DEUXIÈME PARTIE. — HYDROSTATIQUE. 2l
npSp -+• a' p i p' ■+- a" p S p" . . . — o ,
ce qui prouve que la somme des moments v irtuels des fort- es est égale à zéro.
Equations générales de l'équilibre des fluides.
137. Soient X, Y, Z les composantes de la force, rapportée à Funilé de masse, qui agit au point dont les coor-données sont x, y, z ; désignons par pla densité du liquide, et par p la pression eu ce point, rapportée à l imité de surface : p et p sont des fonctions de x ,jr , z , que l'on se propose de déterminer quand l'équilibre est établi.
Si au point dont Iqs coordonnées sont x, y , z, on conçoit un parallélipipède dont les arêtes soient parallèles aux axes et respectivement égales aux différentielles //x, djr, dz , sa tuasse dm sera égale à pdxdydz et sera sollicitée par les trois forces
p X tlx dy dz , p Y dx dy <tz , p Z dx dy dz ;
scs six faces seront sollicitées par des forces parallèles aux axes, et dirigées vers l'intérieur de son volume. Si l'on considère d’abord les deux faces parallèles au plan des x et r, dont l’un passe au point dont les coordonnées sont x, z ,
et l’autre au point qui a pour coordonnées x,y, z-hdz, la pression exercée sur la première est p dx dy ; et sur la seconde elle est
— rlxiljr
dz
étant la dérivée partielle de p par rapport à z. Chacune
d’elles peut être regardée comme constante dans toute 1 étendue de la face correspondante, sans qu il en résulte d erreur
dans les équations, considérées à la limite. Les deux forces auxquelles se réduisent les actions exercées respectivement sur ces deux faces sont donc des forces directement opposées, et elles se composent en une seule, parallèle à l'axe des z et égale à
— dxdy Hz — •
De môme, les pressions parallèles à l’axe des y et à l’axe des x se réduisent aux forces
— dxdydz^-t — dx dy dz —• dy dx
Ces trois forces peuvent être considérées comme agissant au centre du parallélipipède, ainsi que la résultante des forces appliquées à tous les points de -6a masse, puisque ces forces doivent être regardées comme constantes de grandeur et de direction , et que la densité peut être supposée la même en tous les points du parallélipipède. Il est donc nécessaire et suffisant, pour son équilibre, que les forces parallèles à chacun des axes soient en équilibre entre elles , ce qui donne les trois équations
dz
pZ.
Multipliant ces équations respectivement par dx, dy, dz , et les ajoutant, il vient
dp = p ( X dx -f- Y dy Z dz) ;
ce qui apprend que si le fluide est en équilibre , l’expression p(X(tr + Y^+Zrfî)
est la diflérentiellc totale d’une fonction de x, y, z, et que cette fonction donne nécessairement l’expression de la pression, à une constante arbitraire près.
