Soient

les équations de la courbe fixe sur laquelle doit se mouvoir un point matériel soumis à 1 action seule de la pesanteur. Désignons par N la force normale que produit à chaque instant la résistance de la courbe rapportée à l’unité de masse; par X, u, v les angles que fait sa direction avec les axes, et supposons l’axe des z vertical et en sens contraire de la pesanteur. Les équations du mouvement du point seront

d' x M , d'y N — = — = Xcosr,

g -f- N cos v.

Si l’on multiplie la première par i d.r , la seconde par 2 r/> , la troisième par ac/z, et qu’on les ajoute, il vient

d .v 1 — — %gdz\ d’où v 7 — -igz C.

La constante C se déterminera d'après la valeur A de la vitesse, pour z — h, et l’on aura

Si l’on remplace t>* par sa valeur

tlx 7 -+- dy 7 riz 7 <tt‘ '

PR KM 1 K R K ANNÏK. — STAT1QCJK. 37 I

il vient, en résolvant par rapport à f , et supposant cj ne le point descende, et que, par conséquent, — soit négatif,

\J k‘ -T Igh — 2 gz

De cette équation on tirera t en fonction de z \ si l’on peut la résoudre par rapport à z, on aura, pour chaque valeur de /, la valeur dez, et, par suite, de x et y : le problème sera donc complètement résolu. Mais lors même que l’on ne pourrait intégrer l’expression précédente, on connaîtrait la vitesse en chaque point, par suite la force centrifuge, et cnGn la pression exercée sur la courbe, qui est la résultante de la force centrifuge cl de la composante normale de la pesanteur.

On remarquera que si s reste la même fonction de z. quoique la courbe change, fis*, et, par suite /•’, est exprimé par la même fonction de z, et le mouvement sur la courbe est le même. Ainsi, en enveloppant sur un cylindre vertical quelconque, le cylindre projetant d’une courbe , le point pesant passera, aux mêmes époques, par les points correspondants.

305. Effectuons ces calculs dans le cas où la courbe donnée est un cercle vertical. Prenons l’axe des .r dans ce plan et tangent au point le plus bas du cercle, il en résultera , pour les équations de cette courbe,

y — o , x 1 -t- z' — 2 iiz =r o ,

a étant son rayon. On en tirera

ils 1 (J.v 1 -t- riz* ‘ ri 1 r/z -

rit 1 rit- a riz — z‘ rit 1 '

et l’équation devient

roms nr «h:\moit.

rr^r, = / + »«* — »*»,

zh «(Z;

y’ 2 riz — r’ y ' / 1 -+- 2g/i — agi

on prendra le signe — quand le point descendra, et le signe -+- quand il montera.

Le carré de la vitesse ayant pour expression

d’où l’on tire

<lt =

sera maximum pour ~ = o, c'est-à-dire au point le plus bas, et cette valeur sera

k 1 -+- 2 gh.

La vitesse deviendra nulle quand on aura

/•’ H- 2 g/l — o.gz = o, OU I = fl + — , pourvu que l’on ait

car z ne peut surpasser le diamètre du cercle. Dans celle hypothèse, le point parvenu à cette hauteur redescendra, sa vitesse deviendra nulle de l'autre côté pour la même valeur de z, et ce mouvement d'oscillation se continuera indéfiniment. Si, au contraire, on a

la vitesse sera minimum au point le plus élevé du cercle,

STATIQUE

PRh.Mll UK ANNEE. —

niais elle n'y sera pas nulle, et le mouvement aura lieu stamment dans le même sens.

Enfin, si I on a

con-

la vitesse serait nulle au point le plus élevé, et le mobile v resterait en équilibre, s’il pouvait y parvenir; mais nous allons voir que cette position est une limite vers laquelle il tend sans pouvoir l’atteindre jamais. Ce cas est le seul où linlégration puisse s’elléctuer sous forme finie; on a alors

On pourrait intégrer cette expression en la rendant rationnelle parles méthodes ordinaires ; maison peut y parvenir

plus simplement en observant que — p est la différentielle

de \*z. et que la fraction peut être décomposée de

la manière suivante :

2 (7 Z 2 ^2(1 Y \j2(l \j Z fl — y/ï J

On aura ainsi , pour le mouvement descendant ,

/ llz tJz \

?.V j'^2fl+v , î \pîa — \J 2 /

d'où l'on tire

2 V ? y ; 2 ii — y z

La constante se déterminera par la condition que l'on ait

374 TOURS nr. MKCAtClQUF..

en même temps t = o, z = h , et il en résultera

,= i .A,. ijj ±j g.

2 V S 2 Vff — v^'

Lorsque le mobile arrive au point le plus bas , on a

1 /"| \ ?■ o + y Ti

A partir de cet instant, ^ étant positif, on doit changer de signe la première partie de la valeur de t , ce qui donne

t i la | \f2~a - 4 - 1 ja | v 2 » -+- V"

2 V e \Jia ~ <fz 2 V i ? v^Tïâ — \//i

A mesure que t augmente, z augmente nécessairement, mais il est toujours plus petit que an; et 1 on trouverait t — rx> si l'on faisait z — 2 «. Le mobile n’arrive donc jamais au point le plus élevé du cercle, mais il s en approche indéfiniment.

300. Considérons maintenant le cas où le mobile oscille de part et d'autre du point le plus bas du cercle. Nous pouvons supposer nulle la vitesse initiale; car cela revient à prendre pour point de départ un point plus élevé du cercle. On aura alors, pendant que le mobile descend ,

et comme ~ est plus petit que l imité, on peut développer

PRF.Mli.nK ANHÉK. — STATIQUE. 3 'J 5

le dernier facteur de la manière suivante :

Or on a, d après une formule donnée dans le calcul intégral,

r z n tiz __ yAz — z ■ (2/1 — i)/i r z " '

J \'hz — z* " + 2 « J 'T hl — s ’ ’

et, par conséquent , on pourra intégrer, entre des limites quelconques, autant de termes que Ton voudra de la série qui exprime la valeur de rit.

Bornons-nous à calculer le temps que met le mobile à arriver au point le plus bas, et qui est le même que celui qu’il mettrait h remonter à la hauteur h où se termine l’oscillation, puisque ces intervalles sont exprimés par la même intégrale prise entre les mêmes limites o et h.

La formule de réduction que nous venons de rappeler, devient

Ç h «"'k — 1)/< f h z—'dz

J 0 \J/iz — z’~ 1 n J 0 J/ n z , ’

J r * h 2 n — * (lz

0 y Ai — z‘

A -{lü—lUtx

par A„ ,

Celle formule conduit à la suivante; en observant que A,= TT,

COURS DK MtOAMQrB.

Cela posé, pour la demi-oscillation descendante . les limites des intégrales sont dans l’ordre inverse de celui que nous venons de prendre; il faudra donc changer le signe du second membre, si l’on veut faire usage de la formule que nous venons de trouver pour les intégrales qui composent la valeur de t . Si donc on désigne par 1’ la durée de l’oscillation entière, on aura d’abord

Celte série sera très-convergente si — est très-petit, et

l’on calculera facilement l’erreur commise en s’arrêtant à un terme quelconque. Si l’angle au centre 2 a, qui mesure 1 amplitude des oscillations, ne se compose que d’un petit nombre de degrés , on peut le plus ordinairement se borner au premier terme; et l’on a

cette durée est indépendante de la hauteur h. Si l’on prend les deux premiers, la durée dépendra de h , et l’on aura

Le rapport - étant le sinus-verso de l'angle a, on a h

- = i — cos « =; 2 sin’-î «• a

l'Rl.MILUK ASM. K.

Ainsi , cette dernière valeur de T n'est en erreur que d'une quantité du quatrième ordre par rapport à l'angle a; la précédente était en erreur d’une quantité du second ordre.

307. Le moyen que l’on emploie pour réaliser ce mouvement consiste à suspendre un poids à un fil très-délié et d’une longueur invariable , dont une extrémité est fixe. Si ce fil inextensible était dépourvu de toute niasse et que le mobile fût réduit à un seul point, on aurait ce que l’on appelle un pendule simple. Mais il est beaucoup plus avantageux d’employer un appareil solide au lieu d un fil , et le mouvement de ce pendule composé ne peut plus être calculé par la théorie précédente. Dans ce dernier cas, on appelle longueur du pendule , celle du pendule simple qui aurait ses oscillations de même durée.

Au moyeu d’une formule que nous démontrerons plus tard, on peut déterminer celte longueur d’après la forme du corps oscillant, et la durée de l’oscillation sera donnée par la formule

dans laquelle a représente la longueur connue de ce pendule. Si l’on désigne par n le nombre des oscillations qui auront lieu dans un temps 6, on aura

9 = n T, d ou G r= u jr ^ - , et g = — - — ,

équation qui fera Connaître lq valeur de la pesanteur. C est ainsi que, d’après les expériences faites à l'Observatoire de Paris , on a trouNe

g — 9,8oSiy>.

En faisant des expériences semblables en dillércnts lieux

3^8 COl'RS DF. MtCANIQIJF.

de la terre, on déterminera la loi suivant laquelle varie la pesanteur.

808. On peut encore déterminer le mouvement du pendule au moyen de la formule qui donne l’expression de la force tangenlielle. Soient 015 (f‘g- 64) I e rayon vertical du cercle sur lequel se meut le point pesant, A la position d’où il part avec la vitesse k, et M sa position après le temps t. Faisons

OB = /, BOA = a , BOM = 9, AM j.

I.a composante tangenlielle de la force accélératrice est exprimée généralement par en grandeur et en signe, le

signe -f- se rapportant au cas où elle est dirigée du côte où s croit, et le signe — au sens contraire. Si I on considère 9 comme négatif quand le rayon OM passe de l'autre côté de la verticale, on aura généralement

dt dO dH

dt dt ’ dt 7

dr'

I.a composante tangenlielle de la pesanteur étant d’ailleurs g sin 9 . on trouvera, en l'égalant à l’expression précédente,

d’où , en multipliant par 2 d9 et intégrant,

U) =7 cos6 + c '

La constante C se déterminera par la condition que l'on ait en même temps 0 = a . , — 1 = k , ce qui donne

••os i -t- C ,

, par suite,

(rosO — cos a).

On tirera de là, en observant <jue dO est de signe contraire à dt tant que le mouvement reste dans le même sens,

dt —

— Ul 0

\/X 1 -+• 2 g/ ( cos 1 — cos a )

O 11 rentrerait dans le calcul précédent en exprimant 0 au moyen de l’ordonnée du cercle comptée à partir du point R.

Si l'on suppose que les angles a. et 0 soient assez petits pour qu’on puisse négliger leurs quatrièmes puissances, cl que, de plus, la vitesse initiale soit nulle, la formule précédente sc simplifie beaucoup, et devient

d'où

11 n'y a pas de constante à ajouter, parce que I on doit avoir à la fois t ’. = o, 0 = a.

La vitesse devient nulle lorsque 0 = — a. Il en résulte

Telle est la durée de l'oscillation. Le mouvement recommence ensuite en sens contraire d’une manière identique; le point revient en A avec une vitesse nulle, après le môme

intervalle de temps

il se trouve alors dans les mêmes

38 o coi ns UK MKI \MOI K.

circonstances qu au commencement, et cette double oscillation sc reproduit indéfiniment , si l’on fait abstraction de toutes les résistances extérieures.

309. Dans tout ce qui précède, nous avons pu faire abstraction de la résistance de l'air. Celle action modifie très-peu les résultats et n’exige que de très-petites corrections dans les formules. Nous n’entrerons ici dans aucun détail sur ce sujet, et nous nous contenterons de montrer comment une résistance quelconque modifierait les équations générales du mouvement d’un point sur une courbe.

Soit F (e) une fonction donnée quelconque de la vitesse du mobile, qui exprime la résistance produite par un milieu on un frottement. Les équations du mouvement du point matériel pesant seront

— N cos ). — F (*») — s

», dr

—r— — Ji COS UL t I l> ) —

dt‘ ■ v 1 ds

dt » v ’ ds 6 ’

d oit l’on tire

d . c’ = — 2 gdz — 2 F ( r ) ds .

Or, au moyen des équations de la courbe on peut exprimer ds au moyen de z et dz ; e s’exprimera de même en fonctiou de z , dz et dt : de sorte que l’on aura une équation différentielle entre : eu seulement. Si on peut l’intégrer, on connaîtra z, x , / en fonction de t , et le mouvement sera complètement déterminé.

L’équation précédente donne, en l’intégrant.

l'KFMlKRP AN MK.

STATIQUE

d'où l’on voit que l'intégrale 2 / F (v) ds exprime la

perte éprouvée dans le carré de la vitesse par la résistance représentée par F ( v).

310. Mouvement sur la cj'cloïilc. — Si l’on prend pour axe des x la tangente au sommet, et pour axe des z la perpendiculaire à la base, l’équation différentielle de la cyeloïde est

rt.r

a étant le rayon du cercle générateur. Supposons que le plan de cette courbe soit vertical et que l'axe des z soit dans la direction contraire à celle de la pesanteur. On aura l’équation trouvée précédemment dans 1e cas d'une courbe quelconque

ds 7

7ir

On peut supposer k nul en élevant convenablement le. point de départ sur la cycloïde, pourvu que l’on n’ait pas A 1 -(- igh c’est le cas que nous supposerons. On a

donc l’équation aussi générale

ds*

Or, d après l’équation de la cycloïde, ou a ils 1 2 a dz 1

rit 1 1 ilt • ’

donc *

COL'BS DE Mlt.AXlQUE.

on prendra le signe — quand le mobile descendra, et le signe -f- quand il montera.

On trouve en intégrant , dans le cas du mouvement descendant,

La constante est nulle, parce qu’on doit avoir à la fois / = o, z —h \ si l’on fait z — o, on trouve

Ainsi , de quelque point que le mobile parte , il arrivera au point le plus bas de la cvcloïde dans le même temps; c’est ce qui a fait donner à cette courbe le nom de tautocfironc. Si l’on intègre la valeur de ili à partir du point le plus bas, dans un sens ou dans l’autre , on aura des éléments égaux; ce qui montre qu’à des intervalles de temps égaux, à partir de cet instant , la position du mobile correspond à des valeurs égales de z. Il remontera donc à la hauteur h, où sa vitesse sera nulle, dans le même temps qu’il a mis à descendre, et. la durée de l’oscillation sera

Or, 4 a est le rayon de courbure de la cycloïdc au point le plus bas. La durée de l’oscillation sur la cvcloïde, quelle que soit son amplitude, est donc la même qu elle serait sur le cercle osculateur au point le plus bas , mais pour des amplitudes infiniment petites.

311. Si maintenant on considère une courbe quelconque dont le plan osculateur au point le plus bas soit vertical, on pourra la considérer dans une étendue iufiniment petite de part et d’autre de ce point , comme se confondant avec le

PHKSlli:llK AJlNtE. — STVTlQtr. 383

cercle oscillateur, et la durée de l'oscillation sur cette

courbe sera jt a étant le rayon du cercle, et l’amplitude étant supposée infiniment petite.

Si le plan osculateur faisait avec la verticale un angle a. , la pesanteur pourrait se décomposer en deux forces: l'une normale au plan et détruite par sa résistance ; l’autre dans le plan et parallèle à la projection d'une verticale sur ce plan. Cette dernière sera égale à g cos a, et, par conséquent,

la durée de l’oscillation sera r. 1/ — —

V g eus

Elle est donc la

même rjuc sur une courbe dont le plan serait vertical et dont le ravon de courbure serait i ou aurait pour pro-

J COS 5£ r r

jection sur le plan de la courbe donnée, celui de cette courbe même. Elle sera donc enfin la même que sur la courbe située dans un plan vertical passant par la tangente au point le plus bas de la courbe donnée, et qui serait la projection de cette courbe sur ce plan vertical.

312. Cherchons maintenant si la cycloïde est la seule courbe tautochrone, quand on fait abstraction de toute résistance.

Prenons pour origine le point où le mobile doit parvenir dans un temps constant, quel que soit le point de la courbe d’où il parte sans vitesse. Nous considérerons l’équation de la courbe entre s et z seulement; car réquation

ris 1

•*’= 2g(A — s), OU — =r 2g(/i — z),

ne renfermant que s, s et / , il s’ensuit que, pourvu qu'on ait la même relation entre t et : , ou en tirera toujours la même valeur de t en fonction de z. l)e sorte que, si l’on conçoit le cylindre qui projette uue courbe sur un plan

COURS Ht MfcCl*HJ] K.

horizontal, un point materiel pesant mettra le même temps à parvenir d'un point à un autre de cette courbe, soit qu’on développe ce cylindre, soit qu’on l’enroule sur tout autre cylindre ayant ses arêtes verticales.

Il ne s’agit donc ici que de déterminer s en l’onction de z, et nous ne considérerons que les courbes qui peuvent donner pour s un développement procédant suivant les puissances de z. Comme on doit avoir à la fois z = o et s — o, il 11e saurait y avoir d’exposant négatif, ni de terme indépendant de z. Soit donc

S= Kz' + Bz* + Cz'

a, 6 , y, etc., étant des nombres positifs quelconques, et A, B, C, etc., des quantités entièrement indéterminées. Soit h le z du point de départ, on aura

ds*

ilt ■

— ï), d’où T

T désignant le temps employé pour parvenir à l’origine , et qui doit être indépendant de h.

Substituant à cls sa valeur tirée de la série, il vient

T \'-ig = A a

Soit

s — hz' , d’où dz — h dz' ; les limites de z' seront o et 1, et l'on aura

STATIQUE

et ainsi des autres. 11 en résultera , en posant

J o VI — z */o y 1 — 2

T \fvg=

Or, pour que ce résultat soit indépendant de h et ne soit pas zéro, il faut que tous les termes disparaissent, excepté un , dans lequel l’exposant de h sera zéro. Donc la série qui donne s se réduit à un seul terme , et l’exposant de z» y est égal à on a donc

s = Ai* , ou a* = A’r.

Or, cette relation entre s et z ne convient qti’à une cycloïdc, dont le sommet est pris pour origine, et la perpendiculaire à la tangente en ce point, pour axe des z. Donc il n’y a d’autre tautochrone dans le vide que la cycloïdc dans la position où nous l’avions considérée, du moins parmi toutes les courbes pour lesquelles s est développable suivant les puissances de z.

313. Cette propriété de Y isochronisme des oscillations d'un point qui se mouvrait sur une cycloïdc avait fait penser à mesurer le temps au moyen d’un pendule simple dont l’extrémité décrirait des arcs de cycloïdc. Il suffirait, pour obtenir un pareil mouvement, de suspendre un poids au moyen d’un fil flexible et inextensible, à un point qui serait l’origine de deux branches de cycloïdc dont le cercle générateur aurait pour diamètre la moitié de la longueur du fil. On voit, d’après Impropriété de la développée de la cycloïdc, que lorsque le fil s’enroulerait sur ces courbes, ou se déroulerait, son extrémité décrirait une cycloïde dont le sommet serait le point le plus bas ; les oscillations seraient donc isochrones. Mais un pareil pendule serait loin I. 25

d’olïrir dans la pratique les mêmes avantages que le pendule circulaire, et l'on n’en fait aucun usage.