DEUXIÈME PARTIE. HYDROSTATIQUE

quent, celte position est celle d’un équilibre instable. Donc, entre deux positions d’équilibre stable, il y en a une d’équilibre instable , et réciproquement. , ■

Io7. Avant d'aller plus loin, il est bon d’observer que si un corps est coupé par un plan, le volume situé d'un côté de ce plan sera équivalent à celui qu'on obtiendrait en le coupant par un autre plan quelconque, faisant un angle infiniment petit avec le premier, pourvu qu il passe par le centre de gravité de l’aire de Ta première section, c’est- , . . à-dire, pour parler plus exactement, que la différence des deux volumes sera infiniment petite par rapport au volume compris entre ces plans.

En effet, en négligeant les quantités infiniment petites •

par rapport à ce volume, on peut regarder la surface du corps comme remplacée , dans le voisinage de la section , par une surface cylindrique qui lui serait perpendicûlaire.

Or on sait qu’un cylindre tronqué a pour mesure le produit d’une de ses bases par la perpendiculaire abaissée du centre de gravité de la seconde sur le plan de la première; d’où il .

résulte que toutes les sections menées par ce point, qui sera leur centre de gravité, donneront des cylindres tronqués égaux en volume, et, par conséquent, que les volumes compris entre deux sections quelconques, dont l'un s’ajoute et l’autre se retranche à l'un des cylindres tronqués pour former l’autre, sont équivalents. *

Il est évident que la proposition énoncée et sa réciproque

sont des conséquences de ce théorème.

158. Cela posé, considérons un corps en équilibre sur un liquide homogène; les centres de gravité de ce corps et du liquide déplacé sont situés sur une même verticale, et les poids de ce liquide et du corps sont égaux. Déplaçons-le maintenant infiniment peu d’une manière quelconque, eu imprimant à tous ses points des vitesses infiniment petites;

l’équilibre sera stable, si ce déplacement rejte toujours infiniment petit, et instable dans le cas contraire; la question consiste à distinguer çes deux cas l'un de l’autre, et c’est ce que nous allons faire au moyen du principe des forces vives.

Soient LQM (fig. 9 ) la section de la surface du corps par le plan horizontal qui termine le liquide , ou la ligne de flottaison ; -

ANBI la position qu’a .prise, après le dérangement, la ligne de flottaison relative à l’équilibre;

L'NM'I la section faite dans le corps par le plan hori-. zontal mené par le centre de gravité C de l’aire ANBI que nous désignerons par b ;

G le centre de gravité du corps ;

O celui du liquide déplacé par la partie ADB du corps ;

V le volume de ce liquide dont le poids est égal à celui du corps;

6 l’angle de GO avec la verticale;

£ la distance du point C au niveau du liquide, qui sera pris pour plan des X et GO = a; -

p ]a densité du liquide , et M la masse du corps.

I.cs forces qui sollicitent le corps sont la pesanteur et les pressions exercées par le liquide sur la partie plongée de sa surface. La première se réduit à une force verticale, agissant de haut en bas et égale au poids du corps , qui est Mg, ou "oV. Les autres produisent le même effet que si tous les éléments de la partie plongée du volume du corps étaient sollicités par des forces verticales ^dirigées de bas en haut et égales aux poids de ces éléments, considérés comme formés du liquide lui-mème.

Les composantes X, Y sont donc nulles pour tous les points; et si l’on prend l’axe des z dans le sens de la pesanteur, on aura Z = g pour tous les éléments du corps, et Z — —g pour les éléments de la partie plongée, consi-