I. a cosO = C
et, par suite,
, v cos a gs
ou
a cos 0 P '
tir
i> cos a — o cos 0 . c = — • rll
La valeur de v tirée de cette équation, et reportée dans l’é-
COURS UE MKCAX1QVR.
qpation (a), donne
(la
a 1 cos ! 0
igS
■ c *’ ds.
Celte équation ne renfermant que a et j, est celle de la trajectoire. Si pour l’intégrer on pose
elle devient
tang a — p.
ig>
(5) , dp \J I -4- />’ = — - C *’ ds ,
' ' ' ' a 1 cos 1 0
d’où l’on lire
(G) p H- 1. (/>,+ fi ~+p')
a 1 co s ' 0
y étant une constante arbitraire que l’on déterminera en faisant s = o , p — tang 0 ; ce qui dpnne
fri
7 = tang 0 ^ 1 -+- tang 1 0 +• I. (tang 0 4 - ^ « + tang’û) ;
mais, pour plus de simplicité, nous conserverons y dans les formules.
Cette équation fait connaître s quand p est donné; mais elle est peu commode pour la construction de la courbe, et nous allons introduire x et y au lieu de s. Or on a
dx r=
ds
et l’équation (5) donne, par suite,
■sgi
a ■ cos 2 0 — n .
nx — — . — c dp.
Si l’on élimine l’exponentielle au moyen de l’équation ( 6 ),
il vient
TBF.MltBF. \NNtE. — STATIQUE.
k- dp ___
et comme dy = prix, on aura
dy — —
pdp
Si l’on intègre par approximation les seconds membres de ces deux équations, on aura x et y pour chaque valeur de p ; ce qui donnera autant de points que l’on voudra de la trajectoire.
Pour savoir à quel instant le mobile passera par Un quelconque de ces points, il faut connaître t en fonction de p.
Or la seconde équation (3) donne
dt
ds d a
g cos a
ou, en remettant la valeur de ds tirée de l’équation (4), et observant que dl et dot sont de signes contraires,
dt
. ** a COS 0 ~ **
cos’ a
a cos 0 ~ r. .
c A dp.
Doue enfin, en éliminant l’exponentielle au moyen de l’équation (6),
(q) dt —
k dp
Ainsi le problème est ramené à intégrer par approximation des fonctions données d’une seule variable.
La vitesse du mobile peut s’exprimer exactement en
. fonction de />. Si i’on ajoute les valeurs de dx 1 et d) nuis qu’on les divise par celle do dt *, on aura
( r o ) «■> = — 1 -JJ.
Le sommet de la courbe s’obtiendra en faisant p — o; mais la courbe ne sera plus symétrique par rapport à la verticale menée par ce point. On aura l’amplitude du jet en faisant y — o; die sera moindre que dans le cas précédent, et son maximum, relativement à 0 , correspondra à un angle plus petit que 45 degrés.
295. La branche descendante de la trajectoire est indéfinie et a une asymptote verticale, comme nous allons le démontrer.
On peut d’abord conclure de l’équation ( 9 ) que p augmente indéfiniment. Car le dénominateur du second membre est composé de termes positifs, puisque p est négatif; il 11 e devient donc nul pour aucune valeur de p, et l’intégrale ne pourrait croître indéfiniment si /> était limité; d'où il résulterait que le temps aurait une limite,, ce qui est absurde. Ainsi, la tangente à la trajectoire tend indéfiniment à devenir verticale.
Si maintenant on pose p — — q pour expliciter le signe, -et qu’on suppose que q soit déjà devenu très-grand, on pourra remplacer \fi+~q i par r/, et négliger y et 1 ./) par ■rapport à q, ce qui donnera
ac= p
tir —
/■* dq
intégrant à partir d'un point ayant pour coordonnées jr, - , y,, il vient
PREMIERE ANKEK.
— STATIQUE. 35
«y, désignant la valeur de f] au point dont les coordonnées sont x„y,.
La seconde de ces équations montre que la valeur négative de y augmente sans limite , et que, par conséquent, le point descend indéfiniment. La première apprend que x a
pour limite jr, -t— — , ,cl que, par conséquent, la courbe a
pour asymptote la verticale correspondante à cette valeur de x.
Mais comme on a négligé certains termes, cette limite n’est pas précisément l’abscisse de l'asymptote; et, pour l avoir, il faudrait intégrer la valeur de flx jusqu’à p — oo .
Quant à la valeur filiale de la vitesse, l'équation (to), dans laquelle rien n’a été négligé, donne A s pour limite du second membre, à mesure que p augmente. La vitesse du mobile tend donc indéfiniment vers celle qui rendrait la résistance égale à son poids, et le mouvement s'approche de plus en plus de l’uniformité.
ÜlHî. Examinons maintenant le cas où l'angle de projection 0 est très-petit. Le point no s’élève alors qu à une trèspetite hauteur au-dessus de l’axe des x , et la tangente étant très-peu inclinée sur cet axe, on pourra négliger p*. et l’on aura ainsi
ds — d.c , et s = x.
L’équation (5) se réduit à
t!x cos’ 0
d’où I on tire
r in 1 cos 1 0
et comme on doit avoir en même temps X = o, p — t.mg 0,
Si l’on connail des points par lesquels passe le mobile, par exemple celui où il rencontre le sol, il en résultera, entre les constantes, des équations qui pourront servir à les déterminer.
297. Du mouvement produit par une force dont les composantes parallèles aux axes sont les dérivées partielles dèune même fonction de x, y, ?.. — Si l’on désigne par X, Y, Z les composantes de la force motrice qui sollicite un point matériel dont la masse est l’unité, les équations générales de son mouvement seront
<l'x tl‘r d't
