COS 2 G

— d — d ' — (cos’O — sin ! 0 ) ss ^

Multipliant par /•*, il vient

Or, si u est positif, les coefficients de x 1 et y’ sont de même sigue, et la trajectoire est une ellipse ayant pour ceutre le point fixe, comme nous l’avions démontré synthétiquement. Si (a est négatif, c’est-à-dire si la force est

répulsive', les coefficients sont de signes contraires, et la courbe est une hyperbole ayant encore le point fixe pour centre.

Dans ce dernier cas le mouvement n’est pas révolutif, et le point reste évidemment sur la même branche de l’hyperbole.

X. I.a question que nous venons de traiter présente une circonstance dont on peut profiter pour obtenir directement les valeurs des coordonnées x et y en fonction de l ; ce qui donne la solution la plus complète de la question, puisque l’on connaît alors la position du mobile à chaque instant, et que tous les autres éléments du mouvemeut en dérivent immédiatement. Les équations générales du mouvement d'un point deviennent, eu supposant <p = y.r,

Les variables x et y étant séparées, on peut intégrer chacune de ces équations, et l'on connaîtra a; et y en fonction de t. On trouve d’abord, en supposant u positif,

x — A sin t . I -t- B cos t. fî, y — A'sin t. y'p -4- B' cos /. \ja.

Prenons pour axe des x la ligue qui joint l’origine à la position initiale du point : désignons par r 0 la longueur de cette ligne, par c 0 la vitesse initiale, par a l’angle formé par la direction de cette vitesse et celle de la droite menée de la position initiale vers l’origine. Enfin , prenons l’axe des y du même côté de l’axe des X que la direction initiale de la vitesse. On devra avoir pour t = o les conditions

— ~ Mil 2

(ix

T — — (•„ cos 2 .

UKUXlkMK PAftTtK. — UY-VAMIQI'K. | |

Les quatre coefficients A , B, A', IV seront déterminés par là, et Ton aura, par snite,

•>» cos x __

’ — J=~ sin . t vV -+■ r, cos .

Vf*

tfv-,

sin a

— sin ./ Vf*-

Ces équations renferment la solution complète du problème. Elles donnent pour x et y des valeurs périodiques, et la durée de la période est pour l’une et l’autre

— y comme nous 1 avions déjà trouve..

-Vf*

En éliminant t entre elles, on trouve

(x sin x -t- y cos «)'

~ X 1 = r\ sin’ a.

Ainsi, lorsque p est positif, c’est-à-dire quand la force est attractive, la courbe décrite est une ellipse dont le point fixe est le centre. Cette ellipse se réduirait à un cercle si l’on avait

a = - 1 et v. — ur‘

Si f* est négatif, c’est-à-dire si la force est répulsive , les sinus et cosinus sont remplacés par des exponentielles ; {nais on peut se servir du calcul qui vient d’ôtre fait, et opérer la transformation dans les résultats. L'équation du la trajectoire devient, par le changement de signe de a , celle d’une hyperbole ayant le même centre, et les valeurs de x et y prennent la forme suivautc :

v. sin a / , JT, —,J'\

2 Vf* V . / - .*•

f % COURS UK MÙUNIgUK.

Elles ne devienneni infinies que lorsque t lui- même le devient; ainsi le point mettrait un temps infini à parcourir la brauche d’hyperbole sur laquelle il se trouve au commencement du mouvement.

9. Deuxième exemple. — Un point materiel décrivant une section conique par l'action il 'une force dont la direction passe constamment par un foyer de celle courbe, trouver l’expression de cette force.

Quelle que soit cette section conique, son équation polaire peut être mise, comme on sait, sous la forme

• l -t- e cos 6

p désignant le demi-paramètre, c l’excentricité; un foyer de la courbe étant pris pour pôle, et les angles 6 étant comptés à partir de l’axe du côté , du sommet le plus voisin. La courbe sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant qu’on aura

L’équation de la courbe donne

d'où

i i c cos 0

c sin 6 P

.Si l’on veut, comme dans l’exemple précédent, faire usage de la formule (3), ou y reportera cette expression, dans laquelle on remplacera d’abord sin 6 par sa valeur en r, tirée de l’équation de la courbe, et l'on trouvera ainsi

fvlr= ^sL + t^n,

pr •}.[>■

d’où

nr.UXTKMF. PARTI*. — DYNAMIQGF.

pr 1

Ce qui apprend d’abord que la force est attractive vers le foyer, puisque la valeur de <p est positive; et ensuite que son intensité varie en raison inverse du carré de la distance à ce point.

11 aurait été plus simple, dans le cas actuel, de faire usage de la formule (4). En effet, l'équation de la courbe donne immédiatement

e cos 9

et, reportant dans l’équation (4), on obtient

^ pr

Nous ne développerons pas ici cette question , qui se reproduira bientôt à l’occasion du mouvement des planètes.

10. Réciproque. — Cherchons maintenant toutes les courbes que pourrait décrire un point attiré vers un centre fixe en raison inverse du carré de la distance.

Nous nous bornerons pour le moment à donner une solution synthétique de cette question.

Nous concevrons une secLion conique dont le point fixe serait un foyer, qui passerait par la position initiale du point, et serait tangente k la direction de la vitesse initiale et du même côté que le point fixe; enfin nous achèverons de la déterminer en ajoutant la condition que le carré de la vitesse initiale divisé par le rayon de courbure au point de départ soit égal à la force connue qui agit en ce point, estimée suivant la normale.

Cette dernière condition fait connaître le ravon de cour-

>4 COURS UF. MKAMQIE.

bure, et la section conique est complètement déterminée et unique. Nous verrons tout à l'heure comment on peut la construire avec ccs données et reconnaître son espèce.

Cela posé, imaginons un point assujetti à se mouvoir sur cette courbe avec la même vitesse initiale que le point en question , et de telle manière que son rayon vecteur partant du point lixe décrive des aires proportionnelles au temps. D’après la proposition précédente, la force qui agira sur ce point sera dirigée vers le point lise, cl sou intensité sera en raison iuverse du carré de la distance; de plus, il partira de la même position que le poiut proposé, et sa vitesse initiale sera la même en grandeur et en direction; cnGn l’inlen>ité de la force dirigée vers le point fixe sera la même au point de départ; car sa composante suivant la normale commune est égale au carré de la vitesse commune divisé par le rayon de courbure qui est le même. Donc la force à laquelle sera dû le mouvement sur cette section conique sera identique avec celle qui est donnée. Et comme, en vertu de cette force, le point en question, assujetti aux conditions initiales données, a son mouvement complètement déterminé, ce mouvemeut ne peut différer de celui qui a lieu sur cette section conique.

Ainsi, un point attiré vers un centre Jixc en raison inverse du carré de la distance se meut nécessairement sur une section conique dont ce centre est un Joyer.

H . Il reste à déterminer cette courbe d’après les données, qui sont le foyer de la courbe , ou de la branche de courbe s’il s'agit d’une hyperbole, un point et la tangente, ainsi que le rayon de courbure en ce point; ce rayon de courbure devant être situé dtt même côté de la tangente que le foyer.

Soient F ( ftg . i) le foyer, iW le point donné, PQ la tangente, et O le centre de courbure. On sait qu’en abaissant

OYNAMIQÏTF. .

«FCX1KMF. PARTIF. —

de O line perpendiculaire OH sur MF, puis une seconde de If sur la normale, le pied K de celle dernière appartient à Taxe principal qui contient le foyer. Joignant donc FK , on aura la direction de cet axe; et le second foyer sera donné par la rencontre de cette droite avec la droite MN , menée par le point M sous un angle PMN , égal à FMQ. Si la rencontre a lieu du côté de QP où se trouve le foyer F, la courbe sera une ellipse; elle sera une parabole si MN est parallèle à FK, cl une hyperbole si la rencontre a lieu du côté opposé.

Or, il est facile de reconnaître, d’après les données initiales, lequel de ces trois cas arrivera. En ell’et, soit menée par le point F une parallèle à MN , qui coupe en I la normale. Si l’on a MK MI , FK rencontrera MN en un point F' situé du même côté que F par rapport à QP, et par conséquent la courbe sera une ellipse. Si l’on a MK = MI . la ligne FK sera parallèle à MN , et la courbe sera une parabole. Enfin , si l’on a MK > MI , la ligne FK rencontrera le prolongement MN', et la courbe sera une hyperbole.

Il faut donc calculer MK et MI d'après les données de la question. Or, MI étant la bissectrice de l'angle FMF', le triangle MFI est isocèle, et si l’on désigne l’angle connu FMO par e et la distance donnée FM par r 0 , on aura

MI = 2 r, cos s.

Maintenant, d’après la manière dont le point K a été obtenu , on a

MR — MO cos* c ,

et si l’on désigne parv 0 la vitesse initiale, la valeur de MO sera donnée par l’équation

itj cons DF. MFCANIgUE.

tjj étant la force qui agit sur le point M, et dont la valeur

est-; on en déduira ■