PRINCIPE DE LA MOINDRE ACTION

1312. Ce principe n’a lieu que dans les systèmes pour lesquels l’équation des forces vives subsiste. 11 consiste cri ce t que si, pour chaque point du système, pu intègre entre deux époques arbitraires le produit de sa quantité de mouvement

COURS OH MHOANlyllH

par l'élément de la courbe qu’il décrit, la somme de toutes ces intégrales est un minimum; c’est-à-dirc qu’elle est moindre que si. par de nouvelles liaisons, on assujettissait ces points à suivre de nouvelles courbes, entre les deux mêmes positions extrêmes que l'on considère, et sousl’inlluence des mêmes forces.

Pour le démontrer, il faut faire voir que la variation de cette somme est nulle quand on fait varier infiniment peu les points de ces courbes en leur laissant les mêmes extrémités; car il est évident, par la nature de celte somme, qu’en général elle 11e peut avoir une^valcur maximum, cl que, par conséquent, en. exceptant des cas très-particuliers, elle aura une valeur minimum.

'Or on a

S f Zmvds — J Zmô ( vds ) — J ï m (Sv.ds -H vSdt).

Pour calculer la première partie, remplaçons fis par vdl , dt se rapportant au mouvement qui a réellement lieu; nous aurons

Sv.ds = vSvdt = 7 dtà.v',

et , par suite , •

ImSv.ds — 7 dti mS

Mais 011 a , en désignant par G une quantité constante,

et la forme du second membre sera la même pour lotis les • mouvements que l’on considère, puisque les forces restent les mêmes. Si donc on prend la variation des deux membres,

011 aura

, do „ do . . . •

•f ï m 9 . v* = — Sx -) — ~ S y . . .

dx fiy ~

— ï(X-î.r + \Sy 4: 7.Sz); . '

et. d'après l'équation générale du inouvenieitl cette der-

DF.UXli.ME PARTI*. — nYWA*l<,}UF.-

iiière expression est égale à

fd'x d' J f/’î \

( — r-r 9 X -H jt II Y -h -7 — 9 Z 1 dt.

\ rit’ rit ' rit 1 J

Un aura donc ïm

* , [ rV x d' r . d’ z \

9 V . t/s = S III ( fî X H T— 9 r + -y- 9 z ) dt.

\ dt fit 7 rlt : )

Pour calculer la seconde partie, nous observerons que l’équation

du' — : dx'' -+- (/r' -4- dz'

donne ' •,

9 ds = 9 dx H — — 9 dy •+- — 9 dz,

ds ris ds

et, par suite.

■9d, = ^d9z + &d9 x + ‘ÿd9z.

dt dt dt

Donc

„ . / dx , . dr , . dz . . \

S me 9 ds = ï /// I — d 9 x H — — dir A — r d 9 z] :

\ dt dt dt )

cl, en réunissant les deux parties de la variation d eSmw/.t, il vient

, ' , , (dx . d r . dz , \

9 S //ii’rf.t — ï md ( — d x h — — or -h -9zf- \dt dt dt )

Si maintenant ou intègre les deux membres, on aura

9 f ï m ods = +

J \dt dt dt j

mais* aux deux limites de l’intégrale, les variations Jar, d y, d s sont uullcs, puisque les extrémités des courbes décrites restent les mêmes; donc le second membre est nul , et l’on a

S J " I m ods — o , t

comme il fallait le démontrer.

yto8 - COURS Ut MLCAilfQtlF. '

D'où l'on conclut que J'inlégrale . ■

/"ï ni vils, ou ftmv'dt est un minimum dans le mouvement du système.

133. Si les points ne sont soumis h. l’artion d’aucune force, on a

k étant constant.

Donc

/ïmi.Vf = *< + C,=:f{t — /, ) ,

t cl /, étant les valeurs du temps aux deux limites; et, comme l’intégrale est Un minimum , il s’ensuit qu’il en est de même de t — t , , et que, par conséquent, le système passe d’une position à une autre dans moins de temps que si l’on introduisait de nouvelles liaisons quelconques. . . *-■

Si l’on considère un point matériel assujetti à rester sur une surface fixe, sans être soumis à l’action d’aucune force, sa vitesse est constante; et le temps qu’il met à passer d’un pointa un autre étant minimum, il s’ensuit que la longueur de la 1 igné parcourue est aussi minimum, comme nous 1 avons déjà démontré d’une autre manière.