HF 7F~ Z

VRMtli.Hr. AKStE. — STATIQUE. 36 1

Si l’on ajoute ces équations, après avoir multiplié la pre-

. , dx . , dy . ...

mière par 2 — ? la seconde par 2 —1 et la troisième par

dz .. .

2 — ) il vieut rit

/ dx d 7 x dy d'y dz d 2 'z\

\ dt de 7 de de 7 de de 7 J

dt

rit

et, en observant que l’équation

donne

on aura

rit ri‘ x dy ri’’ y riz ri‘ z tl.v 1

rit dt- rit rit 1 rit dt '• rit

ri.v

~ 7 ït

'? / dx dy riz\

~~ 2 (^dt~ hY lï + z 7t)'

Et comme X, Y, Z sont les dérivées partielles d’une même fonction F (x,y, z ), on aura

rit

riz d F (x, y, z) dt rit

et l’équation précédente, intégrée entre deux limites quelconques , donnera

(2) «■’ — aF(x, y, z) — 2F {a, b, c),

a, b, c, À désignant les coordonnées du point et sa vitesse à la première limite.

On voit donc que, dans le cas où Xr/x -f- \ r dy -+- Zrfz’cst la différentielle d'une certaine fonction de x, y, s considérées comme variables indépendantes , si un point malé-

COURS Ut. MfcCANIQUF..

riel est soumis à l'action Je forces dont les composantes totales parallèles aux axes soient X, Y, Z, l’accroissement du carré de sa vitesse, en passant d’un point à un autre quelconque, pourra s’exprimer au moyeu des coordonnées de ces deux points, quelles que soient la direction et la grandeur de sa vitesse au premier point, quelque temps qu'il mette pour parvenir au second, et quelque ligne qu’il décrive entre les deux.

O11 peut dire plus généralement, d’après l’équation (2), que si le mobile part d'un point quelconque de la surface dont l'équation serait F(„r, y, = C avec une vitesse connue /> dans une direction arbitraire; lorsqu’il arrivera en un point de la surface ayant pour équation F (.r, j, z) = C', sa vitesse e peut être déterminée de grandeur d'après ces seules données, et indépendamment du temps employé, de la ligne décrite, et du nombre de fois que ce point traverse successivement la seconde surface.

L’équation générale de ces surfaces remarquables étant F (.r,jy, z ) = C, C désignant une constante arbitraire, elles auront la même équation différentielle

X (lx -+- Y dy Z dz =: O.

Celte équation exprime que les deux directions dont les . angles avec les axes ont des cosinus proportionnels respectivement à X, Y, Z, et dx , dji (lz , sont perpendiculaires l’une sur l’autre. D’où l’on conclut que la force dont les composantes sont X, Y, Z est normale à celle de ces surfaces qui passe par le point que l'on considère.

Ainsi les surfaces qui jouissent de la propriété que nous avons démontrée, sont perpendiculaires à la force qui solliciterait le mobile placé en un quelconque de leurs points; de sorte que. si elles étaient résistantes, ce mobile serait en équilibre, en quelque point de ces surfaces qu’il fût posé.

On leur donne le nom de surfaces de niveau.

P R EM H. RK AN.NLE. STATIQUE. 363

Si la fonction F (. 1 : , jr : z ) 11 e peut se réduire à -J pour des valeurs réelles et finies de x , y, s, deux sui faces de niveau ne pourront évidemment avoir aucun point commun. Dans le cas contraire, comme ou peut le voir dans un Mémoire de M. Hcrtrand , le point matériel n'aura pas toujours la même vitesse en revenant à une même surface de niveau; il faudra, pour cela, qu il ait traversé un nombre pair de fois chacune des surfaces de niveau par lesquelles il passera avant de revenir sur celle d où il était parti.

298. Si la résultante des forces qui sollicitent le point était constamment normale à la ligne qu'il décrit, on aurait

X rfx -+- Y rfy + 2.rfz = o ;

la fonction F se réduirait donc à une constante, et le second membre de l’équation (i) serait nul; d’où il résulte que l’on aurait

Ainsi , comme nous l'avions déjà vu , la vitesse d’un point est constante lorsque la force qui agit sur lui est, à chaque instant, normale à la direction de sou mouvement.

D où il résulte qu’un point qui se meut , sans frottement, sur une courbe ou une surface fixe, et qui n’est sollicité par aucune force extérieure . conserve constamment la même vitesse.

Si la résultante est normale à la trajectoire, en quelques points seulement , on a , en ces points,

Xt/x 4- Y ily -+- Z dz — o , ou o.

Donc, en général , la vitesse du mobile y sera maximum ou

minimum.

299. Si , outre les forces normales à la trajectoire , il en existe d’autres dans des directions quelconques, les premières disparaîtront toujours du second membre de l'éqna-

COURS DE MKCVXIQUE.

tioii (i), et si les autres sont telles, que leurs composantes totales X, Y, Z soient les dérivées partielles d’une fonction des variables x , y, z , considérées comme indépendantes, on parviendra de même à l’équation ( 2 ).

Ainsi , la proposition précédente a lieu pour un point assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface fixe, et sollicité en outre par des forces telles, que

TLdx 4- Y dy 4- Z </z

soit une diflércnlielle exacte par rapport à x, j-, z, ce qui n’aurait pas lieu s’il y avait un frottement ou la résistance d’un milieu; car ces forces ne seraient même pas des fonctions données de x, y, z.

MOI). L’expression X rfx 4- Y dy 4- /. dz est une différentielle exacte toutes les fois que les forces qui agissent sur le point sont dirigées vers des centres fixes , et que leurs intensités ne dépendent que de la distance du point à ces divers centres.

En effet, soient a , b, c les coordonnées constantes de l’un quelconque de ces ceulres ; x , y, z les coordonnées variables du mobile, 1 leur distance, et R une fonction de r qui exprime la force qui agit sur le point donné suivant la droite qui le joint au centre que l’on considère. Les composantes de cette force seront

si elle est attractive : il suffirait de les changer de signe si la force était répulsive; ce que l’on pourrait effectuer en changeant seulement R de signe. Les termes qui proviendront de cette force dans l’expression \dx 4- Y dy 4- 'Ldz seront donc, dans le premier cas,

K r ( " — • J -‘ >lx "ti* — J) 'b ' -t- («' — z)di

PRKMORK WXKK. STATlyUlJ. 3()5

Or on a

(a — xY 4- [b — /)’ 4- (c — z)’ = r%

d’où

( a — x) dx 4- [b — j') Ar 4- (c — s) As — — rAr,

ce qui réduit l’expression précédente à — H tir. Elle devrait être changée en 4- R <lr dans le cas d’une force répulsive.

Si l’on fait le même calcul pour les forces R', R", etc. , relatives aux autres centres fixes, on trouvera

X Ax 4- Y Ar 4- Z As = qp R Ar zç R ' Ar' qz R" Ar" 4 - . . . ,

ce qui est une différentielle exacte relativement aux variables indépendantes x,y, z , puisque R est une fonction de r, R' de r\ etc.

On aura donc

r 0 , r ' , etc., étant les valeurs de r, r', etc. , correspondantes à la première position. D’où l’on voit que l’accroissement du carré de la vitesse est égal à la somme des accroissements qui auraient lieu si chacune des forces agissait seule sur le mobile, pendant qu’il passe de l’une des positions à l’autre.

301 , Si le point était sollicité par une force constamment perpendiculaire à un plan fixe, et dépendant uniquement de la distance à ce plan, les mômes conséquences auraient lieu parce que ce n’est , à proprement parler, que le cas particulier où l’un des centres se serait transporté à l’infini dans une direction déterminée. Mais il est bon de faire directement le calcul qui s’y rapporte.

1 /équation d’un plan quelconque- peut sc mettre sous la

forme

r cos a + j cos Ç + î cos 7 — /' — o ,

a, o, -/ étant les angles formés avec les axes par la direction de la perpendiculaire abaissée de l'origine sur le plan, et j> la longueur de cette perpendiculaire. Soit u la perpendiculaire abaissée sur ce plan, du point dont les coordonnées sont J', y, z, on aura

h = x cos a -4- y cos S -+- z cos 7 — p.

Les composantes de la force L : qui agit sur ce point seront

TJcosa, UcosS, U cos 7, ou — Ucosa, — 1 ,'cos?, — U cos 7 .

Les termes que cette force introduira dans l’expression \r!x -+- Y tly -h Z c/s seront, dans le premier cas,

1 1 ( tl.c cos a. 4- dy cos ( i -+■ riz eos 7) , ou U du ;

et, dans le second, — Il du : ils forment donc toujours une différentielle exacte d'une fonction de y, s, puisque U n’est fonction que de u seulement.

Si la force était toujours dirigée vers le plan, elle changerait de sens lorsque le point changerait de côté par rapport à ce plan ; les cosinus de a , 6 , y changeraient alors de signes, et il faudrait y avoir égard. Il faut encore observer que la valeur de u est positive quand le point n’est pas du même côté que l’origine, et négative quand il est du même côté, de sorte que les accroissements de u sont toujours positifs dans le même sens.

Quand il s'agira de la pesanteur, et que les espaces parcourus serout très-petits par rapport au rayon de la terre, la force peut être considérée comme perpendiculaire à un plan horizontal;* mais elle est constante de grandeur et de direction, de quelque côté que soit situé le point par rapport à ce plan. En le prenant pour plan des x et y, et pre-

liant l’axe des z en sens contraire de la pesanteur, on a X “ o , Y = o , Z = — gm.

L'équation (i) devient

d’où

~7iT

en désignant par h la hauteur de s correspondante à la vitesse h. Les surfaces, dont l’équation générale était F (x, y, z) = o, sont ici des plans horizontaux, et l’on voit qu’un point matériel libre, ou assujetti à se mouvoir sur une courbe ou une surface lise, et qui part d’un point quelconque d’un plan horizontal donné, avec une certaine vitesse, parviendra à un plan horizontal quelconque avec une vitesse qui lie dépendra nullement de la courbe qu’il aura suivie pour y arriver, mais seulement de la distance de son point de départ à ce plan.