DEUXIÈME PARTIE. HVI)ROSTATIOUE. 2lS

Désignons cette fonction par F (Xjj', z), l'équaliou ( 2 ) donnera * •

C étant une constant arbitraire que l’on pourra déterminer si l’on connaît la pression en un point donné. Si le fluide n’est pas renfermé dans un vase fermé de toutes parts et exactement rempli , il sera nécessaire qu’à la partie libre de la surface il y ait une pression extérieure dont la valeur soi^ donnée par l’équation (3), et qui soit dirigée en chaque point vers l’intérieur du liquide.

La pression <5n un point n’étant pas produite par la force extérieure, agissant dans le voisinage de ce point seulement, peut être nulle aux points où la.force est très-grande. C’est ce qui a lieu, par exemple, à la surface libre d’un liquide pesant, dans le vide.

138. Surfaces de niveau. — Dans un fluide en équilibre, on appelle surface de niveau toute surface telle, que la résultante des forces qui agissent sur le liquide lui soit normale en chacun de ses points.

Si donc on désigne par dx , rfy, rfz les accroissements infiniment petits que prennent les coordonnées x, y, z d’un point quelconque d’une de ces surfaces quand on passe à un autre point de cette même surface, on aura la condition

(4) X dx -t- Y <ly -+- Z riz = o;

c’est l’équation différentielle de toutes les surfaces de niveau, et p est le facteur propre à la rendre intégrable Il en résulte, en vertu de l’équation ( 2 ), que pour tous les points d’une même surface de niveau , on a

et que, par conséquent, la pression y est constante. Cette

2l6 cours de mécamque.

propriété remarquable pourrait servir de définition à ces surfaces, et celle qui est exprimée par I <*<j[uatioii (4) en serait une conséquence immédiate.

L'équation linie des surfaces de niveau sera , en désignant par c une constante arbitraire, •

F (x, y, z) étant toujours la fonction dont la différentielle est

p(X(te -l- Yrf/ + Z riz).

Si la constante c prend successivement toutes les valeurs possibles, on obtiendra toutes les surfaces de niveau. Ces surfaces remarquables ne peuvent se rencontrer si des valeurs finies de x, y, z donnent toujours '.à la fonction F (x, z) des valeurs finies et déterminées; car alors on ne saurait avoir en même temps

F (x,f,z) = c et F (jc,y,z) — c', c et c' étant dillérents.

S’il en était autrement, les conséquences précédentes ne subsisteraient plus. Aux points où deux surfaces de niveau se rencontreraient, la pression serait indéterminée, et, par conséquent, on ne pourrait plus dire que la pression serait constante dans toute l’étendue d’une même surface de niveau. Nous ne considérerons pas les cas exceptionnels où ces circonstances se rencontreraient.

Si la surface libre du liquide est soumise à une pression constante en tous ses points , elle est elle-même une surface de niveau.

1 31). Si X dx -f- Y dy -f- Z ilx est la différentielle totale d’une fonction f de x , y, z, comme cela a lieu, par exemple, quand les forces données sont dirigées vers des centres fixes et ne dépendent que de la distance à ces centres, l’équa-

OEDXIf.MK PARTIE. — H YttROSTATIQCK 2 I -J

lion (ï) peut se mettre sous la forme .

(5) d/j= P rf ? .

Le premier membre de eette équation est la différentielle d’une fonction des variables indépendantes T, y, z\ il en est de même de d : donc, pour que le second membre soit identique au premier, il est nécessaire que p soit une fonction de ff, mais cette fonction peut avoir une forme quelconque.

Ainsi la densité sera constante en même temps que çp , c’est-à-dire pour tous les points d'une même surface de niveau ; et ces surfaces partagent le fluide en couches où la pression cl la densité ne varient pas.

I 10. Dans le cas des fluides compressibles, la densité dépend de la pression. Soit alors p = f (p), l’équatiou (5) devient

La constante se déterminera par la valeur donnée de la pression en un point connu; on pourra tirer dé là p , et, par suite, p en fonction de y , et l’on connaîtra la densité et la pression relatives à une surface quelconque de niveau.

Supposons, par exemple, qu’il s’agisse d’un gaz ; on aura, d'après la loi de Mariotte,

A étant dépendant de la température, que nous regarderons d’abord comme constante. L’équation (5) donnera

d’où

C étant une constante que l’on déterminera par la valeur de p correspondante à une valeur connue de y.

La dernière équation peut se mettre sous la forme

et l’on aura , par suite,

Si la température n’est pas constante, k sera variable, et lorsque l’équilibre sera établi , l’équation ( 6 ) apprend qucA ne pourra être qu’une fonction de <p, et que, par conséquent, la température sera constante pour tous les points d’une même surface de niveau. La pression et la densité seront déterminées par les formules

En considérant la terre comme sphérique, et en faisant abstraction de son mouvement de rotation, la force appliquée aux molécules de l'air est dirigée vers le centre , et, par conséquent, les surfaces de niveau seront des sphères concentriques avec la terre. L’équilibre de l’atmosphère exigerait donc que la température fût partout la même à égale distance de la surface de la terre, ce qui ne saurait être à cause de la présence du soleil; d’où il suit que cet équilibre 11e saurait avoir lieu.

Ul. Au lieu de considérer un liquide en équilibre, à l’état de repos , ou animé d’une vitesse commune à tous ses