MOUVEMENT D’UN POINT SUR UNE COURBE FIXE

302. Considérons maintenant un point mobile qui ne soit pas entièrement libre, mais qui soit assujetti à rester sur une courbe fixe donnée, dont les équations soient

F(x > jr,z)—o, F, (x, /, z) = o.

Supposons que le point n’éprouve aucun frottement sur cette courbe, et que, par conséquent, l’action qu’elle exerce se trouve comprise dans le plan normal. Soient IN la force normale inconnue produite sur l'unité de masse par la résistance de la courbe, et À, p, v les angles qu’elle fait avec

COURS 1)K MKCAXIQUK.

les axes; le seul effet de la courbe sur le point étant de produire celte force, on peut faire abstraction de la courbe s.i l’on introduit cette force; en la réunissant à celles qui sont données, le point pourra donc être considéré comme libre, et les équations générales de son mouvement seront, en désignant par X, Y, Z les composantes de la force accélératrice,

1 jr (l* Y fl * Z

— — — X 4- N cos > , — - = Y 4- N eos a , = Z -t- Ncos».

dO dt > r dt*

La direction déterminée par les angles X , p , v étant perpendiculaire à la tangente, on aura

dx cos > 4- dy cos u 4- dz cos v = o ,

et, de plus,

cos’ X 4- cos’ fi 4- cos’ » — ’i .

On a donc sept équations entre les huit quantités X,y, r, À , [à, v, N , t ; et il sera toujours possible d’exprimer les sept premières en fonction de t. Quand on y sera parvenu , tout ce qui se rapporte au mouvement du point sera déterminé.

Lorsque l’on a

%dx -h Y df Zdz — d . <f [x , y, z ),

les équations précédentes donnent

dxd'x 4- dyd’y 4- dzd'z

et, en intégrant,

dx 1 4- dy' 4- dz 1

-JT* = 2?

La constante C se déterminera

par la valeur de la vitesse v

PREMIÈRE ANNÉE. — STATIQUE. 31 m*

au point de départ. D'ailleurs, les équations de la courbe, résolues par rapport à x et y, donneront

L’équation précédente deviendra donc •

riz 1

^ ! ‘ + [/' (*)]’ + [/,' («ÏP ) = [/(*), /.(*),»]+€;

d’où

dt — itz -J) ( z) ,

i|< ( z ) désignant une fonction connue de z-, on tirera de là

t — J'hlf (z) -f- C',

C/ étant déterminé par la valeur initiale de z. On connaîtra donc ainsi z en fonction de l, et, par suite, x et y le seront d’après les équations de la courbe.

Ainsi, dans le cas où Xr/x -t- Y r/y -f- Zr/z est une diilérenticlle exacte, le problème est ramené aux quadratures.

303. Pression exercée sur la courbe. — Désignons par T la composante tangentielle de la force appliquée à l’unité de masse du mobile; par Q sa composante normale. Le point pouvant être considéré comme libre, après l’introduction de la force iN produite par la courbe, — ou ^

,lt

iir

pi ^

sera égal à T; et une force égale à - , dirigée vers le centre

de courbure, ou la force centripète, sera la résultante des deux forces uormales Q et N. Donc N , ou la force produite par la courbe, sera la résultante de la force centripète et d’une force égale et contraire à Q. Et, par conséquent, la force égale et contraire, ou la pression exercée sur la courbe, et détruite par elle , est la résultante de la force Q et de la force centrifuge. Elle se réduirait à la force centrifuge si la force Q était nulle.

Toutes ces forces, que nous avons supposées rapportées à l'unité de masse, se rapporteraient à la masse /«, en les multipliant par m.

La direction de la pression exercée sur la courbe se déterminera facilement, connaissant sa valeur et celle de ses composantes.

duplication au cas d un point matériel pesant.