. . — STxTIQUP. 35 I

Les roordon nées h, k de sou sommet out pour valeurs

fl ! sin’ a

, <r sin a cos a , h k — “

La directrice a pour équation

elle est à une distance de A égale à la hauteur à laquelle le corps s'élèverait s’il était lancé verticalement avec la même vitesse a.

Si l’on fait y = o dans ! équation de la trajectoire, on trouve