a’ sin sc cos a

C'est l'expression de la distance AC, on la nomme l'«mplitude tlu jet j elle est la plus grande possible quand

291 . Si le corps était lancé avec la rnèraef vitesse a dans des directions différentes, on aurait différentes paraboles qui auraient toutes la même directrice. Le lieu de leurs sommets s'obtiendrait en éliminant a entre les équations qui déterminent h et Â-; on trouve ainsi

équation d’une ellipse dont le petit axe est égal à — , dirigé

< , . 2ÿ . . * suivant l'axe des/, et a l’une de ses extrémités à l’origine;

l’autre est égal à — ; il est double du premier.

292. Un aura la courbe enveloppe de toutes les paraboles correspondantes aux différentes valeurs de a , eu éliminant cet angle entre l’équation générale de ces lignes et

COURS i>F mcASini K.

sa dérivée par rapport à a, qui donne langa = — • On

trouvera ainsi, pour l'équation de la courbe enveloppe,

a' gx 1

■’ — î}~'üF\

ou, en désignant par h la hauteur due à la vitesse <7,

l.a courbe cherchée est donc une parabole ayant pour axe l'axe des y, et son sommet du côté des^' positifs à une distance h de l’origine. Elle coupe l’axe des x en deux points distants de l’origine d’une quantité égale à a/i.

293. Si l’on veut déterminer l’inclinaison « de manière à ce que le mobile, partant avec une vitesse «, passe par un point dont les coordonnées soient x 1 , y , il faudra résoudre, par rapport à a, l’équation

y = x ' ,ar H>' * - 777

SJT

2 a 1 co j J a

On en tirera

tang a —

a'"àz \n * — 2 a' g/ — g 1 x'* S 1 '

11 y a donc deux inclinaisons qui satisfont à ! équation, si l’on a

«' > 2(1* gy’ 4 - g*x"*\

ule si

une se

et aticuuc si

Or l’équation

= 2" l gy' 4- g’-r' 1 ; n y <7 2 fl’ gy’ 4- g’x’’.

n l — 2(1* gy' 4- g 1 x'*

exprime que le point donné est situé sur la parabole enveloppe déterminée précédemment; et, par conséquent, le

PRK.Mli.Br. avïikÈ. — STATIQCF. 3*>3

problème est impossible si le point donné est en dehors de cette courbe, comme il était facile de le prévoir; il aura deux solutions si le point est dans l'intérieur, et uuc seule s’il est sur l’enveloppe. Dans ce dernier cas, il est clair que le mobile doit être lancé de manière à décrire la parabole qui touche l’enveloppe en ce point, et c’est ce que l’on reconnaît facilement d’après la valeur de tung et, qui se

• réduit à — ,■ ‘

291. Mouvement dans l’air. — I.a trajectoire du mobile dans un milieu résistant sera toujours comprise dans le plan vertical mené par la direction de la vitesse initiale. Les forces qui solliciteront le mobile à chaque instant seront la pesanteur, et la résistance du milieu , que nous sup-

poserons encore représentée par ~i iH qui sera dirigée

suivant la tangente, en sens contraire du mouvement. La composante horizontale de cette force sera donc toujours dirigée dans le sens des x négatifs; sa composante verticale sera dans le sens de la pesanteur, ou des Y négatifs, quand le mobile montera; et dans le sens contraire quand il descendra.

Nous avons vu que l’accélérafion du mouvement de la projection d’un point sur une droite quelconque était duc à la force estimée parallèlement à cette droite. Ordinairement on considère les projections de ce point sur des droites rectangulaires; mais on peut les prendre obliques s’il y a quelque avantage, parce que le mouvement du point est • " complètement déterminé quand on commit relui de scs ' • projections orthogonales sur trois droites formant un angle solide quelconque, ou simplement sur deux droites si la trajectoire est plane.

Dans la question actuelle, nous supposerons, avec M. Coriolis, qu’à un iustant quelconque la force soit estimée suc-

354 COTAS HT. MÉCANIQUE.

cessivement suivant une parallèle à l'axe des .r et suivant la normale à la trajectoire. Ces deux forces ne seront pas les composantes de la première, et la direction de la seconde est variable; mais elles donneront l’accélération dans le sens de la normale et de l’axe des a' , et il en résultera deux équaiious du mouvement. Elles pourront remplacer celles que l’on obtiendrait en projetant la résultante sur les deux axes, auquel cas on aurait bien les deux composantes de cette force; mais elles seront beaucoup plus simples, parce que la résistance et la pesanteur n’entreront pas à la fois dans la même équation , vu que les deux directions que nous avons choisies sont perpendiculaires respectivement aux directions de ces deux forces.

Si l'on désigne par v la vitesse, et par a l’angle que fait sa direction avec l’axe des s , et que l’on observe que

d' x ti.vr osa

lr~ h ’

les forces estimées parallèlement à l'axe des x donneront l'équation

rl. v cos a fit

v' COS a.

Les forces projetées sur la normale, dirigée du point que l’on considère vers le centre de courbure, se réduisent à g' cos a; et la composante, dans celle direction, a pour

expression générale , - , p étant le rayon de courbure. D’ail-

leurs, tlx étant négatif, on a

on aura donc cette seconde équation

fl y

S COS a = - -,

PRF.M1KRK ANNV.K. — STATIQUE.

ou

ou encor**

cos a = — »’

fit

fis (I a cos ot =r - — — •

de

Les équations («) et ( 3 ) sont celles dont M. Cauchy fai— 4 ait usage dans son cours. Mais il obtenait la seconde patune élimination entre les équations provenant des forces estimées parallèlement aux deux axes. La manière dont nous y sommes parvenus, et qui est due à M. Coriolis, est plus directe et plus simple; elle est fondée sur cette considération, souvent utile, que l’on peut estimer les forces suivant des directions variables, et que l'on doit choisir celles qui conduisent aux calculs les plus simples.

L’équation (t) peut se mettre sons la forme

= — f vdt = — f r/s ,

v cos a / A’

cl donne, en intégrant.

. i' cos « =

Soient a et 0 les valeurs initiales données de t> et z. on aura